Творческая работа по теме "Различные доказательства теоремы Пифагора"

Различные доказательства теоремы Пифагора.

Оглавление:

1.Введение

2.Жизнь и творчество Пифагора

3.Знаменитая теорема Пифагора

4.Другие доказательства теоремы Пифагора.

5.Заключение

1.Введение

1).В своей работе я хочу рассказать о Пифагоре и о теореме Пифагора, так как меня интересует геометрия как наука в целом, и ее изучение пригодится мне в дальнейшем.  Первое что меня привлекло в этой теме – это возможность изучить практические свойства самой знаменитой теоремы в геометрии. Второе-это развитие различных технологий, где используется эта теорема, и которые мне кажутся перспективными сейчас и в будущем.

 На протяжении многих лет людей интересовал вопрос о теореме Пифагора и о различных способах её доказательства.  В современных школьных учебниках рассматриваются традиционные доказательства теоремы Пифагора. Это - алгебраическое доказательство, основанное на площади.  Приведено в учебнике «Геометрия 7-9», Л. С. Атанасян.  Доказательство Евклида рассматривается в учебнике «Геометрия: Учебник для 6-9 классов средней школы», А.П.Киселёв.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота - красота - значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой.

 2). Актуальность темы

 Теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.) свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций, Теорема Пифагора представляет большой интерес-это фундамент, основа всех математических вычислений, расчетов и многих изобретений. Считаю, что его труды и великие открытия, которые он произвел, до сих пор актуальны, так как находят свое применение во многих отраслях науки и жизнедеятельности всего человечества. Куда бы мы ни посмотрели, везде можно увидеть плоды его великих идей, воплощенные в различные реалии современной жизни.  

3).  Цели и задачи
 Цель: Знакомство с историей жизни, изучение творческого пути Пифагора. Изучение доказательств теоремы. Выяснить, почему так знаменита теорема Пифагора?  Возможность собрать и представить наиболее полную информацию по данной теме  для того, чтобы дать возможность другим ученикам получить более глубокие сведения по теме «Теорема Пифагора».

Задачи:  

1.Изучить  биографию  Пифагора;

2. Найти  и изучить различные способы  существующих доказательств теоремы;

3. Работать с литературой,  в сети  Интернета;

4. Учиться обобщать и обрабатывать полученную информацию.

2.Жизнь и творчество Пифагора.

Пифагор Самосский  — древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев.

Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом».

Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с острова Самос. Мнесарх был камнерезом; по словам же Порфирия он был богатым купцом из Тира, получившим самосское гражданство за раздачу хлеба в неурожайный год. Партенида, позднее переименованная мужем в Пифаиду, происходила из знатного рода Анкея, основателя греческой колонии на Самосе.

Рождение ребёнка будто бы предсказала Пифия в Дельфах, потому Пифагор и получил своё имя, которое значит «тот, о ком объявила Пифия». В частности, Пифия сообщила Мнесарху, что Пифагор принесет столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесет в будущем никто другой. Поэтому, на радостях, Мнесарх дал жене новое имя Пифаида, а ребёнку — Пифагор. Пифаида сопровождала мужа в его поездках, и Пифагор родился в Сидоне Финикийском (по Ямвлиху) примерно в 570 до н. э.

По словам античных авторов, Пифагор встретился, чуть ли не со всеми известными мудрецами той эпохи, греками, персами, халдеями, египтянами, впитал в себя всё накопленное человечеством знание. В популярной литературе иногда приписывают Пифагору Олимпийскую победу в боксе, путая Пифагора-философа с его тёзкой (Пифагором, сыном Кратета с Самоса), который одержал свою победу на 48-х Играх за 18 лет до рождения знаменитого философа.

В юном возрасте Пифагор отправился в Египет, чтобы набраться мудрости и тайных знаний у египетских жрецов. Поликрат снабдил Пифагора рекомендательным письмом к фараону Амасису, благодаря чему он был допущен к обучению и посвящён не только в египетские достижения медицины и математики, но и в таинства, запретные для прочих чужеземцев.

Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его не увёл в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбиз, завоевавший Египет в 525 до н. э. В Вавилоне Пифагор пробыл ещё 12 лет, общаясь с магами, пока, наконец, не смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где

соотечественники признали его мудрым человеком.

