СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРАМИ.

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРАМИ.

Клинтух Екатерина

 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

лицей при ТПУ г. Томска

Руководитель: Алешина Ольга Борисовна, учитель математики

С каждым уравнением (неравенством, системой) связаны конструирующие их аналитические выражения. Последние в свою очередь могут задавать функции одной или нескольких переменных. С этой точки зрения, например, уравнение f(x) = g(x) мы можем рассматривать как задачу о нахождении значений аргумента x, при которых равны значения функций f и g. Такие, казалось бы, тривиальные рассуждения нередко дают возможность найти рациональный путь решения многих задач. Кратко основную идею моей работы можно сформулировать так: ключ решения задач с параметрами – свойства функций.

Цели работы:

• систематизировать и изучить материал по данной теме;
• исследовать возможности применения свойств функций при решении задач с параметрами;
• овладеть функциональным методом решения  задач с параметрами в процессе исследования;
• разработать систему задач по данной теме.

1. Применение ограниченности области определения.

Работая с любым математическим заданием, в первую очередь приходится рассматривать область определения функций, входящих в данное уравнение (неравенство). В каких-то случаях на заключительном этапе решения выполняется отбор корней, когда же область определения ограничена настолько, что состоит лишь из нескольких значений переменной, то можно не решая задания, выполнить лишь проверку допустимых значений. Проиллюстрирую эту идею на следующем примере:

Задача:        Найти значения параметра a, при которых неравенство имеет решение ?

Решение:                        .

Зададим функции: .

Область определения  - любое действительное число, а область определения  описывается следующей системой:

То есть данное неравенство имеет смысл только при двух значениях переменной. Следовательно, неравенство будет иметь решение, если хотя бы одно из этих значений будет являться решением.

                 Ответ: .

2. Применение ограниченности области значений.

Ограниченность области значений функции можно использовать в различных задачах, причем очень часто условие задач не содержит прямой подсказки использовать область значений функции. Такая необходимость возникает в процессе решения, например, рассмотрим следующую задачу:

Задача:        При каких значениях a найдутся такие b, что числа ;a; будут являться последовательными членами геометрической прогрессии?

Решение:        По свойству членов геометрической прогрессии: .

Пусть , где t >0.

Рассмотрим функцию   с областью определения .

 Исследуя с помощью производной, найдем область значений функции при условии t >0. .

Следовательно, найдутся такие b, что .  Отсюда .

Ответ: .

Существует тип задач, в которых область значений функций помогает найти далеко не очевидную замену, например:

Задача:        При каких a неравенство  имеет решения?

Решение:        В данном неравенстве . Пусть , , тогда  или . Но в данном неравенстве , так что можно записать  . Отсюда . Это неравенство имеет решения, если a меньше наибольшего значения выражения . Так как , то наибольшее значение . Значит, исходное неравенство имеет решение при . Ответ:

3. Монотонность функций.

Использование монотонности функций в задачах с параметром позволяет существенно упростить решение задач. В таких задачах можно использовать следующие идеи:

1. Уравнение  имеет не более одного решения, если функция f(x) монотонна на D(f);
2. Уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения, если функции f(x) и g(x) монотонны на ОДЗ данного уравнения, но одна возрастает, а другая убывает.

Задача:        При каких значениях параметра a неравенство  имеет единственное решение?

Решение:        Неравенство определено при a>0, a≠1. Перепишем неравенство в виде  .

1. Если , то .

Пусть , тогда функция  в области определения t0 монотонно возрастает как произведение неотрицательных монотонно возрастающих функций.

Так как , то неравенство можно переписать в виде , откуда с учетом монотонности f получаем . Это неравенство выполняется для любого рассматриваемого , то есть единственного решения исходное неравенство при таких a не имеет.

2. Если , то ;

. С учетом монотонного возрастания функции f(t) это неравенство равносильно системе неравенств:

Так как в задаче требуется единственность решения исходного неравенства, то это требование будет выполняться только при условии , которое дает a=2, с учетом того, что  .

Ответ: .

Не всегда в задачах можно явно увидеть функции, монотонно возрастающие или убывающие, в таких случаях на помощь приходит исследование функций с помощью производной, например:

Задача:        При каких значениях параметра а неравенство  справедливо при всех значениях х?

Решение:        Исходное неравенство равносильно неравенствам:

.

Вводя новую переменную y = , приходим к неравенству

.

И тогда задачу можно переформулировать так: найти a, при которых последнее неравенство выполняется для любых  Рассмотрим функцию f(y) = . Так как (y) = 3+4ay + при всех a, то функция f(y) строго возрастает, и поэтому требования задачи будут выполнены, если      

Решая эту систему, находим, что .             Ответ: .

4. Чётность функций.

Использование четности функций, входящих в уравнение или неравенство с параметрами, позволяет рационально решать определенный класс задач. Чаще всего это задачи на нахождение количества решений, например:

Задача:        Найти все значения a, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Решение. Функции, входящие в левую и правую части уравнения являются чётными относительно x. Если  является корнем исходного уравнения, то и  является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если , то есть . Подставим значение x=0 в исходное уравнение:

; , откуда 

При a=2 исходное уравнение принимает вид . Корнями этого уравнения являются числа -2;0 и 2, то есть исходное уравнение имеет более одного корня.

При  уравнение принимает вид:  и имеет единственный корень x=0.                         Ответ: a=0; a=4.

        В результате проведенной работы были исследованы возможности применения свойств функций, таких как: ограниченность области определения и области значений, монотонность, чётность при решении задач с параметрами и разработана система задач по данной теме.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Авилов Н.И., Войта Е.А., Дерезин С.В. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2015.Книга1:учебно-методическое пособие/ Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. - Ростов-на-Дону:Легион, 2014.
2. П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. – М.: Илекса, Харьков:Гимназия, 2003.
3. Амелькин В.В.,Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: Справ. Пособие по математике. – 2-е изд. – Мн.:ООО «Асар», 2002.