Творческая работа "Логические задачи и круги Эйлера"

Научно – практическая конференция  «Шаг в будущее»

Логические задачи и круги Эйлера.

Салыкина Александра Владимировна

Россия, Мурманская область, г. Полярные Зори

МБОУ СОШ №4, 8 класс

Научный руководитель:

Кирпичникова Татьяна Александровна,

учитель математики МБОУ СОШ №4.

г. Полярные Зори

2014 год.

Введение.

Как узнать количество учащихся класса, посещающих одновременно две или три секции, если известны количества участников каждой секции отдельно? Можно ли научиться решать такие задачи? Конечно, можно. И помогут в этом круги Эйлера. Применение кругов Эйлера придает задачам алгебры наглядность и простоту. Круги Эйлера с успехом применяются в логических задачах. Логические задачи позволяют использовать их для развития соображения и улучшения логического мышления детей, начиная с детского сада и заканчивая старшими классами средней школы. Логические задачи допускают изложение в занимательной, игровой форме. С другой стороны, такие задачи труднее, для их решения часто не требуется глубоких знаний, а следует применить смекалку. Логика – это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация «замаскирована», представлена неявно, и надо уметь её извлечь.

Изображение условий задачи в виде кругов Эйлера, упрощает и облегчает путь к её решению. Данная тема расширяет математический кругозор учащихся, обогащает арсенал средств, используемых в решении различных задач. Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, часто предлагаются в математических олимпиадах, но в школьной программе не отводятся часы на изучение данной темы. «Изучение трудов Эйлера остается лучшей школой в различных областях математики и не может быть заменено ничем другим» говорил Карл Гаусс. Поэтому я считаю данную тему весьма актуальной. Актуальность работы состоит в том, что задачи имеют практический характер

Леонард Эйлер – великий математик.

Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года в семье пастора, жившей в швейцарском городке Базеле. Начальное обучение Эйлер получил под руководством отца, который готовил его к духовной карьере. С детства увлекался математикой. В 13 лет Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. В 17 лет был удостоен ученой̆ степени магистра. В 19 лет Эйлер был включен в число кандидатов на должность профессора физики.

В 1726 был приглашён в Петербургскую Академию наук. В 20 лет стал членом Петербургской̆ академии наук. В 23 года - профессор физики, в 26 - Леонард Эйлер получает кафедру высшей̆ математики в должности академика. За этот период написал более 90

крупных научных работ по математике, гидравлике, архитектуре, навигации, картографии, механике. Он делал доклады на научных семинарах, читал публичные лекции, участвовал в выполнении различных технических заказов правительственных ведомств.

Летом 1741 Леонард Эйлер переехал в Берлин, где вскоре возглавил математический̆ класс в Берлинской̆ Академии наук и словесности в должности директора Математического департамента, где проработал около 25 лет, оставаясь одновременно почётным членом Петербургской Академии наук.

1766 г. Леонард Эйлер по приглашению Екатерины II снова возвращается в Россию, в Петербург. Вскоре после возвращения Эйлер перестал видеть. