Credo, quia verum или клуб безумных математиков.

Государственное бюджетное образовательное учреждение

города Москвы

средняя общеобразовательная школа

с углубленным изучением английского языка

№ 1208

имени Героя Советского Союза  М.С. Шумилова

.

Credo, quia verum или клуб безумных математиков

Авторы: Астахова София Александровна,

Колеватов Василий Алексеевич,

Учащиеся 7  класса

Руководитель: Чанина Виктория Викторовна

Учитель математики

Москва 2015

Логически можно доказать всё, что угодно.

Антуан-де Сент Экзюпери

Мы ученики средней общеобразовательной школы с углублённым изучением иностранных языков. Занимаемся мы не только английским, французским, немецким и другими языками, но и огромным количеством разных интересных и увлекательных предметов, в частности математическими науками. Каждую пятницу на заседаниях «Математического клуба», мы можем узнать что-то новое, предложить свои идеи и способы по решению той или иной логической задачи. Теперь мы решили объединить наши усилия и описать некоторые алгоритмы, а возможно, и узнать новые для нас методы нахождения ответов на задачи, где нужно не быть человеком-арифмометром, а мыслить шире и позволить своим мыслям выйти за рамки формул и цифр.

Мы предполагали, что научиться составлять и решать логические задачи может каждый школьник. Для того чтобы подтвердить или опровергнуть эту гипотезу мы провели ряд экспериментов. В ходе исследования мы выявили самые распространённые методы решения логических задач.

Конечно, они не универсальны, и способы, удобные для решения одних задач, совершенно не пригодны для решения других. Мы хотели бы рассмотреть разные типы задач, и решить их различными методами.

Многие авторы учебных пособий считают, что в процессе составления задач ученики начинают осознавать не только задачную ситуацию, не только связи между величинами, но и сам процесс решения задачи. Когда ученик составляет задачу, он овладевает общими принципами решения логических задач. При составлении задач у ученика развивается логическое мышление, воображение, фантазия, формируется познавательный интерес к математике, развивается его творческий потенциал.

Цель нашего исследования – доказать, что составление логических задач способствует научению решать их.

Гипотеза: составление логических задач способствует научению решать их

Актуальность исследования. В настоящее время, увеличение умственной нагрузки детей на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у них интерес к изучаемому материалу, активность на протяжении всего урока. Любить и интересоваться математикой, значит, уметь решать задачи. Процесс решения задач оказывает положительное влияние на интеллектуальное развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственных операций.

Практическое применение: использование на уроках в школе, на факультативных занятиях по углубленному изучению математики, при подготовке к олимпиадам по математике.

Задачи исследования:

1.    Найти способы и методы обучения школьников составлению задач.

2. Определить начальный уровень умений третьеклассников составлять задачи.

3. Дать оценку эффективности работы по обучению семиклассников составлению арифметических задач.

Мы предполагали, что научиться составлять и решать логические задачи может каждый школьник. Для того чтобы подтвердить или опровергнуть эту гипотезу мы провели ряд экспериментов. В ходе исследования мы выявили самые распространённые методы решения логических задач.

Для того чтобы успешно решать  задачи такого типа, нужно уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Логические задачи от обычных отличаются тем, что требуют минимальных вычислений или не требуют их вовсе, а решаются с помощью рассуждений.

Нами выработаны следующие рекомендации для составления и решения логических задач:

1. Определить содержание(о чём данная задача).
2. Собирание всей информации о задаче.
3. Создание задачи с помощью исключения части информации или её искажения.
4. Формулировка задачи. В случае необходимости (недостаток информации, искажение и т.д.) вводится дополнительное логическое условие.
5. Проверка возможности решения с помощью рассуждений. Получение единственного непротиворечивого ответа означает, что условие составлено верно. Если нет, то необходимо обратиться к дополнительному п.6.
6. В составленном условии не хватает информации, либо имеющаяся информация противоречиво искажена. Изменяем или дополняем условие задачи, после чего необходимо обратиться к п.5.

