Делимость чисел

Муниципальное Бюджетное Общеобразовательное Учреждение

«Брянский городской лицей №2 им. М. В. Ломоносова»

ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ

Ученик 7Б класса

Самошкин Михаил

Преподаватель:

Бурдочкина Н.Л.

г. Брянск

2013-2014

СОДЕРЖАНИЕ

1.         Введение …………………………………………………………………………………………. 1

2.         Актуальность темы и цель работы ………………………………………………… 2

3.         Делимость чисел …………………………………………………………………………….. 3

3.1      Признаки делимости ………………………………………………………………………. 3

3.2      Свойства делимости ……………………………………………………………………….. 6

4.         Понятия НОД и НОК ……………………………………………………………………….. 7

4.1      Наибольший общий делитель ………………………………………………………... 7

4.2      Наименьшее общее кратное……………………………………………………………. 8

5.         Софизмы в делимости чисел ..………………………………………………………… 9

6.         Решение задач ………………………………………………………………………………... 10

6.1      Задачи на тему «Делимость чисел» ………………………………………………... 10

6.2      Задачи на тему «Наибольший общий делитель» …………………………… 14

6.3      Задачи на тему «Наименьшее общее кратное» ………………………………. 15

7.        Заключение……………………………………………………………………………………… 16

8.        Список использованной литературы ……………………………………………... 17

1. ВВЕДЕНИЕ

Делимость - фундаментальное понятие алгебры, арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.

Из всех действий арифметики самое своенравное — это деление. Оно обладает особыми свойствами, можно сказать, своим характером. Возьмем хотя бы обращение с нулем. Для всех других арифметических действий нуль — равноправное число, но разделить на нуль нельзя никакое число, никакое алгебраическое выражение.

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел, дружественных чисел, фигурных чисел, простых чисел и др.

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль. Юный Паскаль очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Вообще, его пример - это классический случай детской математической гениальности. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра. В ранний период своего творчества разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число. 

Выражаясь простым языком, знания делимости необходимы каждому человеку для простейших математических операций, не говоря уже о сложных алгебраических выражениях и алгоритмах.

1

2. АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ И ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1.  Актуальность темы

Тема делимости чисел интересовала математиков еще с древних лет. Сейчас эта тема играет не меньшее значение. Знания делимости необходимы каждому человеку для простейших математических операций говоря уже о сложных алгебраических выражениях и алгоритмах.
Когда ты знаешь признаки делимости, то ты можешь узнать без дополнительных вычислений, делится ли число a на число b. Не зная же этих признаков, и считая устно, есть вероятность совершения ошибки. Свойства делимости помогают людям тратить меньше времени на простые операции с участием деления. Знания по нахождению наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя играют неотъемлемую роль в решении задач на эти темы. Если ты видишь равенство или выражение, в котором нарушены правила логики, то это софизм. В моей исследовательской работе представлен материал по каждой из этих тем.

2. Цель работы

Изучить признаки делимости чисел и научиться с их помощью решать нестандартные задачи.

3. Задачи работы

• Изучить историографию вопроса.
• Изучить литературу на тему «Признаки и свойства делимости».
• Расширить свои знания о способах нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
• Изучить литературу на тему «Софизмы в делимости чисел».
• Найти, выписать и решить задачи на темы: «Признаки делимости», «Нахождение НОК и НОД», «Свойства делимости».

2

3. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ

3.1  Признаки делимости

Признак делимости - алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному. Как правило, признаки делимости применяются при ручном счёте и для чисел, представленных в конкретной позиционной системе счисления (обычно десятичной).

Представлены некоторые признаки делимости:

Признак делимости на 2

Число а ⋮ 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

В числе 29654 последняя цифра 4 – она четная, → 29654 ⋮ 2.

Признак делимости на 3

Число а ⋮ 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 3.

Число 513. 5+1+3=9, 9 ⋮ 3 → 513 ⋮ 3.

Признак делимости на 4

Число а ⋮ 4 только тогда, когда две его последние цифры – нули или составляют число, которое делится на 4.

Число 14676. 76 ⋮ 4 → 14676 ⋮ 4.

Признак делимости на 6

Число а ⋮ 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Число 840. 840 – четное число, 8 + 4 + 0 = 12, 12 ⋮ 3 → 840 ⋮ 6.

3

Признак делимости на 7

Число а ⋮ 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.

Например, 154. 15×3+4=49, 49 ⋮ 7 → 154 ⋮ 7.

Признак делимости на 8

Число а ⋮ 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Например, число 4648. 648 ⋮ 8 → 4648 ⋮ 8.

Признак делимости на 9

Число а ⋮ 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Число 12345678. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36, 36 ⋮ 9 → 12345678 ⋮ 9.

Признаки делимости на 11

Число а ⋮ 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.

Например, 9163627,   |(9+6+6+7)-(1+3+2)|=22 , 22 ⋮ 11 → 9163627 ⋮ 11.

Признак делимости на 13

Число а ⋮ 13 тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

Например, 845, 84+5×4=104, 104 ⋮ 13 → 845 ⋮ 13.

4

Признак делимости на 17

Число а ⋮ 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Число 221,  |22-5×1|=17, 17 ⋮ 17 → 221 ⋮ 17.

Признак делимости на 19

Число а ⋮ 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Число 646,  64+2×6=76, 76 ⋮ 19 → 646 ⋮ 19. 

5

3.2 Свойства делимости

Если a ⋮ b, → a = bk, где k – целое число.

Пусть a, b, c, d – целые числа, p – простое число.

• Если в равенстве a = b + c два числа делятся d, то и третье число делится на d.
• Если а ⋮ b, то ас ⋮ bc.
• Если ab ⋮ p, то либо a ⋮ p, либо b ⋮ p.
• Всякое число а (а≠0) делится на себя. Это следует из того, что равенство  а ⦁ 1 = а, верно при любом а.
• 0 ⋮ b, (b ≠ 0). Действительно, при любом b (b ≠ 0) верно равенство 0=b ⦁ 0.
• Если а ⋮ b (b ≠ 0) и b ⋮ с (с ≠ 0), то а ⋮с.
• Если 2 целых числа делятся друг на друга, то они либо равны, либо отличаются только знаком.

6

4. ПОНЯТИЯ НОД И НОК

4.1 Наибольший общий делитель (НОД)

Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел а и b называется наибольший из их общих делителей. Пример: для чисел 70 и 105 наибольший общий делитель равен 35. Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел a или b не равно нулю.

Возможные обозначения наибольшего общего делителя для чисел a и b:

• НОД (a; b)
• (a; b)
• Gcd (a; b) (От англ. greatest common divisor)
• Hcf  (a; b) (От брит. highest common factor)

Основные свойства наибольшего общего делителя:

• Наибольший общий делитель чисел a и b делится на любой общий делитель чисел a и b. Пример: для чисел 12 и 18 НОД = 6, он делится на все общие делители чисел a и b: 1, 2, 3, 6.

• Следствие 1: множество общих делителей a и b совпадает с              множеством делителей НОД (a; b).

• Если a ⋮ b, то НОД (a; b) = b.

Бинарный алгоритм вычисления НОД (пр. 1)

Пусть m и n – целые числа, НОД – наибольший общий делитель.

1. НОД(0, n) = n; НОД(m, 0) = m; НОД(m, m) = m;
2. НОД(1, n) = 1; НОД(m, 1) = 1;
3. Если m, n чётные, то НОД(m, n) = 2*НОД(m/2, n/2);
4. Если m чётное, n нечётное, то НОД(m, n) = НОД(m/2, n);
5. Если n чётное, m нечётное, то НОД(m, n) = НОД(m, n/2);
6. Если m, n нечётные и n > m, то НОД(m, n) = НОД((n-m)/2, m);
7. Если m, n нечётные и n < m, то НОД(m, n) = НОД((m-n)/2, n);

7

4.2 Наименьшее общее кратное (НОК) (пр. 1)

Наименьшим общим кратным  двух двух целых чисел a и b есть наименьшее натуральное число, которое делится на a и b без остатка. Наименьшее общее кратное для нескольких чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел. Пример: для чисел 16 и 20 наименьшее общее кратное равно 80.

Возможные обозначения наименьшего общего кратного для чисел a и b:

• НОК (a; b)
• (a; b)
• Icm (a; b) (От англ. Least Common Multiple)

Основные свойства наименьшего общего кратного:

• Коммутативность: НОК (a; b) = НОК (b; a).
• Ассоциативность:  НОК (a; НОК (b; c)) = НОК (НОК (a; b); с).
• Связь с наибольшим общим делителем НОД (a; b):

НОК (a; b) =

• Наименьшее общее кратное двух целых чисел a и b является делителем всех других общих кратных a и b. Более того, множество общих кратных a, b совпадает с множеством кратных для НОК(a, b).

8

5. СОФИЗМЫ

Софизм - ложное высказывание, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.

Немного истории:

Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажется верной и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической: за счёт метафоричности речи, омонимии или полисемии слов и пр., нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах (Последнюю ошибку можно считать и семиотической, так как она связана с соглашением о «правильно построенных формулах»).

Представлены некоторые типы ошибок:

• Терминологические
• Психологические
• Интеллектуальные причины
• Аффективные причины
• Волевые причины

Некоторые примеры софизмов:

1. 10-10=0; 15-15=0; 10-10=15-15; 2(5-5)=3(5-5), сократим на (5-5); 2=3. Ошибка в шаге, где мы произвели сокращение, 5-5=0, а на нуль делить нельзя.
2. a = b; a² = ab; a²- b²=ab - b²; (a-b)(a+b) = b(a-b); a + b = b; 2a = a; a =. Ошибка в шаге, где мы произвели сокращение на (a-b), a-b=0, а на ноль сокращать нельзя.

9

6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

6.1 Задачи на тему «Делимость чисел»

Задача 1:

Докажите, что значение многочлена при любом целом n делится на 3.

Решение:

 . Произведение трех последовательных целых чисел  делится на 3. Второе слагаемое - число - тоже делится на 3, следовательно, и вся сумма делится на 3(по 1 свойству делимости), Ч.Т.Д.

Задача 2:

Доказать, что число делится на 10.

Решение:

Представим равенство . Число  имеет последнюю цифру 6 . Тогда число  также оканчивается цифрой 6. В итоге получаем, что число 217 оканчивается цифрой 2.

Число  представим, как . Число 74 оканчивается цифрой 1 . И, умножив на 72, получаем, что последняя цифра в числе  будет 9.

Представим число 919, как . Так как 92 = 81, то последняя цифра числа  будет равна 9. Теперь очевидно, что сумма цифр, одно из которых равно 2, а 2 других равны 10 делится на 10 (По признаку делимости на 10), Ч.Т.Д.

Задача 3:

Найти последнюю цифру в десятичной записи числа 17500.

Решение:

Так как 17 ≣ -3 (Ост 10), то 172 ≣ (-3)2 (Ост 10), так что 172 ≣ 9 (Ост 10), но

9 ≣ -1 (Ост 10), так что 172 ≣ -1 (Ост 10). Возведем это сравнение в 250 степень: (172)250 ≣ (-1)250 (Ост 10). Отсюда 17500 ≣ 1 (Ост 10), так что 17500 =

= 10q + 1 (Единица служит остатком от деления данного числа на 10). Следовательно, последняя цифра в десятичной записи данного числа равна 1.

Ответ: 1.

10

Задача 4:

Записано пятизначное число, делящееся на 9. Кто-то поменял порядок расположения этих  цифр. Доказать, что получившееся число делится на 9.

Доказательство:

По признаку делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 9. Из условия задачи мы знаем, что первое число делится на 9, сумма цифр этого числа делится на 9. Мы знаем, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется, сумма цифр нового числа тоже будет делится на 9 получившееся число делится на 9. Ч.Т.Д.

Задача 5

Если натуральное n– число чётное, каким является число n + 2k + 1?

Решение:

Число 2k будет делиться на 2 будет четным. При сложении двух четных чисел получим четное число. Прибавив к четному числу единицу получим нечетное число.

Ответ: нечётное.

Задача 6:

Сумма двух целых чисел равна 101, а разность их квадратов – простое число. Найдите эти числа.

Решение:

Обозначим искомые числа через a и b . Тогда , где p - простое число, т.е.. Поскольку  , то  . Отсюда следует, что p делится на 101, но p - простое, значит  . Имеем:  , отсюда . Так как  , находим, что  и  .

Ответ: 51 и 50.

Задача 7:

Чтобы открыть сейф, нужно ввести код – семизначное число из двоек и троек. Известно, что в кодовом числе двоек больше, чем троек. Кроме того, известно, что кодовое число делится на 3 и на 4. Найдите код сейфа.

Решение:

Нужно заметить, что раз число делится на 4, то число из двух последних его цифр тоже делится на 4 (По признаку делимости на 4). Посмотрим, каким может быть это число:

1) 22 не делится на 4;

2) 23 не делится на 4;

3) 32 ⋮ 4;

4) 33 не делится на 4.

11

Значит, наш код оканчивается на 32. Далее следует заметить, что вся сумма цифр должна делится на 3, так как всё число делится на 3(По признаку делимости на 3).  Переберём все возможные варианты когда:

1. 7 двоек не может быть, так как последние цифры 32.
2. 6 двоек. Сумма цифр  делится на 3, → код делится на 3. Положение цифры 3 нам известно, она предпоследняя. Код может иметь вид 2222232.
3. 5 двоек. Сумма цифр, что не делится на 3, → код не делится на 3.
4. 4 двойки. Сумма цифр , что не делится на 3, → код не делится на 3.
5. Меньше 4 двоек быть не может, так как двоек больше чем троек.

Ответ: 2222232.

Задача 8:

Докажите, что число, состоящее из 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек не может быть точным квадратом натурального числа.

Решение:

Посчитаем сумму цифр этого числа:

Заметим, что S делится на 3, но не делится на 9. Но, как известно, если , где p – простое число, то . Значит S не может быть квадратом, так как оно делится на 3, но не делится на . Ч.Т.Д.

Задача 9:

На доске написано: 27*3*. Замените звездочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 45.

Решение:

Пусть на доске написано такое число: 72x3y, где x и y – некие цифры. Тогда, если число делится а 45, то оно делится на 5 и 9 (По признаку делимости на 45).

1) Делимость на 9. По признаку делимости на 9, сумма цифр числа должна делиться на 9. ; .

2) Делимость на 5. Последняя цифра числа должна быть 0 или 5, т.е. либо y = 5, либо y = 0.

Пусть y = 0. Тогда , т.е. , значит х = 6.

Пусть y = 5. Тогда , т.е. , значит x = 1.

Ответ: (1;5), (6;0).

12

Задача 10:

Докажите, что произведение любых трех последовательных чисел делится на 6.

Решение:

Давайте заметим, что из трех последовательных чисел хотя бы одно с гарантией будет четным (так как четные и нечетные числа чередуются и трёх подряд нечетных чисел не бывает). Также давайте заметим, что одно из трех последовательных чисел делится на 3 (так как числа, делящиеся на 3, идут через 2, и они просто не могут «проскочить» наши три подряд идущих числа). Значит, если в произведении есть число, кратное трём, и число, кратное 2, то произведение делится на 6. Ч.Т.Д.

13

6.2 Задачи на тему «Наибольший общий делитель»

Задача 10: 

Ученики 5 «А» класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг.  Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?

Решение: 

Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем: 203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Из практических соображений следует, что учебников не может быть 29. также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников.

Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников.

Задача 11:

Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см., а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько?

Решение:

 – площадь прямоугольника.

 (см2)

а – сторона квадрата.

 – число квадратов, которое можно уложить по длине картона.

 – число квадратов, которое можно уложить по ширине картона.

НОД (40; 48) = 8 (см) – сторона квадрата.

 - площадь 1 квадрата.

 (см2) – площадь 1 квадрата.

 (количество квадратов).

Ответ: 30 квадратов со стороной 8 см каждый.

14

Задача 12:

Маленький коала объедает все листья с эвкалиптового дерева за 12 дней, его мама — за 6 дней, а папа — за 4 дня. За сколько дней это семейство объест все листья с одного эвкалиптового дерева?

