Задачи с параметром.Метод областей.

Задания с параметром.

“Метод областей”.

Методические рекомендации

Томск-2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Математика интересна тогда, когда питает

 нашу изобретательность и способность рассуждать.

Д. Пойа

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей приводит к решению уравнений и неравенств, содержащих параметр. К сожалению, школьный курс не позволяет ученикам овладеть знаниями для решения задач с параметром. Между тем, задания такого плана встречаются во всех вариантах ЕГЭ. Также такие задания могут поставить ученика в «тупик», непривычной формулировкой вопроса. Задания с параметром полезны не только для  общего развития, но и для умения продемонстрировать понимание цели выполняемых действий. Ученик, умеющий решать задачи с параметром,  отличается аккуратностью, внимательностью  и логичностью мышления.  Запись ответа – это своего рода дополнительная задача, т.к. упустить  какое-то решение не трудно.

Цель проектной работы: исследование возможности применения  «метода областей», как более рационального,  при решении  задач с параметрами.

Задачи:

1. Знакомство с «методом областей».
2. Получение практических навыков по решению задач с параметром «методом областей».
3.  Создание методического пособия для начинающих.

Предметом исследования являются классы неравенств и систем уравнений и неравенств, содержащих параметры, и методы их решения.

Для успешного исследования многих задач повышенной трудности, нужно уметь строить не только графики функции, но и изображать на плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют заданным уравнениям, неравенствам или их системам. Эффективно строить на координатной плоскости такие множества позволяет «метод областей», который является одним из частных случаев функционально-графического  метода. Идея  «метода областей» заключается в том, что решение задачи в исходной области сводится к решению ее или совокупности более простых задач в каждой из областей, их которых составляется исходная область. Применение «метода областей» при решении неравенств с параметрами во многом аналогично применению метода «интервалов» для решения неравенств с одной переменной.

Рассмотрим неравенство :

                        Р (х, а) > 0 (Р (х, а) < 0),

где Р (х, а) – функция, аргументами которого являются переменная х и параметр а.

Пусть уравнение

                        Р (х, а) = 0

определяет  некоторые линии на координатной плоскости.

         Разобьем этими линиями координатную плоскость на конечное число «областей», ограниченных линиями Р (х, а) = 0.

          В каждой из полученных областей функция Р (х, а) отлична от нуля, так как точки, в которых  Р (х, а) = 0 принадлежат границе этих «областей».

Справедлива теорема:

В каждой из областей, на которые линии  Р (х, а) = 0   делят координатную плоскость, функция Р (х, а) сохраняет свой знак.

Таким образом, решение неравенства – множество всех пар чисел (х, а), при которых неравенство выполняется, образует совокупность (объединение) тех областей, в которых значение функции   (х, а) положительно (отрицательно).

Часто при решении заданий с параметрами решение аналитическим способом является очень длинным и не всегда рациональным, тогда как решение этого задания «методом областей» значительно упрощает «выкладки» и дает возможность наглядно увидеть его решение. В своей работе мы постараемся показать рациональность использования «метода областей» для определённого класса задач.

ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ “МЕТОДА ОБЛАСТЕЙ”

Пример №1:

При каких значениях параметра а система имеет единственное решение?

      х²+2х+а≤0        

      х²-4х-6а≤0                

Решение: Решим каждое из неравенств.                            

1. х²+2х+а≤0

Найдем нули левой части неравенства:

х²+2х+а=0

а = -х²-2х

Построим график полученной функции.

График функции разбивает координатную

плоскость на две области, в каждой из которых левая часть неравенства сохраняет свой знак.

Для определения знака области нужно взять произвольную точку из этой области и подставить их в изначальное неравенство.

F(-3;2)>0

F(-1;-1)<0

2. По аналогии работаем со вторым

неравенством:  

      х²-4х-6а≤0                                                                            

Найдем нули левой части неравенства:

     х²-4х-6а=0

     а = х²-4х

              6

Построим график полученной функции.

F(2;3)<0

F(2;-3)>0

3) В закрашенной области находятся все точки,

которые являются решением системы.

В(-1;1)

А(0;0)

 Система будет иметь единственное решение при а=1, а=0.

Ответ: а=1, а=0.

Пример №2:

При каких значениях параметра а неравенство log a+x ((a-x)x) < log a+x x имеет хотя бы одно решение?

1. ОДЗ:

2. Рассмотрим неравенство, равносильное на ОДЗ:

 log a+x ((a-x)x) < log a+x x 

Нули левой части неравенства:

a=1-x,

a=1+x,

x=0;

3. Построим на координатной плоскости а(х) графики функций  и прямую .

Построенные линии разбивают координатную плоскость на несколько областей. Проверим знаки в каждой области, взяв произвольную точку.

f(a;x):

f(3;1)<0, f(1;-3)>0, f(-1;-3)<0, f(-3;1)>0, f(-1;3)<0; f(1;3)>0

Заштрихованные области удовлетворяют условиям неравенства.

4. С учетом ОДЗ решение неравенства будет выглядеть следующим образом:

Из полученного рисунка видно, что при а  () неравенство log a+x ((a-x)x) < log a+x x имеет хотя бы одно решение.

Пример №3:

Найти все значения  a,при которых неравенство выполняется для всех   x Є [-2;1].