Мы любим не только решать задачи, но и сами составляем их. У нас имеется целый банк задач различной тематики.

Например, задача про капитана Флинта. Составил эту задачу ученик 5 класса.

Капитан Флинт, выходя в открытое море, любил поверять боеготовность своей команды, ведь надо быть всегда готовым к отражению вражеских атак. Он решил, что за 45 минут корабль должен сверкать чистотой, палуба должна быть отдраена, снасти должны быть на своих местах, пушки начищены, кинжалы заточены.

Помогите капитану точно измерить время,  ведь у него нет часов. Есть корабельные канаты, другие снасти, а часов нет.

У него имеются два толстенных каната, каждый из которых может тлеть целый час. Он не может ни разрезать, ни складывать, только поджигать, причем поджигать можно только с концов. Как с помощью этих канатов замерить время? 

Решение: Один канат поджигаем с двух концов, а другой с одного конца. Ждём, пока сгорит первый. Когда это происходит, мы поджигаем второй канат со второго конца. Второй канат сгорает полностью – прошло 45 минут.

Или задача по стихотворению С. М. Михалкова  Эту задачу составила автор этой работы будучи ученицей 5 класса.

На рынке корову старик продавал,

Никто за корову цены не давал.

- А много ль корова дает молока?

- Да мы молока не видали пока...

У старика жили три коровы – чёрна, белая и рыжая. Известно, что чёрная корова даёт 30 л молока в день. Это на 30 л больше, чем даёт рыжая корова, но на 5 л меньше, чем даёт белая корова. Та корова, которая даёт меньше всего молока, часто приходит на чужие участки и съедает всю капусту, а та, что даёт больше всего молока очень любит сено. Третья корова любила листья деревьев. Ту корову, что питается сеном, звали Мурёнка, ту, что давала меньше всего молока, звали Рода. Третью корову звали Ласточка. Чем питается  и как зовут корову, которую старик хотел продать? 

Решение:

1. Сколько литров молока в день давала рыжая корова?

30 – 30  = 0 (л)

2. Сколько литров молока в день давала белая корова?

30 + 5 = 35 (л)

3. Какая корова часто ела чужую капусту?

0 ˂ 30 ˂ 35, значит, 15 л – рыжая корова

4. Какая корова любила сено?

0 ˂ 30 ˂ 35, значит, 35 л – белая корова

5. Как звали коров?

0 л – Рада, любила капусту, рыжая,

30 л – Ласточка, любила листья, чёрная,

35 л – Мурёнка, любила сено, белая.

Старик хотел продать рыжую Раду.

И ещё одна задача из нашего банка.

Морские игры

На морском дне лежат две кучки по 20 ракушек в каждой. Рак и Рыба-клоун играют в такую игру. Первым ходом Рак перекладывает одну ракушку из какой-то кучки в другую, затем Рыба-клоун тоже перекладывает одну ракушку из какой-то кучки в другую. Вторым ходом Рак, а затем Рыба-клоун, перекладывают  уже по две ракушки, третьим ходом по три, и так далее. Побеждает тот, после хода, которого все ракушки окажутся в одной кучке. Кто и как выиграет?

Решение:

Первыми 9 ходами Рыба-клоун должен возвращать ракушки, взятые Раком, в ту кучку, откуда Рак их взял. В результате после каждого из этих ходов Рыбы-клоуна в кучках будет по 20 ракушек. Десятым же ходом Рак переложит из одной кучки в другую 10 ракушек, затем Рыба - клоун переложит туда же оставшиеся 10, и все 40 ракушек  окажутся в одной кучке, и Рыба-клоун выиграет.

Ответ:

Победит Рыба-клоун.  

Решение: Первыми 9 ходами Рыба-клоун должен возвращать ракушки, взятые Раком, в ту кучку, откуда Рак их взял. В результате после каждого из этих ходов Рыбы-клоуна в кучках будет по 20 ракушек. Десятым же ходом Рак переложит из одной кучки в другую 10 ракушек, затем Рыба - клоун переложит туда же оставшиеся 10, и все 40 ракушек  окажутся в одной кучке, и Рыба-клоун выиграет.

