ВВЕДЕНИЕ

Среди огромного разнообразия математических задач лично для меня всегда выделялись задачи на построение логических рассуждений. Может быть, потому что они не требуют каких-то особых знаний, доступных лишь в старших классах, что позволяет попробовать свои силы в поисках решений даже еще не поступившим в школу. С другой стороны, я неоднократно видел, как изначально кажущиеся простыми задания ставили в тупик даже умудренных годами математиков. В любом случае, процесс решения логических задач увлекателен и требует зачастую взглянуть на условие совсем под другим углом, а иногда поиск ответа приводит к осознанию того, что если ты правильно понял условие, то верное решение отсутствует. Здесь самое время понять, что как раз условие понято неправильно.

        Естественно, этот интеллектуальный хаос сложно поддается даже классификации, не говоря уже о выработке какого-то подхода, получения единого правила. И все же, тем и прекрасна математика, что позволяет внести порядок буквально повсюду.

        Цель моей работы, рассмотреть небольшую группу логических задач, известных как "задачи о мудрецах и колпаках" или "о гномах и капюшонах". Этот раздел вполне поддается детальному анализу, результатом которого становится вполне действенный алгоритм, позволяющий достигать результата. Попутно будут решены несколько основополагающих задач. Кроме этого, я попробую взглянуть на "классическую" загадку о трех мудрецах с позиции критики "классического" же решения.

        В заключение будет рассмотрена задача казалось бы этого же раздела, но требующая совсем другого подхода.

        Начну же я с задачи, опубликованной Лихтарниковым Л.М. в журнале "Квант" №1 1994г.

ВОЛШЕБНОЕ ЗЕРКAЛО МАГА

Эту историю рассказал в своих мемуарах досточтимый Бильбо Бэггинс.

        Урок мага начался после хорошего ужина и десерта из кексов, кофе и доброго эля, когда Бильбо пригласил гостей посидеть у камина. Средь общего гвалта и шума неожиданно серьезным стал Гэндальф и пробурчал себе под нос: «.. Ну что же, меня это развлечет, а вам будет полезно, а возможно, и выгодно... »

 - Прелестно! - сказал Гэндальф. - Уважаемый Торин! В каких капюшонах прибыли сюда гномы?

 - В лучших отстежных капюшонах для хождения в гости, разумеется! Самых разных цветов. А, еще в нашем багаже есть запасные капюшоны, к вашим услугам, - ответил Торин с некоторым удивлением.

- Несите их все сюда! - распорядился Гэндальф.

        Гномы быстро принесли капюшоны. Целую кучу разноцветных капюшонов! Гэндальф выбрал из кучи шесть красных, два синих и два белых капюшона, а все остальные велел спрятать. Затем он усадил в кружок пятерых гномов: Фили, Кили, Дори, Нори и Ори и велел Бильбо погасить лампу.

        Когда лампу через минуту зажгли, то все увидели, что на Фили был надет белый капюшон, на Кили - синий, на Дори, Нори и Ори - красные. Правда, Гэндальф тут же спросил пятерых гномов, видят ли они, какого цвета капюшоны на их головах, и выяснилось, что увидеть, какой капюшон у тебя на голове, невозможно.

- Ну и что дальше? - спросил Бильбо.

 - А дальше я попрошу этих гномов назвать цвет капюшонов, которые на них надеты, - сказал маг. - И чтоб больше никто рот не открывал! Я думаю, что кто-то из них может решить эту задачу.

        В полном молчании слышалось только обиженное сопение всех тринадцати гномов, которые, как известно, всегда сопят носом при значительном интеллектуальном напряжении. Прошло десять минут, но никто из пятерых не смог назвать цвета своего капюшона. Когда Гэндальф разрешил говорить, раздался общий возмущенный вопль гномов:

 - Это нельзя сделать без зеркала! - кричали гномы.

 - Вздор! - отрезал Гэндальф. - Вечно вам, гномам, нужны инструменты. Зеркала вам подай! Я утверждаю, что у каждого из вас уже есть замечательное волшебное зеркало. Да не озирайтесь, Ори, зеркало не на капюшоне, а под вашим крепким черепом! Думаю, что придется обратиться за помощью к хоббиту. Что вы думаете об этой задаче, Бильбо?