Пифагор поселился в греческой колонии Кротоне в Южной Италии, где нашёл много последователей. .Там он основал научно-философское и религиозно-политическое сообщество единомышленников, получившее впоследствии название «Пифагорейский союз», который становится одновременно политической партией, философской школой, а также религиозным братством. В Кротоне он и создал свою философию, указывающую путь человеку после смерти. В школу пифагорейцев принимались все, независимо от пола. Ритуал посвящения в члены пифагорейского братства был окружен множеством таинств, разглашение которых сурово каралось. "Когда к нему приходили младшие и желающие жить совместно, он не сразу давал согласие, а ждал, пока их не проверит и не вынесет о них свое суждение" (Ямвлих). Но и, попав в орден после строгого отбора и испытательного периода, новички могли только из-за занавеса слушать голос учителя, видеть же его самого разрешалось только после нескольких лет очищения музыкой и аскетической жизнью. Впрочем, это не был суровый христианский аскетизм, умерщвляющий плоть. Пифагорейский аскетизм для новичка сводился, прежде всего, к обету молчания. "Первое упражнение мудреца, состояло у Пифагора в том, чтобы до конца смирить свой язык и слова, те самые слова, что поэты называют летучими, заключить, ощипав перья, за белой стеною зубов. Иначе говоря, вот к чему сводились начатки мудрости: научиться размышлять, разучиться болтать" (Апулей). В школе все ученики воспитываются в жёсткой дисциплине нравов. Обучение была многоступенчатое, и только прошедшие все ступени испытаний, получали сокровенные знания. Вскоре союз стал центром духовно-политической жизни Кротона. Это была закрытая, тайная организация с определенным уставом, культивирующим размеренный, созерцательный образ жизни, который следовал из их представления о Космосе как упорядоченном,  гармоничном, симметричном целом, постигнуть который дано не всем, а только избранным, т.е. тем, кто ведет особый образ жизни созерцателя, самоуглубляющегося, самосовершенствующегося мудреца. 

Основное мировоззренческое положение союза (которое принадлежит, очевидно, Пифагору) — «все есть число». Ранние пифагорейцы воспринимали число как божественное начало, сущность мира, а в исследованиях числовых отношений видели средство спасения души, некий религиозный ритуал, очищающий человека и сближающий его с богами. Это философско-религиозное учение о том, что «мир есть число», ускоряло перевод математики из области практически-прикладной, вычислительной в сферу теоретическую, в систему понятий, логически связанных между собой процедурой доказательства. Мир целостен, гармоничен, в нем все взаимосвязано. В то же время «мир есть число», значит, все числа связаны между собой, а занятия математикой позволят эти связи установить, прояснить их логическими доказательствами. Кто изучит и поймет божественные числовые отношения, тот сам станет божественным (подобно Пифагору), а его душа перестанет переселяться в другие существа (реинкарнация) и возвысится до абсолютного блаженства. Так закладывались философско-религиозные предпосылки математического и естественнонаучного познания. Вначале пифагорейцы формируют сугубо конкретное физическое понимание числа: числа - особые протяженные вещи, из которых составляются предметы чувственного мира. Они - начало и элемент всего сущего. Логическая основа этого представления- геометрическое понимание чисел: единица - это точка, две точки определяют прямую линию, три точки - плоскость. Отсюда представления о треугольниках, квадратах, прямоугольниках. Треугольник - есть первоисточник рождения и сотворения различных видов вещей. Квадрат несет в себе образ божественной природы, эта фигура символизирует высокое достоинство, ибо прямые углы предают целостность, а количество сторон способно устоять перед силой. Здесь нужно упомянуть о главном пифагорейском символе - пифагорейская звезда, которая образована диагоналями правильного пятиугольника.

Членов союза привлекала не только мистическая философия, которую Пифагор убедительно излагал, но и предписываемый им образ жизни с элементами здорового аскетизма и строгой морали. Пифагор проповедовал нравственное облагораживание невежественного народа, достигнуть которого возможно там, где власть принадлежит касте мудрых и знающих людей, и которым народ повинуется в чём-то безоговорочно, как дети родителям, а в остальном сознательно, подчиняясь нравственному авторитету.