 (4x-а)(a+x-8)>0

1)Ввведём функцию:  f(x;a)=(4x-a)(a+x-8).

D(f): x Є R

         a Є R

2)Найдём нули данной функции:

a=4x

a=8-x

3)На координатной плоскости a(x) изобразим графики полученных функций.

Грфики пересекаются в A(1,6;6,4).

Данные прямые разбивают плоскость на области.

4)Находим знаки в полученных областях:

1: f(3;6)>0

2: f(1;8)<0

3: f(-1;4).>0

4: f(1;1)<0

На рисунке заштрихованы области, удовлетворяющие неравенству.

5)По рисунку видим, что неравенство выполняется для всех x Є [-2;1] при a Є (4;7).

Ответ: a Є (4;7).

Пример №4:

Найти все значения параметра а, при которых система имеет решение

Решение.

1. Рассмотрим первое неравенство

F(x, a) =

Решим квадратное уравнение  относительно переменной х

D = (23a)2 4(2a22a) =(a2)2

Разложив квадратный трехчлен на множители, имеем:

2.Решим полученное неравенство методом областей

Нули левой части:

Построим графики полученных функций на координатной плоскости (x,a ). Эти графики разбивают координатную плоскость на четыре области.

Пример №5:

Найти все значения  a,при которых неравенство выполняется для всех   x Є [2;2,5].

 Log|x-a| (x²+ax)≤2

ОДЗ:

Log|x-a| (x²+ax)≤ Log|x-a| (x-a) ²

1. Рассмотрим неравенство, равносильное на ОДЗ:

(|x-a|-1)(x²+ax-x²+2ax-a²)≤0

a(|x-a|-1)(3x-a)≤0

Найдем нули левой части неравенства:

a=3x

a=0

a=x-1

a=x+1

Проверим знаки в областях входящий в ОДЗ:

А(1;0,5)<0

Б(3;1)>0

В(1;1,5)<0

Г(1;6)<0

Д(4;1)<0

Е(0,5;0,125)>0

Ж(3;6)>0

Покажем нужные нам области на графике:

Теперь определим по графику при каких а нер-во выполняется для всех х Є[2;2,5]

Ответ: а Є(-2;0]U(1,5;2)U(2,5;30U[7,5;)

Пример №6:

При каком параметре α, множество решений неравенства  не будут входить в промежуток [-2;2]

Сначала найдем нули левой части неравенства

после чего представим их в виде функций   и построим их графики на координатной плоскости с осями х и α.

Затем мы проверим знаки в каждой получившейся области, взяв пробную точку. На рисунке заштрихованные области удовлетворяют условию неравенства. После этого отметим промежуток [-2;2] , проведем прямые  и   и найдем координаты точек пересечения:

А (0;0) В (2;2) С(-2;4) D (2;4)

По получившемуся рисунку видно, что множество решений данного неравенства не входит в промежуток [-2;2] при  α  ϵ (-∞;0]U[12;+∞)

Пример №7:

Найдите все положительные, не равные 1, значения а, при которых D(y) функции не содержит двузначных натуральных чисел.

Сначала упростим это выражение, применив свойства степеней и свойства логарифмов.

Получится следующее

Затем запишем ОДЗ данного выражения

Построим графики функций  и , а так же проведем прямые X = 1 и X = 4.

После этого мы проверим знаки в каждой получившейся области, взяв пробную точку. На рисунке заштрихованы области, удовлетворяющие неравенству. По рисунку видно, что D(y) функции не содержит двузначных натуральных чисел, если а ϵ (1;10).

НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Для каждого значения параметра, а решить неравенство

Ответ. Если а < -2, то а ≤  х < -2;

              если а = -2, то х  ø;

              если а > -2, то -2 < х ≤ а.

2. Найти все значения а, при которых неравенство

 выполняется для всех х из промежутка 2 ≤ х ≤ 3.

Ответ. а < –, а ≥ .

3. Найти все значения  параметра а, при которых неравенство

                (х –3а) (х–а–3) < 0                                                                                

выполняется при всех х, таких, что  1 ≤ х ≤ 3      

 Ответ. 0 < а < .

      4.  Найти все значения параметра а, при которых в множестве решений неравенства

нельзя расположить 2 отрезка длиной 2 и длиной 5, которые не имеют общих точек.

Ответ.

5. Найти все значения параметра а, при которых существует хотя бы одно решение системы

Ответ. 

6. Найти все значения параметра а, при которых существует хотя бы одно решение системы

Ответ. 

7. Найти все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства

 Ответ. 

8. При каких значениях параметра а неравенство   выполняется

А) для всех  значений х из отрезка

Б) хотя бы для одного значения х из интервала

Ответ.

А) ;        

Б) .

      9.  Найти все значения параметра а, при которых множество решений неравенства содержит все неотрицательные решения неравенства

Ответ.

10.   При каких значениях параметра а неравенство не имеет решений

Ответ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

• Моденов В.П. Задачи с параметрами. Коодринатно-параметрический метод. Издательство «Экзамен». Москва, 2006.
• Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами.  «Илекса», «Гимназия». Москва – Харьков, 2003.
• Черкасов О.Ю., Якушев А.Г.. Математика. Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. Москва. «АСТ-Пресс школа», 2002.
• Лысенко Ф.Ф. Математика ЕГЭ-2007. Издательство “ЛЕГИОН” Ростов-на-Дону 2006г.