        Но прежде, чем помочь Бильбо решить эту, несомненно, сложную и запутанную задачу, стоит начать с более простых, которые позволят собрать ряд наблюдений и даже вывести необходимые закономерности.

Вот скажем, если бы гномов было два, скажем, Балин и Двалин и три капюшона - два красных и один синий.

Когда лампу зажгли, то на Балине был надет красный капюшон, а на Двалине - синий. Балин увидел на Двалине синий капюшон и сразу завопил:

- у Бильбо был один синий! Значит, на мне красный капюшон! Я понял, понял!

- Что бы ты понял, если на Двалине тоже был бы красный капюшон? - успокоил его Торин Оукеншильд.

Балин замолчал.

- Вот это бы и понял, - солидно сказал Двалин. - Он бы тогда не орал как сумасшедший, а я бы знал, что на мне он не видит синего капюшона, то есть на мне красный!

        Здесь стоит немного остановиться, чтобы разобрать итоги этой простейшей задачи:

         1. Легко заметить, что дело не в том, какое количество красных капюшонов было изначально, а в том, что синий был только один. Как только один гном видел на другом единственный синий капюшон, он смело мог утверждать, что на нем красный.

        2. Второе наблюдение о ходе логических рассуждений гномов. Действительно, Двалин прав, отсутствие моментального ответа о цвете своего капюшона, есть прямое свидетельство факта, что цвет наблюдаемого капюшона не дает гному моментальной информации. Если бы на обоих гномах были красные капюшоны, то в первые секунды после включения света, никто из них не смог бы ничего сказать о цвете своего капюшона. Но постояв в молчании некоторое время, они стали бы рассуждать следующим образом:"Если бы на мне был синий капюшон, то второй гном моментально бы сказал, что на нем красный, поскольку синий единственный. Значит на мне красный." Вот так молчание, как, впрочем, часто бывает в жизни, говорить яснее многих слов.

        3. Третье наблюдение нам понадобится уже в дальнейшем. Если бы синих капюшонов было 2, а красных сколько угодно (но тоже два и более), то задача бы уже не решалась.

        Все же задача о двух гномах слишком проста, переходим к рассмотрению случая с тремя гномами.

        - Я предлагаю, досточтимые гости, рассмотреть теперь трех гномов и взять сколько угодно красных капюшонов, - сказал Бильбо. - Мне кажется, я смогу объяснить, в чем здесь дело.

- А дело здесь в том, сколько с самого начала будет синих капюшонов, - сказал Ори.

- Действительно, - согласился Бильбо. - Случай с единственным синим капюшоном, мало отличается от ранее рассмотренного. Так что пусть у нас будет два синих капюшона и сколько угодно красных, лишь бы их хватало на всех. Получаем три случая: когда будут надеты только красные капюшоны, когда на одном гноме будет синий и, наконец, когда на двух гномах будут два синих капюшона!

- Ну уж если синих будет два, то третий гном сразу догадается, что на нем красный капюшон! - заявил Торин. - Третьего-то синего нет.

- Верно! - обрадовался хоббит. - Осталось только два случая! Что же будет, если на Балине синий капюшон, на Двалине - красный и на мне тоже красный? Я вижу синий и красный, Двалин видит синий и красный, а Балин видит два красных. Балин уж точно не сможет ничего сказать (не обижайтесь, Балин, вы тут ни при чем!), а мы с Двалином можем подумать, что у нас синий капюшон ...

- Лично я не знаю, - проворчал Двалин. - Может быть синий, а может быть красный ...

- Нет, Двалин, если я представляю себе, что на мне синий капюшон, то тогда вы видите два синих - мой и Балина и, как сообразительный гном, сразу скажете, что ваш капюшон - красный!

Двалин вежливо поклонился, подтверждая, что хоббит не ошибается в оценке его несомненных достоинств.

- Если же вы молчите, - продолжал Бильбо, то тем самым даете мне знать, что на мне не синий, а красный капюшон!

- Отлично, - сказал Гэндальф, - любой из тех, на ком красный капюшон, в этом случае может назвать цвет своего капюшона. Остался только один случай, когда надеты три красных капюшона.

