Область определения в уравнениях и неравенствах

Содержание:

1) Аннотация……………………………………………………………………………………………3

2) План исследований………………………………………………………………………………….4

3) Описание работы……………………………………………………………………………………5

§1.Нахождение области определения функции………………..…………………………….………5

§2. Область определения в уравнениях.………………………………………….…………………...6

§3. ОДЗ в неравенствах………………………………………. ……………………………………...11

4) Список литературы………………………………………………………………………………...15

Тема: «Область определения в уравнениях и неравенствах».

Максакова Д.В., Забайкальский край, п.Карымское, МОУ «СОШ №5

п. Карымское с пришкольным интернатом»,11 класс.

Аннотация.

 Тема моей исследовательской работы «Область определения в уравнениях и неравенствах». На уроках алгебры область определения рассматривается при решении стандартных задач, но при конкурсном отборе и при подготовке к конкурсным экзаменам в ВУЗы, а также на олимпиадах встречаются задания, связанные с ограничением условий, которые требуют нестандартных приемов и подходов к решению. Кроме того, в части C тестов ЕГЭ часто встречаются задания, построенные на исследовании ОДЗ. Поэтому в настоящее время эта тема является актуальной.

 Цель моей работы: найти среди множества уравнений и неравенств те, которые сводятся к изучению области определения, установить связь между уравнениями, неравенствами и системами уравнений и неравенств.

 Задачи:

1) Просмотреть и изучить задания, связанные с ОДЗ.

2) Разбить их на группы, систематизировать знания о решении систем уравнений и неравенств.

При выполнении работы мне пришлось сравнивать различные методы, переходить от общих методов к частным, и наоборот. Также я обобщила информацию, собранную из различных источников. В связи с этим можно выделить следующие методы исследовательской деятельности: пошаговые, репродуктивные, логическое исследование.

 В результате мной получены следующие результаты и выводы:

1) Во многих уравнениях и неравенствах область определения играет определяющую роль.

2) Чтобы найти ОДЗ, необходимо знать множество ограничений и свойств.

3) Нахождение ОДЗ не всегда необходимо.

Тема: «Область определения в уравнениях и неравенствах».

Максакова Д.В., Забайкальский край, п.Карымское, МОУ «СОШ №5 п. Карымское

с пришкольным интернатом»,11 класс.

План исследований.

 Объектная область, в которой я проводила исследование, - алгебра.

 Объект моего исследования - исследование ограничений в уравнениях и неравенствах.

 Среди всех уравнений и неравенств я выбрала те, которые требуют изучение ОДЗ – предмет моего исследования.

 Гипотеза: если правильно исследовать ОДЗ в уравнениях и неравенствах, то их решение значительно упростится.

 Значит, если громоздкие выражения с помощью ограничений можно заменить несложными системами уравнений и неравенств, то можно сказать, что выбранная мною тема нужная и важная.

 Свою работу я разбила на три параграфа. В первом параграфе я обобщила различные условия, при которых функция имеет ограничения, проиллюстрировала примерами процесс нахождения области определения функции.

 Второй параграф был посвящен уравнениям, при решении которых ОДЗ играет ключевую роль. В этом же параграфе я рассмотрела ошибки при решении логарифмических уравнений, связанные с изменением ОДЗ, и случаи, когда задача определения ОДЗ оказывается сложной и абсолютно ненужной.  

 Свойства неравенств, которыми обусловлена их область определения, и промежутки возрастания и убывания функции были изучены в третьем параграфе.  

Тема: «Область определения в уравнениях и неравенствах».

Максакова Д.В., Забайкальский край, п.Карымское, МОУ «СОШ №5п. Карымское

 с пришкольным интернатом»,11 класс.

§1.Нахождение области определения функции

 Процесс нахождения области определения функции состоит из двух этапов: составление системы ограничений и решение этой системы.

 Чтобы составить систему ограничений нужно знать, чем вызваны ограничения:

1)   существует 

2)   существует

3)  существует

4)  существует

5)  существует

6)  существует

7)  существует

 При этом необходимо помнить, что выполнение преобразований заданной функции порой неправомерно. Разберем это на примере 1.

Пример 1.