Пифагору традиция приписывает введение слов философия и философ

Среди последователей и учеников Пифагора оказалось немало представителей знати, которые пытались изменить законы в своих городах в соответствии с пифагорейским учением. На это наложилась обычная борьба той эпохи между олигархической и демократической партиями в древнегреческом обществе. Недовольство большинства населения, не разделяющего идеалов философа, вылилось в кровавые мятежи в Кротоне и Таренте.

 Пифагорейцы образовали большое сообщество (их было более трёхсот), но оно составляло лишь небольшую часть города, который уже не управлялся согласно тем же обычаям и нравам. Впрочем, пока кротонцы владели своей землёй, и Пифагор находился у них, сохранялось государственное устройство, существовавшее от основания города, хотя были недовольные, ожидавшие удобного случая для переворота. Но когда завоевали Сибарис, Пифагор уехал, а пифагорейцы, управлявшие завоёванной землёй, не распределили её по жребию, как хотело большинство, то затаённая ненависть вспыхнула, и множество граждан выступило против них… Родственники пифагорейцев относились с ещё большим раздражением к тому, что те подают правую руку только своим, а из близких — только родителям, и что они предоставляют своё имущество для общего пользования, а от имущества родственников оно отделено. Когда родственники начали эту вражду, остальные с готовностью присоединились к конфликту… Через много лет… кротонцами овладели сожаление и раскаяние, и они решили вернуть в город тех пифагорейцев, которые ещё были живы.

Согласно Порфирию и сам Пифагор погиб в результате антипифагорейского мятежа в Метапонте, однако другие авторы не подтверждают этой версии, хотя охотно передают историю о том, будто бы удручённый философ уморил себя голодом в священном храме.

Ученики Пифагора образовали своего рода религиозный орден, или братство посвящённых, состоящий из касты отобранных единомышленников, буквально обожествляющих своего учителя — основателя ордена. Этот орден фактически пришёл в Кротоне к власти, однако из-за антипифагорейских настроений в конце VI в. до н. э. Пифагору пришлось удалиться в другую греческую колонию Метапонт, где он и умер. Почти 450 лет спустя, во времена Цицерона (I в. до н. э.), в Метапонте как одну из достопримечательностей показывали склеп Пифагора.

У Пифагора была жена по имени Феано, сын Телавг и дочь Мня.

Пифагор возглавлял своё тайное общество тридцать девять лет, тогда приблизительная дата смерти Пифагора может быть отнесена к 491 до н. э., к началу эпохи греко-персидских войн. 

Так как Пифагор был очень талантливым человеком, он писал ещё и стихи: вот одни из них.

Золотые стихи Пифагора

Приготовление

Должен ты Богам Бессмертным* приносить совершенную жертву: веру свою сохранять, чтить память великих героев, с окружающим миром быть в ладу.

Очищение

Мать и отца уважай, также — и ближних твоих.

Другом себе избери истинно мудрого мужа, слушай советов его, следуй его примеру, из-за ничтожных причин с ним никогда ты не ссорься.

Помни о законе причин и следствий в твоей судьбе.

Страсти свои побороть — свыше дана тебе возможность. Так обуздай же в себе мощным усилием воли — и жадность, и лень, и сексуальные страсти, и гнев безрассудный!

И будучи один, и при людях — бойся свершения тобой дурного поступка! Храни честь свою!

Будь всегда справедлив и в словах, и в поступках своих, следуя в них непреклонно велениям и ума, и закона.

Не забывай, что рок неизбежный приводит к смерти всех людей.

Помни, что блага земные, как с лёгкостью людям даются, так же легко и изымаются от них.

Что же касается бед, даваемых людям согласно их судьбам, то должен ты с терпеньем кротким их сносить. Но при этом, сколько возможно, старайся боль ту облегчить. И помни, что Боги Бессмертные не дают людям испытаний превыше их силы.

Много возможностей выбора существует у людей. Много средь них возможностей дурных, много и добрых. Посему прежде нужно в них зорко вглядеться, чтоб выбрать из них для себя достойный путь.

Если же среди людей заблуждение возьмёт верх над правдой — мудрый отходит и ждёт воцарения истины снова.

Слушай внимательно то, что тебе Я скажу, и запомни:

Пусть не смущают тебя поступки и мысли других людей, пусть не побудят они тебя к вредным словам и деяниям!

Слушай советы людей, сам размышляй неустанно! Ведь лишь глупец действует без предварительного размышления!

Делай лишь то, что потом тебя не повергнет в горе и не послужит тебе причиной для угрызений совести!

За неизвестное тебе дело не дерзай приниматься сразу, но обучись прежде ему — лишь тогда ты достигнешь успеха!

Изнурять своё тело ты не должен, но старайся пищи, питья и упражнений давать ему в меру — дабы тело твоё укрепилось, не зная ни излишеств, ни лени!

В жизни своей соблюдай, насколько возможно, порядок. Роскошь во всём изгони! Ведь она возбуждает зависть в других людях.

Бойся быть скупым!

Бойся также добро расточать, подобно бездельникам!

Делай лишь то, что тебя ни теперь, ни потом не погубит! И потому обдумывай прежде каждый свой шаг и поступок.

Совершенствование

Да не сомкнёт сон твои отягчённые веки, прежде чем ты трижды не вспомнишь свои дневные поступки. Как беспристрастный судья, ты их разбери, вопрошая себя: «Что доброго я совершил? Что не исполнил из должного?» Так проверяй по порядку всё, что сделал ты в день с утра и до ночи. И за всё, что содеяно было дурного, строго себя обличай! И радуйся — за сотворённое тобою добро и за удачи!

Пользуйся сим наставлением, думай над ним непрестанно и постарайся следовать ему всегда! Ибо советы Мои к Совершенству тебя приблизят! Поручителем сему да будет. Тот, Кто вложил в нас залог Божественной Сущности и высшей добродетели!

Принимаясь за дело, прежде к Богам обратись с искренним прошением — дабы с Их помощью ты окончил своё дело!

А когда на пути сем ты укрепишься — то всё о Богах Бессмертных ты узнаешь, а также о людях, о том, чем они различаются между собой, о Том, Кто в Себе их содержит, являясь их Основой, а также о том, что всё Мироздание является, по сути, Единым Целым, и что в Вечном нет мёртвого вещества.

Это, познав, ты уже не станешь ошибаться: ибо всё тебе будет открыто!

Будешь ты знать ещё и то, что люди все свои несчастья сами на себя навлекают — своей виной по причине неведения! И что ведь выбирают свободно они свои судьбы!

Горе им! В своём ослеплении безумном люди не видят, что желанное счастье таится в их же собственной глубине!

Очень немного меж нами тех, что могут сбросить с себя несчастья собственными усилиями, ибо слепы люди в понимании закона построения их собственных судеб! Словно колёса, они катятся с гор, влача на себе бремя своих прежних причинений вреда другим и ссор, что незримо правит их судьбами — до самой их кончины…

Вместо того чтоб искать ссору, где только возможно, — люди должны бы её избегать, уступая без спора…

Ты ли один, о Зевс всемогущий, в силах избавить род людской от несчастий, ту тьму неведения им, показав, что ослепляет их очи?!

Но всё же, не следует оставлять надежду на спасение людей из этого мрака — ибо каждый человек имеет Божественный корень, и природа готова открывать ему тайны бытия. Если же в них, и ты проникнешь — то скоро свершится то, что Я тебе предрекаю!

Так излечи душу! Откроет это тебе Путь к Освобождению!

И воздержись от питания плотью: это противно природе твоей и будет мешать при очищении твоём!

Итак, если хочешь избавиться ты от пут земного, то руководствуйся сим свыше данным тебе пониманием! Пусть оно — правит твоей судьбою!

И после того, как преобразишь ты полностью душу, — сможешь стать ты Богом Бессмертным, смерть раздавившим стопою.