- Это уже просто! - заявил Бильбо. Главное сделано. Если в последующем случае я представлю себе, что на мне синий капюшон, то досточтимые гномы (поклон, к вашим услугам!) воспользуются нашими предыдущими рассуждениями и могут сказать, что на них надеты красные капюшоны.

Гномы удовлетворенно улыбнулись - хоббит явно относился к ним с надлежащим уважением и признавал полное равенство в способностях.

- Итак, - подытожил волшебник, - если все трое относятся друг к другу с уважением и могут представить себя на месте другого, то единственное условие успеха - чтобы синих капюшонов было хотя бы на один меньше, чем участников игры. 

- Я считаю, что игра нечестная, - выступил Торин. - Что-нибудь сказать правильно могут только те, на ком красные капюшоны, которых, как все поняли, должно быть больше, чем количество гномов. А те, на ком капюшоны синие, ничего не говорят в любом из трех случаев!

 - Вот что значит быть аристократом! - восхитился Гэндальф. - Права меньшинства у вас на первом месте, дорогой Торин. Но здесь вы ошиблись. Те, кто не говорят, - говорят своим молчанием!

Итогов этой задачи гораздо больше,  поскольку они не ограничиваются только выводами, а дают наблюдения для выявления закономерности.

1. Вариант, когда один участник видит сразу весь набор каких-либо капюшонов, фактически повторяет первую задачу, что позволяет сделать вывод, что не важно количество капюшонов, если их ВСЕ может наблюдать хотя бы один участник.

2. Во втором случае (когда синий капюшон один из двух), отсутствие моментального ответа хотя бы от одного участника позволило другим участникам через некоторое время дать верные ответы. При этом ход логических размышлений был схож с уже рассмотренным в первой задаче.

3. В третьем случае (когда все капюшоны были красные) Бильбо своими размышлениями сначала попытался привести задачу ко второму случаю, предположив, что на нем синий капюшон, и, поскольку он с уважением относился к умственным способностям гномов, и принимая во внимание их молчание, отверг это предположение, тем самым дав верный ответ о цвете своего капюшона. Вот эта попытка свести задачу к уже ранее решенной, наталкивает на мысль, что, действительно, некая общая закономерность существует.

4. Немаловажным фактом станет и тот, что в случае трех и более капюшонов каждого цвета, задача опять не решается.

        В этой задаче Гэндальф уже обронил важнейшую фразу, которая ляжет в основу создания общей закономерности:" Если все трое относятся друг к другу с уважением и могут представить себя на месте другого, то единственное условие успеха - чтобы синих капюшонов было хотя бы на один меньше, чем участников игры." 

        Перейдем к рассмотрению общего случая.

        Гномов в капюшонах двух цветов может быть сколько угодно - обозначим количество гномов буквой N. Пусть красных капюшонов будет R, а синих - В. (R - red, В - bluе).

        Для того, чтобы задача имела решение R < N, или В < N, то есть капюшонов одного из цветов, должно быть строго меньше количества участников. Для доказательства этого утверждения, стоило бы прибегнуть к логической индукции и вслед за случаями с двумя и тремя гномами, рассмотреть также случаи с четырьмя, пятью... А далее сделать соответствующий вывод. Но в пятом классе допускается просто довериться мудрому магу.

        Еще одно условие, чтобы капюшонов хватило на всех: R + В ≥ N, причем, если R + В = N ,то задача решается вычислением, без лишних слов.

        Но если R + В > N, Пусть В < N и все В синих капюшонов надеты. Тогда те N - В гномов, на которых красные капюшоны, могут сразу сказать, что на них красные. А вот если надеты не все синие.

        Если надето В - 1 синих капюшонов, то ход рассуждений каждого из сидящих в красном капюшоне следующий:"Я вижу В-1 синий капюшон. Если на мне тоже синий, то кто-то из красных, наблюдая все В синих капюшонов, включая и мой, скажет, что на нем красный. Раз все гномы в красных капюшонах молчат, то на мне тоже красный капюшон!"