Найдите ОДЗ функций  и

Решение:

1)

2)

 Решением является промежуток

 При решении системы, составленной из ограничений, последовательно находят пересечения различных множеств, приближаясь к ответу. Пронаблюдаем это на примере.

Пример 2.

.

Решение:

Составим систему ограничений:

      -5         -           0                         5               x   

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 3.

         -2                    0                      2          5         x

Пример 4.

Решение:

§2.Область определения в уравнениях

 Областью определения уравнения или областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения называют множество тех значений неизвестного, при котором имеют смысл его левая и правая часть.

 При решении уравнений, содержащих тригонометрические и логарифмические функции, ОДЗ играет ключевую роль. Покажем это на примерах.

Пример 1.

Решите уравнение

Решение:

На первый взгляд, в данном уравнении нет ограничений  , но

 при любых , значит 0 , тогда , то есть                            , ,

Пример 2.

Найдите все значения , где , при котором уравнение                                                                                                                                                                                                                    имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию  

Решение:

.

Учитывая ограниченность функции , имеем:

.

Так как функция  убывающая, получим

Тогда левая часть тоже имеет ограничения

Равенство , выполняется при ,

Учтем условие : , значит .

То есть , , так как , то ,

 , тогда

Если , то ;

если , то .

Пример 3.

Решение:

 Часто при решении логарифмических уравнений используют прием логарифмирования обеих частей.

 Найдем косинус от обеих частей уравнения:

, .

Введем новую переменную: , , тогда

корней нет, значит .

Пример 4.

Решение:

, то есть  

Корень  включает решение первого уравнения, то есть

Пример 5.

Решение:

Поскольку , , то левая часть равна 3, если

, только для четных , значит

Пример 6.

Решение:

Если , то функция  убывает с ростом , следовательно,                        . Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:

Следовательно, левая часть данного уравнения равна 1 тогда и только тогда, когда

То есть  может принимать значения, а  может принимать значения -1, 0. Тогда  

Пример 7.

Решение:

 то есть   (3 и 4 четверть).

  или  – решения нет, так как , тогда , но учитывая то, что  ,

Пример 8.

Решение:

Решение строится:

1) на свойстве показательной функции ;

2) на ограниченности функции , .

Пример 9.

Решение:

ОДЗ: четверть

Пример 10.

Решение:

Это уравнение равносильно совокупности

При решении логарифмических уравнений распространены ошибки, связанные с изменением ОДЗ, покажем несколько равенств:

а)

При замене равенства произошло сужение ОДЗ, которое может привести к потере корней.

б)

То есть опять можно потерять корни.

в)

, тогда

Однако, хотя в одних случаях нахождение ОДЗ полезно при решении уравнения, в других задача определения ОДЗ оказывается сложной и абсолютно ненужной.  Покажем это на примере 11.

Пример 11.

Решение:

Возведем уравнение в квадрат:

Нахождение ОДЗ представляет собой достаточно трудную задачу, поэтому проведем проверку:

- Верно

  – посторонний

§3.ОДЗ в неравенствах

При решении неравенств, кроме наших ограничений, необходимо помнить о свойствах неравенств:

1)

3)

А также то, что функции  и  при  убывают.

Пример 1.

Решение:

Пример 2.

Решение:

, то есть , тогда ,

Пример 3.

Решение:

, тогда

Пример 4.

Решение:

 При решении необходимо помнить, что основание логарифмов может принимать значения (0;1)(1;), при этом ограничения

остаются прежними.

Итак:

               0           1                         3             4            

Пример 5.

Решение:

Примем обозначения:

Тогда имеем неравенство .Рассмотрим функцию ,

                                 Y

                              9

                          0              1                                 t

                                 -9

Область изменения функции , так как ,

.

Рассмотрим три случая:

1) Если , то неравенство неверно.

2) Если , то разделим на

  и оценим левую и правую части.

Для левой части имеем

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда

3) Если же, получаем

Список литературы.

1. О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев «Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену» М: Айрис Рольф, 1999 г.

2. И. Шарыгин «Математика. Для поступающих в ВУЗы» М: Дрофа, 2000 г.

 3. М. Сканави «Сборник заданий по алгебре» М: Оникс – Альянс – В, 2000 г.

4. С. Шестаков «Письменный экзамен» Приложение к газете «1 сентября».