3.Знаменитая теорема Пифагора.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, техники и практической жизни. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, греческий учёный lll в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и многие другие. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков, послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Поэт Генрих Гейне(1797-1856), известный своими антирелигиозными взглядами и язвительными насмешками над суевериями, в одном из своих произведений высмеивает «учение» о переселении душ следующим образом: «Кто знает! Кто знает! Душа Пифагора поселилась, быть может, бедняку - кандидата, не сумевшего доказать теоремы Пифагора и поэтому провалившегося на экзамене, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех самых быков, которых некогда Пифагор принес в жертву бессмертным богам, обрадованный открытием своей теоремы». История Пифагоровой теоремы начинается задолго до Пифагора. На протяжении веков были даны многочисленные разные доказательства теоремы Пифагора.

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

Долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна и названа ее потому «теоремой Пифагора». Это название сохранилось поныне. Однако в настоящее время установлено, что эта важнейшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. О том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 есть прямоугольник, знали за 2000 лет до н.э. египтяне, которые, вероятно пользовались этим отношением для построения прямых углов при сооружении зданий. В Китае предложение о квадрате гипотенузы было известно, по крайней мере, за 500 лет до Пифагора. Эта теорема была известна и в Древней ,Индии; об этом свидетельствуют следующие предложения, содержащиеся в «Сутрах».  

Теорема.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство.

        б        а        

а        б

а        а        рис.1а

        б        б

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, б и гипотенузой с (рис.1а). Докажем, что с2= а2 + б2.

Достроим треугольник до квадрата со стороной а+б так, как показано на рис.1а. Площадь этого квадрата равна (а+б)2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь которых равна 1/2  аб , и квадрата со стороной с, поэтому

S=4 ½ аб+с2= 2аб+с2.

Таким образом,

(а+б)2=2аб+с2,

Откуда

С2=а2+б2.

Теорема доказана.

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через , а длины катетов через  и :

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора:

Для всякой тройки положительных чисел ,  и , такой, что , существует прямоугольный треугольник с катетами  и  и гипотенузой .

Стихотворение, посвящённое теореме Пифагора:

Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать.
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.

4.Другие доказательства теоремы Пифагора

На данный момент в научной литературе зафиксировано около 500 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольникCBH подобен ABC. Введя обозначения

получаем

Что эквивалентно

Сложив, получаем

или

, что и требовалось доказать

Стул невесты

На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты". Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе. На рисунках ниже изображены два различных расположения близких к тому, которое дается на первом рисунке.

Доказательство через равнодополняемость

Рис.1

1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке 1.
2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.

Что и требовалось доказать.

Доказательство Евклида.

Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал". На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL - квадрату АС КG. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD и РFBC = PABD. Но SABD = 1/2 SBJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SFBC = 1/2 SABFH (BF-общее основание, АВ - общая высота). Отсюда, учитывая, что SABD = SFBC , имеем SBJLD = SABFH. Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что SJCEL = SACKG. Итак, SABFH + SACKG = SBJLD + SJCEL = SBCED, что и требовалось доказать.

Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли "ходульным" и "надуманным". Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений 1-й книги "Начал". Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь.

Древнеиндийское доказательство

Этот метод сочетает в себе алгебру и геометрию и может рассматриваться как вариант древнеиндийского доказательства математика Бхаскари.

Постройте прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c (рис.1). Затем постройте два квадрата со сторонами, равными сумме длин двух катетов, – (a+b). В каждом из квадратов выполните построения, как на рисунках 2 и 3.

В первом квадрате постройте четыре таких же треугольника, как на рисунке 1. В результате получаться два квадрата: один со стороной a, второй со стороной b.

Во втором квадрате четыре построенных аналогичных треугольника образуют квадрат со стороной, равной гипотенузе.

Сумма площадей построенных квадратов на рис.2 равна площади построенного нами квадрата со стороной с на рис.3. Это легко проверить, высчитав площади квадратов на рис. 2 по формуле. А площадь вписанного квадрата на рисунке 3. путем вычитания площадей четырех равных между собой вписанных в квадрат прямоугольных треугольников из площади большого квадрата со стороной (a+b).

Записав все это, имеем: a2+b2=(a+b)2 – 4*1/2*a*b. Раскройте скобки, проведите все необходимые алгебраические вычисления и получите, что a2+b2= a2+b2. При этом площадь вписанного на рис.3. квадрата можно вычислить и по традиционной формуле S=c2. Т.е. a2+b2=c2 – вы доказали теорему Пифагора.