        Если надето В - 2 синих, то ход рассуждений каждого из сидящих в красном капюшоне следующий:"Я вижу В-2 синих капюшонов, то предположив, что на мне синий капюшон, я понимаю, что для любого из сидящих в красных капюшонах, этот случай идентичен рассмотренному в предыдущем пункте. Немного посидим, помолчим, и кто-то из сидящих в красном должен догадаться, рассуждая, как я в предыдущем пункте. Если же этого не происходит, значит на мне красный капюшон!"

        Если надето В-3 синих капюшонов, то задача становится еще более тяжело разрешимой. Участник в красном капюшоне размышляет следующим образом:"Я вижу В-3 синих капюшонов. Если на мне синий капюшон, то каждый гном в красном капюшоне видит В-2 синих капюшонов и тоже думает как в предыдущем пункте. Мне нужно просто дать им еще больше времени и если они все же промолчат, то значит на мне красный капюшон.

        С точки зрения понятия индукция в математике, вроде бы и можно утверждать, что каковы бы ни были число гномов и число синих капюшонов, отвечающие наложенным в начале доказательства условиям, рассуждая подобным образом, гному в красном капюшоне всегда можно дойти до верного ответа. Но здесь и кроется главный недостаток этой теории. Время! Совершенно не понятно и никак не оцениваемо в случаях, начиная с В-3 и далее.

        В случае, когда все синие капюшоны на виду, мы говорим "сразу же", "мгновенно", "как только включили свет", подразумевая, что на принятие столь простого решения, заведомо умным "гномам", "мудрецам" и прочим героям подобных логических задач требуется очень мало этого самого времени.

        Когда рассматривается вариант В-1, то мы оперируем понятиями "не дал мгновенного ответа", "сразу не сказал" и т.п. Таким образом, мы утверждаемся во мнении, что ни для какого участника нет ясности первого случая. Здесь нам в принципе даже и не стоит пытаться измерить время молчания, дающее нам право размышлять по алгоритму для случая В-1. Для нас критическим является сам факт задержки ответа, раз "не мгновенно", значит на мне не синий - вот сокращенный ход мыслей.

        В задачах на В-2, мы говорим "по прошествии некоторого времени", "спустя несколько минут". И уже тут мы покидаем строгие и четкие чертоги математики, ступая на зыбкую почву догадок и предположений. Раз мы говорим "некоторого" и "несколько", то для окончательной защиты своего мнения, мы должны быть готовы к ответу на встречный вопрос:"Какого именно времени?" И ответ должны дать в общепринятых единицах  - секунды, минуты, часы, дни, месяцы, годы и т.д. Большинство математиков склоняются к тому, что случай В-2 все же последний, когда мы можем точно утверждать о цвете своего капюшона. Все же первый случай тривиальный, пусть с некоторыми допущениями, но можно утверждать В-1 требует не большого количества времени, скажем нескольких минут, по прошествии которых имеет место быть случай В-2. Но вот на этом все. Совершенно непонятно, сколько нужно ждать гномам, чтобы понять, что они имеют дело со случаем В-3? Дни? Месяцы? А вариант В-4 вполне может не поместиться в земную жизнь рядового гнома.

        Все же подчеркнем, что вышепредложенный алгоритм вполне рабочий для случаев вплоть до В-2, что позволяет решать подавляющее большинство задач этой тематики. И если рассуждения по алгоритму не привели к верному ответу, то стоит обратить внимание на наличие возможных ловушек в условии. Часто бывает что предложенные данные изначально не соответствуют описанным ограничениям R < N, или В < N и R + В ≥ N. Если так, то задачу решать вообще не следует, поскольку никто так и не сможет определить цвет своего капюшона.

        Но вернемся, к первоначальной задаче, вспомним, что Фили в белом капюшоне, Кили в синем, а Дори, Нори и Ори в красном, все еще ждут помощи, а белый, синий и 3 красных капюшона лежат в стороне.