Решение:

Прежде всего, найдём такое время, в котором все времена, перечисленные в условии задачи, укладываются нацело. Очевидно, это время в 12 дней: ведь 12 делится и на 6, и на 4. Теперь зададим главный вопрос, позволяющий решить задачу: что произошло за эти 12 дней?

Отвечаем на него: за 12 дней маленький коала объест листья с 1 дерева, его мама — с 2 деревьев, папа — с 3 деревьев. Следовательно, все вместе они объедят листья с 1 + 2 + 3 = 6 деревьев. Что мы узнали? Что за 12 дней всё семейство объест листья с 6 деревьев. Следовательно, листья с одного дерева они объедят за время, в 6 раз меньшее, то есть за 2 дня.

Ответ: 2 дня.

Задача 13:

Тиран Поликрат однажды спросил у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат, — отвечал Пифагор. — половина моих учеников изучает пре- красную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним трёх юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины». Сколько учеников было у Пифагора?

Решение:

Мы знаем, что число учеников Пифагора делится нацело на 2, 4, 7. Какое наименьшее  число делится на все эти числа? Если число делится на 4, оно же делится и на 2. Поэтому двойку пока что принимать в учёт не надо — у нас и так есть четвёрка. Чтобы число делилось на 4 и на 7, оно должно делиться на 28. Стало быть, мы уже знаем, что число учеников Пифагора делится на 28.

Допустим, что оно равно 28, и посмотрим, что у нас при этом получится. Тогда математику изучает 14 человек, тайны природы исследует 7 человек, силу духа упражняет 4 человека. Всего получилось 14 + 7 + 4 = 25 человек.

Неучтенными оказались 28 – 25 = 3 человека. Но именно о 3 учениках говорит Пифагор — стало быть, у нас всё сошлось, и мы уже нашли правильный ответ: у Пифагора было 28 учеников

Ответ: 28 учеников было у Пифагора.

15

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

•    В процессе работы я познакомился с историей развития признаков делимости, узнал, что еще в древние времена люди задумывались над этим вопросом.
•    С помощью дополнительной литературы нашел различные признаки делимости, которые не проходят по школьной программе.
•    Мне удалось найти задачи по теме моей исследовательской работе и решить их.
•    Я значительно расширил свои знания в теме «Нахождение НОК и НОД».
•    Я изучил литературу по теме «Софизмы», которая может быть включена в школьную программу.

Собранный материал я систематизировал и оформил, подготовил презентацию, которую представил на занятии по математике. Данный материал может быть использован при подготовке к олимпиадам, ЕГЭ.

Учителя математики также могут использовать этот материал для изучения этой темы. Рекомендую ознакомиться с моей работой сверстникам, которые хотят знать о математике больше.

16

8. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

• Билык А. М. , Билык Я. М. «К вопросу о проблемной технике софизма (ее связь с современным пониманием научной проблемы)» // Философские науки. № 2. 1989. — С.114-117.  
• Брадис В. М., Минковский В. Л., Еленев Л. К. «Ошибки в математических рассуждениях», 3 изд., М., 1967.
• Виноградов И. М. «Основы теории чисел».  М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952.
• Вольфсон Г.И., Пратусевич М.Я., Рукшин С.Е., Столбов М.К., Ященко И.В. «ЕГЭ 2013. Математика. Задача С6. Арифметика и алгебра», Москва, Издательство МЦНМО 2013.  
• Воробьев  Н. Н. « Признаки делимости». — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 38. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6.
• Депман И.Я. «История арифметики» Москва 1965 Издательство «Просвещение»
• МФТИ «Потенциал №7 (7) 07.2005»,  141700, Долгопрудный, 201 АК. 20 с. ISSN 1814-6422.
• Неркарарян К. В., «Софизмы и парадоксы», 1 издание, 2001
• Чубаров И. А. «Математика. Решение задания №4 для 8-х классов (2000-2001 учебный год)» МФТИ, 2001.

• https://ru.wikipedia.org/wiki/%C4%E5%EB%E8%EC%EE%F1%F2%FC 
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%F0%E8%E7%ED%E0%EA%E8_%E4%E5%EB%E8%EC%EE%F1%F2%E8 

17