Древнекитайское доказательство.

Древнекитайское доказательство. Математические трактаты Древнего Китая

дошли до нас в редакции II в. до н.э. Дело в том,

что в 213 г. до н.э. китайский император Ши

Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н.э. в

Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла тематика в девяти

книгах» — главное из сохранившихся

математико - астрономических

сочинений в книге «

Математики» помещен

чертеж (рис. 2, а), доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству

подобрать нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямо

угольных треугольника с катетами а,

b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует

квадрат со стороной, а+b, а внутренний — квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. 2,

б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных

треугольника уложить в два прямоугольника (рис. 2, в), то ясно, что

образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с2, а с

другой — а2+Ь2, т.е.

с2=а

2+Ь2. 

Теорема доказана. Заметим, что при таком

доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видим на

древнекитайском чертеже (рис. 2, а), не используются. По-видимому, древнекитайские математики имел

и другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два

заштрихованных треугольника (рис. 2, б) 

отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис. 2,

г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют

«креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и b, 

т.е. с2=а2+Ь2.

Доказательство с помощью листа бумаги и ножниц.

Известная 47-я теорема Евклида—   теорема Пифагора—допускает много изящных доказательств с помощью ножниц. Мы приведем лишь одно замечательное доказательство, открытое в прошлом веке Генри Перигэлом, лондонским биржевым маклером и астрономом-любителем. Постройте квадраты на катетах любого прямоугольного треугольника (рис. 196).

Рис. 196 Доказательство теоремы Пифагора с помощью листа бумаги и ножниц.

Разделите большой квадрат (или любой из квадратов, если прямоугольный треугольник равнобедренный) на четыре одинаковые части, проведя через центр квадрата две взаимно перпендикулярные прямые, одна из которых параллельна гипотенузе треугольника. Вырежьте из листа бумаги части большего квадрата и меньший квадрат. Не меняя их ориентации на плоскости, вырезанные части можно передвинуть так, что они составят один большой квадрат (на рис. 196 этот квадрат показан пунктиром), построенный на гипотенузе.

Перигэл открыл свой способ разрезания квадрата где-то около 1830 года, но опубликовал его лишь в 1873 году. Он был в таком восторге от своего открытия, что приказал отпечатать схему разрезания квадрата на своей визитной карточке и изготовил и роздал сотни головоломок, в которых из пяти частей нужно было сложить два квадрата. (Тем, кто не видел схемы разрезания, сложить эти части так, чтобы они сначала составили два квадрата, а затем один большой, довольно трудно.) Из некролога, помещенного в 1899 году в заметках Лондонского королевского астрономического общества, мы узнаем любопытную деталь о Перигэле: «… главной целью его жизни в астрономии» было убедить других, «в особенности молодых людей, еще не закосневших в противоположном мнении», что выражение «Луна обращается вокруг Земли» неправильно передает характер движения нашего естественного спутника. Перигэл писал брошюры, строил модели и даже сочинял поэмы, чтобы доказать инакомыслящим правильность своей точки зрения, «с неизменной стойкостью духа перенося все новые и новые разочарования и убеждаясь, что ни одно из использованных им средств не приносит желаемого результата».

Доказательство  Вальдхейма.





Это доказательство также имеет вычислительный характер. Можно использовать рисунки для доказательства основанного на вычислении площадей двумя способами. 
Для того чтобы доказать теорему пользуясь первым рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями.
Sтрапеции=(a+b)²/2 

S трапеции=a²b²+c²/2

Приравнивая правые части получим:

a²+b²=c²

Теорема доказана.

Доказательство Хоукинса



Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого- трудно сказать.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

SCAA'=b²/2

SCBB'=a²/2

SA'AB'B=(a²+b²)/2


Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому

SA'AB'B=c·DA/2+ c·DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:

a²+b²=c²

Теорема доказана.

Доказательство Леонардо да Винчи

Главные элементы доказательства — симметрия и движение. Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок  CI  рассекает квадрат  ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки A , мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJ I и DABJ.Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов (построенных на катетах) и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади большого квадрата (построенного на гипотенузе) плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

5.Заключение.

В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение ее состоит прежде всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно здесь привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеется, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.