        Для решения воспользуемся тем же принципом сведения задачи к уже ранее решенной. Особенностью этой задачи является наличие капюшонов трех, а не двух видов. Что ж, это поправимо. Фили, Дори, Нори, Ори могут рассуждать следующим образом:"если бы на мне был синий капюшон, то значит другие гномы (кроме Кили) увидев оба синих капюшона, исключили бы меня и Кили из размышлений и свели бы задачу к той, где гномов три, белых капюшонов изначально было два, а красных шесть. Подумав некоторое время, они бы решили задачу и назвали бы цвет своих капюшонов. Раз они этого не сделали, значит на мне не синий капюшон. Далее Кили, Дори, Нори, Ори повторили бы рассуждения исходя из предположений, что у них белые капюшоны и пришли бы к выводу, что у них не белые капюшоны. После чего Дори, Нори и Ори поняли бы, что у них не белые и не синие, значит красные капюшоны."

        Задач про мудрецов или гномов и разноцветные капюшоны или колпаки огромное множество, но общий ход размышлений остается прежним, а рассмотренный алгоритм рабочим.

ЛЕГЕНДА О ТРЕХ МУДРЕЦАХ

        Из общей массы выделяется разве что группа задач, когда указывается, что участники имеют разный логический подход к решению, например разновидность задачи о трех мудрецах.

Классическая задача. Три мудреца поспорили, кто из них самый умный и обратились к четвертому, чтобы он их рассудил. Судья сообщил мудрецам, что у него есть три белых колпака и два черных, после чего надел каждому колпак на голову так, чтобы каждый видел только колпаки двух других мудрецов. Мудрецам требовалось угадать цвет колпака на собственной голове. Через некоторое время один из мудрецов сообщил, что у него на голове белый колпак и выиграл состязание. Как он смог догадаться?

Классическое решение. Если мудрец видит, что у его соперников черные колпаки (вариант 1), то он может смело утверждать, что у него - белый колпак, поскольку оба черных уже заняты.

        Если мудрец видит на головах соперников черный и белый колпаки (вариант 2), то он может рассудить так: «Если у меня на голове колпак черный, то мудрец в белом колпаке видит перед собой два черных колпака (вариант 1), и должен сообразить, что на нем колпак белый. Но он молчит, значит на мне белый колпак».

        Наконец, увидев перед собой обоих соперников в белых колпаках (вариант 3), мудрец мог рассудить: «если у меня черный колпак, то любой из моих соперников видит перед собой черный и белый колпаки (вариант 2), и должен понять, что на нем колпак белый. Но он молчит, значит на мне белый колпак»

        Нельзя не отметить целый ряд предположений, которые были допущены для этого решения.

        1. Предполагается, что все три мудреца будут использовать один и тот же метод рассуждения. Предположение это тем более безосновательно, ведь мудрецы как раз отличаются оригинальностью мышления. Например, один из них мог попробовать определить цвет колпака по расположению звезд.

        2. Предполагается, что мудрецы думают с примерно одинаковой, или, по крайней мере, с предсказуемой скоростью. Без такого допущения невозможно установить время, необходимое для соответствующей цепочки рассуждений. Считается, что если мудрец дошел в своих рассуждениях до некоторого вывода, то и остальные сделали то же. Предположение это очень сильное, но с ним кое-как можно смириться, - раз уж эти трое никак не могли решить, кто из них умнее, значит ресурсы их мозга можно считать примерно равными.

        3. Предполагается, что мудрецы приступают к решению задачи только после того, как на них надели колпаки, и не пытаются продумать варианты решения до начала испытания. Это очень странно, поскольку при испытании возможны только три описанные выше варианта, и представляется естественным продумать варианты ответа заранее. Но такая возможность радикально противоречит замыслу автора задачи, поскольку, стоит мудрецам заранее задуматься, как они отвергнут навязываемый им метод рассуждения.

        4. Предполагается, что мудрец, догадавшись, какой колпак у него на голове, поспешит немедленно об этом сообщить. Если мудрец молчит, то считается, что он не догадался о цвете своего колпака. Но ведь его задача - не определить цвет колпака, а доказать свое умственное превосходство. Велика ли заслуга, увидев перед собой обоих соперников в черных колпаках, догадаться, что у тебя на голове - белый колпак? Этот мудрец просто оказался в лучших условиях по сравнению с другими, и быстрый ответ не докажет превосходства. Вот если в такой ситуации промолчать, то один из соперников может воспользоваться методом, предложенным автором задачи, и ошибочно решит, что он находится в ситуации 3, даст неверный ответ и продемонстрирует свою глупость.