Ответ: Победит Рыба-клоун.  

Логика помогает усваивать знания осознанно, с пониманием, т.е. не формально; создаёт возможность лучшего взаимопонимания. Логика – это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация «замаскирована», представлена неявно, и надо уметь её извлечь.

Основным методом решения задач является метод рассуждений. В методике рассуждений при решении помогают: схемы, чертежи, краткие записи, умение выбирать информацию, умение пользоваться правилом перебора.

Лена, Оля, Таня участвовали в беге на 100 м. Лена прибежала на 2 с  раньше  Оли,  Оля  прибежала  на  1 с  позже  Тани.   Кто  прибежал  раньше: Таня или Лена и на сколько секунд?

 Решение.      

Составим схему:

Лена        __________

Оля                   __________ __ __

                                              1с 1с

Таня            __________ __

                                        1с

Ответ.  Раньше на 1с пришла Лена.

Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет определённую чётность. Из этого следует, что ситуации, в которых данная величина имеет другую чётность, невозможны. Иногда эту величину надо «сконструировать», например, рассмотреть чётность суммы или произведения, разбить объекты на пары. Заметить чередование состояния, раскрасить объекты в два цвета и т.д.

Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1м). Докажите, что он сделал чётное число прыжков.

Решение.  Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку. Количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков чётно.

   Если в задаче задана некоторая операция, и она обратима, то можно сделать «обратный» ход от конечного результата к исходным данным. (Например, надо вынести шкаф из комнаты. Пройдёт ли он через дверь? Пройдёт, потому что через дверь его внесли). Анализ с конца используют при поиске выигрышных и проигрышных ситуаций.

Три  мальчика  делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе  столько  фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько,  сколько у них  стало.   И,  наконец,  Толя  дал  Пете и Ване столько, сколько у них  к этому времени имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько было фантиков у каждого вначале?

Решение.  Мы знаем, что в конце у всех оказалось по 40 фантиков. А перед этим у Пети и Вани было вдвое меньше. Значит, у Пети и Вани было вдвое меньше – по 20, а у Толи – 80. А перед этим у Пети и Толи было вдвое меньше, т.е. у Пети было 10, у Толи 40, у Вани – 70. И, наконец, возьмём половину фантиков у Вани и Толи и вернём Пете.

Ответ:  у Пети было 65 фантиков, у Вани – 20, а у Толи – 35.

Задумали некоторое число, умножим его на 12, от результата отняли 10, полученное разделили на 2, затем от частного отняли 1 и разность разделили на 2. Получилось столько, сколько месяцев в году. Какое число задумали?

          Рассмотрим такую задачу: В трёх седьмых классах 75 человек участвовали в олимпиаде по английскому, 27 человек – в олимпиаде по географии. Также известно, что 13 учеников участвовали в двух этих олимпиадах, в то время как другие только в одной. Сколько учеников в трёх седьмых классах вместе?

Предложив решить эту задачу ученикам нашего класса, мы выяснили, что почти все учащихся использовали для её решения, так называемые диаграммы Эйлера Венна. С поставленной задачей не справился только один человек.

   Решение:

      Изобразим два круга (если получатся не совсем круги – не страшно). В одном будем фиксировать учеников, участвовавших в олимпиаде по английскому, в другом – участвовавших в олимпиаде по географии. Так как по условию задачи есть ученики, участвовавшие и там, и там, то круги будут иметь общую часть. В этой части ставим число 13. В оставшейся части «английского» круга запишем число – 62, «географического»  круга – 14.    

Чтобы разобраться, что же такое диаграммы Эйлера Венна, нужно знать и понимать ряд таких понятий, как множество, элемент множества, пересечение множеств, объединение множеств, подмножество, дополнение множеств.

Множество – основное математическое понятие. В обыденной жизни его смысл выражается словами: совокупность, набор, ряд, коллекция, стая и др.

Элемент множества – вещи и предметы, входящие в множество.

Подмножество – это множество, составленное из каких-либо элементов другого множества.

