Пифагор и его теорема

Слайд 1

Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдём: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим – И таким простым путём К результату мы придём. Работу выполнил: Жабрицкий Евгений Олегович, ученик 8В класса МБОУ СОШ №19 Руководитель: Гаева Светлана Михайловна 2014-2015 учебный год

Слайд 2

Содержание 1. Биография Пифагора 2. История теоремы Пифагора 3. Способы доказательства теоремы Пифагора 4. Исторические задачи

Слайд 3

ПИФАГОР САМОССКИЙ - мыслитель, математик, философ (ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.) О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове. Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет. Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Он поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне. Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Слайд 4

История теоремы Пифагора. Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связана с именем Пифагора, она была известна задолго до него. Древний Китай Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". Древний Египет Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3² + 4² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея) По мнению Кантора гарпедонапты , или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.

Слайд 5

Древний Вавилон Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками. Древняя Индия Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э. Ван-дер-Варден крупнейший голландский историк математики считает: «Заслуга первых греческих математиков: Фалеса, Пифагора и пифагорейцев – не открытие математики, а ее обоснование и систематизация. Основанные на расплывчатых представлениях вычислительные рецепты они смогли превратить в точную науку». На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств теоремы Пифагора. Именно это число и занесено в книгу рекордов Гиннеса, а сама теорема считается имеющей наибольшее количество доказательств.

Слайд 6

Способы доказательства теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Дано : Δ ABC, AC = b, AB = c, BC = a. Доказать: с ² = а ² + b ² Доказательство: 1)Достроим треугольник до квадрата со стороной (а+b) 2) S кв = ( a +b) ², C другой стороны этот квадрат состоит из четырех равных прямоугольных треугольников . S тр = 1 /2 *ab , S кв = с ² , S кв = 4 * S тр + S кв Таким образом, ( a +b) ² = 4* ½* ab + с ² а ² + 2 *ab + b ² = 2*ab + с ² а ² + b ² = с ² Теорема доказана.

Слайд 7

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С (рис.6). По определению косинуса угла (косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе): cos A = AD / AC = AC / AB , отсюда AB * AD = AC * AC . Аналогично cos B = BD / BC = BC / AB , отсюда AB * BD = BC * BC . Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD + DB = AB , получим: AC* AC +BC*BC=AB(AD + DB)=AB*AB. Теорема доказана.

Слайд 8

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С (рис.6). Треугольники АВС и АС D подобны (по первому признаку подобия треугольников). Следовательно, AD / AC = AC / AB , отсюда AB * AD = AC ² . Аналогично треугольники АВС и СВ D подобны (по первому признаку подобия треугольников). Следовательно, BD / BC = BC / AB , отсюда AB * BD = BC ² . Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD + DB = AB , получим: AC ² + BC ² =AB * (AD + DB)=AB ² . Обозначим стороны прямоугольного треугольника АВС соответственно а = ВС, b = АС, с = АВ. Тогда будет иметь место формула а ² + b ² = с ² Теорема доказана.

Слайд 9

Исторические задачи . Теорема Пифагора всегда имела широкое применение при решении самых разнообразных геометрических задач. Задача индийского учёного Бхаскара «На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?» Решение: AC ² + BC ² = AB ², АВ = 5 Ответ: высота тополя 8 футов (5 + 3) Задача из китайской «Математики в девяти книгах» «Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?».