        А что если попробовать решить задачу без использования таких предположений?

        Большинство вариантов решения имеют слишком отдаленную связь с математической логикой и в рамках моей работы рассказывать о них я не стану. Я нашел лишь один ответ, показавшийся мне абсолютно логичным:

        Как это бывает свойственно мудрецам, победитель мог посмотреть на ситуацию со стороны. Судья - если он мудр и справедлив, а именно к мудрецу, равному себе они трое обратились,  - должен был поставить состязающихся в равные условия, а это возможно только в том случае, когда все они в одинаковых белых колпаках.

        Мне это решение кажется самым мудрым и справедливым.

        Зачем же тогда мы принимаем все эти допущения, очевидно, противоречащие реальным жизненным ситуациям? Наверное, потому, что наша жизнь как раз и не поддается никакому четкому описанию, но зато ограничив поле размышлений, можно, в рамках поставленных условий, путем построения цепочек логических рассуждений получать один и тот же ответ. Мне кажется, что подобные задачи решаются не ради собственно получения ответа, как итога, а для вырабатывания умения создавать цепочки логических рассуждений, как процесса.

ЗАДАЧА ПРО ГНОМОВ И ЖЕСТОКОГО ЛЮДОЕДА

        Безусловно, важно уметь использовать логику, но иногда это бывает жизненно необходимо, как случилось с героями еще одной задачи, которую я хочу осветить в своей работе, не сколько потому, что она потребовала от участников проявить свой ум, а потому, что для ее решения понадобился настоящий геройский поступок.

        Вечером людоед поймал нескольких гномов и собрался их съесть на завтрак. Пребывая в добром расположении духа, он решил, что даст нескольким гномам шанс спастись и объяснил условия. "На следующее утро - сказал он, я построю вас в колонну и в случайном порядке надену на вас шапки двух цветов (красный и синий). Начиная с последнего в колонне, я буду спрашивать, какого цвета его шапка. Того, кто назовет цвет своей шапки правильно - отпущу, тех кто назовет неправильный цвет - того съем. Вы будете видеть всех тех, кто стоит впереди и слышать ответы тех, кто сзади. Но цвет своей шапки никто не видит. Говорить можно только одно слово – «красный» или «синий», иначе съем всех сразу". Если кто вздумает подсказывать, тоже сразу всех съем. Соотношение красных и синих шапок гномы не могут знать. Никакие дополнительные сигналы подавать нельзя (интонацией, паузами в ответах и т.п.). Тем не менее, за ночь гномы придумали порядок ответов, который при этих условиях гарантировал выживание всех, кроме одного из них (у этого одного, тем не менее, тоже оставался шанс выжить). Какой способ придумали гномы?

        Решение этой задачи в корне отличается от ранее рассмотренных. Поскольку соотношения красных и синих шапок неизвестно, то последний в колонне, он же первый отвечающий, никак не может определить цвет своей шапки. Зато он может спасти всех остальных.

        Ночью гномы договорились, что последний в колонне, считает количество красных шапок впереди себя и если оно четное, он кричит "Красный", а если нечетное - "Синий". Дальше все понятно. Предпоследний слышит последнего, получает информацию о четности красных шапок, пересчитывает красные шапки перед собой и если четность совпала, то говорит "Синий", а если не совпала, то "Красный". Второй с конца, слышит первоначальную информацию о четности и ответ предпоследнего. Если предпоследний сказал "Синий", то четность сохранилась, а если "Красный", то в своих рассуждениях меняет четность.

        Остается надеяться, что первому отвечавшему тоже повезло, ведь называя четность красных шапок, он может угадать и цвет своей.

ИТОГИ РАБОТЫ

        Был получен алгоритм рассуждений для достижения результата при решении целого ряда логических задач.

        Сформированы необходимые критерии, чтобы задача вообще имела решение.

        Как сам алгоритм, так и принятые в решении допущения были подвергнуты критическому анализу, сформированы соответствующие выводы.

        Рассмотрен пример задачи со схожим условием, но имеющей в корне другой подход к решению.