Пересечение множеств – это множество элементов, входящих в несколько других множеств одновременно.

Объединение множеств – это какое-то количество множеств с общими элементами.

Пересечение и объединение множеств выполняется для любой пары множеств. Третья операция - дополнение – имеет смысл не для всех множеств, а лишь для тех, когда одно является подмножеством другого.

      Например, если М= {1;2;3;4;5}, Р= {1;3;5},то составив новое множество из тех элементов М, которые не вошли в Р, мы получим дополнение Р до М и  обозначим  Q:

      Q= {2;4}.

       Заметим, что дополнение множества М до множества Р не имеет смысла, так как М не является подмножеством Р.

Рассмотрим другую задачу:

Пятеро восьмиклассников – Маша, Вася, Петя, Ваня и Катя стали победителями в олимпиадах по английскому языку, биологии, русскому языку, химии и математике. Известно, что:

1. Победитель олимпиады по русскому помогает Маше и Васе запомнить суффиксы причастий
2. Петя и Ваня тоже заинтересовались в занятиях по русскому языку.
3. Вася всегда побаивался уроков английского языка
4. Петя, Вася и победитель олимпиады по химии занимаются в музыкальной школе
5. Вася и Петя поздравили победителя олимпиады по биологии
6. Маша жалеет, что мало времени в этом году уделила химии. 

Задачи такого типа удобнее всего решать методом таблиц. Нужно начертить таблицу, строки которой соответствуют элементам одного из рассматриваемых в задаче множеств, а столбцы –элементам другого. Так нам будет проще проанализировать условие задачи, сделать правильные выводы.

Теория графов.

Графом  называется любое множество точек, некоторые из которых соединены линиями или стрелками. Точки, изображающие элементы множества, называют вершинами графа, соединяющие их отрезки – рёбрами графа. Точки пересечения рёбер графа не являются его вершинами. Во избежание путаницы вершины графа часто изображают не точками, а маленькими кружочками. Рёбра иногда удобнее изображать не прямолинейными отрезками, а дугами.

Понятие «графа» в школьной программе не дается. Отличаясь простотой теоретических сведений, наглядностью и доступностью, теория графов поможет решить довольно сложные задачи. В некоторых задачах условие записанное с помощью рисунка, помогает найти правильный ход решения. Фигуры которые получились при решении этих задач, состоят из точек и линий, соединяющих эти точки. Такую фигуру называют графом. Линии графа называют ребрами, а точки – вершинами. В графе не обязательно, чтобы каждая вершина была соединена со всеми остальными.

Если в графе ни одна часть не является замкнутой линией, то такой граф называется деревом.

Задача: В цирке есть слоны, львы и медведи. Если ко всем животным  добавить одного слона, то третью часть составят львы и медведи. Если к имеющимся  львам и медведям добавить одного льва, то седьмую часть их составляли бы медведи, в которых третья часть есть лишь один маленький медвежонок». Сколько животных в цирке?

Решение: Составим граф по условию задачи.

Решаем обратно.

Ответ: в стаде 59 животных.

Задача: Несколько мальчиков встретились на вокзале, чтобы поехать за город в лес. При встрече все они поздоровались друг с другом за руку. Сколько мальчиков поехали за город, если всего было 10 рукопожатий?

Решение: Сделаем рисунок. Точки будут изображать мальчиков, а отрезки рукопожатия.

1)  2)  3)  4)

Из рисунка видно, что на вокзале встретились 5 мальчиков.

Самым известным применением теории для решения логических задач является задача о мостах Кенигсберга. Задача звучит так: как пройти по всем мостам (через реку Преголя), не проходя ни по одному из них дважды

Многие умы бились над решением этой проблемы. Но в 1736 году она была решена

Леонардом Эйлером с помощью разработанной им теории графов. Для этого он изобразил острова точками,  а мосты соединяющие их линиями.

