Прямоугольный треугольник: простой и неисчерпаемый

                 Исследовательская работа учащегося 8 класса.

            Прямоугольный треугольник: простой и неисчерпаемый.

                                              Введение.

     Геометрия – наука непростая и удивительная, ведь ее основные фигуры, точки, объекты не материальные, а воображаемые.  «Точка есть то, что есть ничто» - говорил Евклид. Особое место в геометрии занимает прямоугольный треугольник. Знакомство с ним произошло на уроках геометрии в 7 классе, изучение его продолжили в 8 классе, будем его изучать и в 9 классе. Я заметил, что  решая задачи,  мы почти всегда выходим на прямоугольный треугольник и с его помощью находим ответы на поставленные вопросы.  В чём же секрет прямоугольного треугольника? Все ли его свойства известны?  Каковы его возможности? С каких пор человек использует прямоугольный треугольник?  Ответам на эти вопросы и является моя исследовательская работа, которую я сегодня представляю вам.

1. С каких же пор человек знает прямоугольный треугольник?

     Треугольником называют геометрическую фигуру, состоящую из трех точек, не лежащих на одной прямой и трёх отрезков, соединяющих эти точки.

Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которых человек узнал еще в глубокой древности, т. к. эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни.

        Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются во многих папирусах Древней Греции и Древнего Египта. Еще в древности стали вводить некоторые знаки обозначения для геометрических фигур.

Древнегреческий ученый Герон (I век) впервые применил знак ∆ вместо слова треугольник.

Прямоугольный треугольник занимает почётное место в вавилонской  геометрии, упоминание о нём часто встречается в папирусе Ахмеса

    Математический папирус Ахмеса — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса  длиной 5,25 м. и  шириной 33 см.

    Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 шотландским египтологом Генри Риндом . В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музее в Лондоне, а вторая часть — в Нью - Йорке.

Этот документ остается основным источником информации по математике древнего Египта. Он содержит чертежи треугольников с указаниями углов и формулами нахождения площадей

Стороны прямоугольного треугольника: гипотенуза и катеты.

        Термин гипотенуза происходит от греческого  hypoteinsa,

означающего тянущаяся под чем либо,  стягивающая.  Слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны  натягивались на концы двух взаимно перпендикулярных подставок.

    Термин катет происходит от

греческого слова «катетос », которое означало отвес,  перпендикуляр. В средние века словом катет  означали высоту прямоугольного треугольника, в то время,  как другие его стороны называли гипотенузой, соответственно основанием. В XVII  веке слово катет  начинает применяться в современном смысле и широко распространяется, начиная с XVIII  века.

2.Свойства прямоугольного треугольника. Свойства углов: 

   А                      - сумма острых углов прямоугольного треугольника 

                                равна 900;

                             -  угол, лежащий против катета, равного половине гипоте-

                               нузы,   равен  300

                              - в  равнобедренном прямоугольном треугольнике острые    

                                    Углы равны по 450

   В                         С                  Свойства сторон:    

                                             - катет всегда меньше гипотенузы;

                                              - катет, лежащий против угла в 300, равен поло-

                                               вине гипотенузы.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.   Для того, чтобы установить равенство треугольников, необходимо доказать равенство трех элементов, взятых в каждом треугольнике.  Для прямоугольных же треугольников достаточно двух элементов. Итак, два прямоугольных треугольника равны, если

• катеты одного из них, равны катетам другого;
• гипотенуза и острый угол одного из них равны гипотенузе и острому углу другого;
• катет и острый угол одного из них равны катету и острому углу другого.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

     1.Высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу,                                                                                     

                                                                           С

                                         b                                                            a

     А                                            cb                                 H       ca                      B           есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенуза, на которые она делится этой высотой.

2.Каждый катет в прямоугольном треугольнике есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между этим катетом и высотой, опущенной на гипотенузу из вершины прямого угла.

 Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

         А                                      Синусом острого угла прямоугольного

                                                   треугольника называется отношение

                                                   противолежащего катета к гипотенузе.

                                                          Косинусом острого угла прямоугольного  

                                                     треугольника называется отношение при-

          С                             В          лежащего катета к гипотенузе.    

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется   отношение противолежащего катета ко второму катету.

        Зная острый угол   и одну из сторон прямоугольного треугольника можно вычислить оставшиеся углы и стороны.

         Знаменитая теорема Пифагора:  в  прямоугольном треугольнике  квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Прямоугольный треугольник и окружность.

    С                                            Вокруг прямоугольного треугольника можно

                                           описать окружность и при том только одну.

                                               Центр этой окружности – середина гипотенузы,

А                                       В      а радиус равен половине гипотенузы.

                                                            В прямоугольный треугольник можно

                                                вписать окружность и при том только одну.

Центр этой окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.  А вот формулы для вычисления радиуса вписанной окружности мы не изучали.

        Я самостоятельно рассмотрел эту проблему и получил две формулы для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.

1. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны  a, b, а гипотенуза равна  c. Отрезки касательных, проведенных из точки  А равны m,а отрезки касательных, проведенных из точки В равны n.

                А                                  Радиус вписанной окружности равен r.

                                                   Тогда периметр треугольника  Р запишется так:

                m                m                   P = r + m + m + n + n + r = 2m + 2n + 2r.

                                                          P = 2(m + n) + 2r. Но m + n = c, значит

                                                                    Значит P = 2c + 2r  или

                r            r                     n                   r = (P – 2c) : 2, где Р – периметр,

                 С                                      В                    а с – гипотенуза.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен разности полупериметра этого треугольника и его гипотенузы.

                        r                   n

2. Пусть S - площадь прямоугольного треугольника;  a, b  -  катеты; c –гипотенуза; P - периметр и r –радиус вписанной окружности.

S =  ab и  S =  Pr, тогда     ab =  Pr. Отсюда   ab = Pr  или  r =  

   То есть  r = .

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен  частному от деления произведения катетов на периметр этого треугольника.

Теперь при решении задач я могу использовать выведенные формулы.

3.Каковы его возможности.

     Прямоугольный треугольник служит ключиком к решению очень и очень многих геометрических задач, не только планиметрии, но и стереометрии.

 Он имеет и практическое применение.

     В Древней Греции уже был известен способ построения прямоугольного треугольника на местности. Для этого использовали веревку, на которой были завязаны 13 узелков, на одинаковом расстоянии друг от друга. При определении площади земельного участка его разбивали на прямоугольные треугольники и находили площадь каждого прямоугольного  треугольника отдельно, а затем суммировали результат.

            Среди множества пирамид сохранившихся до нашего времени особое место занимает пирамида Хеопса. Если рассмотреть геометрическую модель этой пирамиды и восстановить её первоначальную форму, то очевидно, что её поперечное сечение представляет собой два прямоугольных  треугольника с внутренним углом равным 51°50'.
       Сейчас пирамида является усеченной, но это разрушения времени, а если геометрически восстановить её в первоначальном виде, то получается что стороны этих треугольников равны: основание 116, 58 м, высота 148,28 м.
     Отношение катетов у/х = 148,28/116,58 = 1,272. А это величина тангеса угла 51град 50 мин. Получается, что в основу треугольника АСВ пирамиды Хеопса было заложено отношение AC/CB = 1,272. Такой прямоугольный треугольник называется "золотым" прямоугольным треугольником.
     Но особой в этом отношении является пирамида Хефрена. Угол наклона боковых граней у этой пирамиды равен 53°12, при котором отношение катетов прямоугольного треугольника 4 : 3. Такой треугольник называют "священным" или "египетским" треугольником. По мнению многих известных историков, "египетскому" треугольнику в древности придавали особый магический смысл. Так Плутарх писал, что египтяне сопоставляли природу Вселенной со "священным" треугольником: символически они уподобляли вертикальный катет мужу, основание - жене, а гипотенузу - тому, что рождается от обоих.
         Получить прямой угол без необходимых инструментов не просто. Но если воспользоваться этим треугольником, оказывается все достаточно просто. Нужно взять обычную веревку, разделить её на 12 равных частей, и из них сложить треугольник, стороны которого будут равны 3, 4 и 5 частям. Угол между сторонами длиной 3 и 4 части оказывается и есть прямой. Вот это и есть Египетский треугольник Пифагора.
       Во многих исторических письменах имеются следы, что уникальные свойства "египетского треугольника" были известны и широко использовались за много веков до Пифагора и не только в Египте, но и далеко за его пределами: в Месопотамии, в древнем Китае, в Вавилоне.
   В наше время без прямоугольных треугольников не обойтись: это и разметка участков, строительство зданий, конструирование мебели, бытовой техники, одежды и т.д.

 4.Заключение.

    Форма этого треугольника и проста и в то же время гармонична, по своему он даже красив. И с ним достаточно легко работать. Для этого можно использовать самые простые инструменты - линейку и циркуль. Использую этот незатейливый элемент и его симметричные отображения, можно получить красивые, гармоничные фигуры. Это удивительное богатство гармоничных пропорций.  И самое главное – прямоугольный треугольник действительно простой и неисчерпаемый.  Он проводник в  удивительный мир геометрии, в мир ещё полный тайн и нерешенных задач. И кто знает, может нас ждут новые ещё нераскрытые свойства прямоугольного треугольника.

  Я надеюсь, что моя работа будет интересна не только мне, но и другим ребятам. Тем, для кого геометрия пока остаётся непонятной и трудной наукой.

 Я  думаю, что с этой работой полезно познакомиться учащимся восьмого и девятого классов,  и она поможет им понять геометрию и успешно подготовиться к выпускному экзамену.

                           Использованные  ресурсы

1.Л.С.Атанасян. Геометрия 7 – 9 .Учебник для общеобразовательных школ.

2.http://fizmat.by

3.http://matznanie.ru

4. http://fevt.ru

5. http://dasinok.ru

6. http://sites.google.ru

7. http://images yandex.ru