В ходе размышления он получил следующие утверждения:

• Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно быть чётно. Не может существовать граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.
• Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.
• Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

Вывод: Граф кёнигсбергских мостов имел четыре чётные вершины (то есть все), следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

Задачи на анализ утверждений. В этом году все семиклассники Москвы писали работу МЦКО. В этой работе наибольший процент ошибок школьники допустили в задачах "на анализ утверждений". В задачах такого типа предлагается выбрать из предложенных вариантов ответа следствие из утверждения, данного выше, или наоборот, указать выводы, которые сделать нельзя из предложенного утверждения. Сначала мы испугались таких задач и чтобы разобраться в том, как же решать такие задачи, рассмотрим некоторые из них:

Согласно градостроительным нормам, в домах выше 5 этажей должен быть установлен лифт. Считая, что эти нормы неукоснительно исполняются, выберите утверждения, которые непосредственно из этого следуют.

1) Если в доме нет лифта, то он не выше 5 этажей.
2) Если в доме 3 этажа, то в нём лифта нет.
3) Если в доме больше 5 этажей, то в нём есть лифт.
4) Если в доме есть лифт, то он выше 5 этажей.

Решение:
1) Если в доме больше пяти этажей, в нём есть лифт. Значит, если лифта нет, то в доме пять или меньше этажей.
2) Из того, что в доме меньше пяти этажей, не следует, что лифта в нём нет. Он там может быть, просто не обязательно.
3) Верно.
4) Так же, как и во втором пункте, надо понимать, что лифт может быть в любом доме, и его наличие ничего не говорит о количестве этажей.
Ответ: 13

Кот Васи чихает перед дождём. Сегодня кот чихнул. Будет ли дождь? Выберите неправильные ответы.
(1) будет, кот чихнул
(2) будет по прогнозу.
(3) не будет.
(4) у Васи нет кота.

Решение:
1) Кот всегда чихает перед дождём, но так  же он может чихать по другим причинам.

2) Прогнозы могут не сбыться.
3) Не факт. Кот же чихнул.
4) У Васи есть кот по условию.
Ответ: 1234

        Иногда ученикам предлагают подобрать контрпример к неверным утверждениям.
Контрпример - это такой пример, который опровергает само утверждение, например к предложению " если сумма цифр в числе чётная, то и само число чётное" контрпример - 14, т. к. сумма цифр в нём - 5, то есть нечётное число, но само число чётное.

        То есть, как мы видим, чтобы решить подобную задачу, нужно просто внимательно прочитать условие и действительно проанализировать каждое утверждение. Так почему же дети так часто ошибаются при решении таких заданий? Для того, чтобы установить, насколько велик процент детей, допускающих ошибки при решении таких заданий в нашем классе, мы попросили группу семиклассников придумать пять задач на анализ утверждений. Затем ученики поменялись листочками и попробовали ответить на задачи.

        При проверке мы пришли к выводу, что сочинить задачи - совсем не сложное задание для наших товарищей. С этим справились абсолютно все 100% опрошенных нами детей. Но дать правильно ответы может далеко не каждый семиклассник. Только 64% опрошенных смогли правильно решить задания. При этом мы выяснили, что действительно не понимают как решать только 16% наших товарищей. Оставшиеся 20% опрошенных просто были поторопились или были невнимательны, когда решали. Более того, достаточно было объяснить один раз, и все те, кто изначально не понимал, как решать задачи такого типа, во всём разобрались. Из данного эксперимента мы сделали вывод, что большинство ошибок делаются из-за невнимательности или излишней торопливости. Достаточно один раз сесть и подумать, как всем нашим товарищам стало понятно, как решать такие задачи.

        Задачи на анализ утверждений - не такие сложные и страшные, как принято считать. И не нужно их бояться зря.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вершинина З., Горбатенко Т., Шагинян О.  Развиваем  математическое мышление.
2. Далингер В.А.  Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике.
3. Колягин Ю.М.  Задачи в обучении математике.
4. Махров В.Г.  Задачи-сказки.
5. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С.  Математическая шкатулка.
6. Никольская И.  … И эти палочки – трагедии знаменье.
7. Шнейдерман М.В.  Метод конструирования логических задач.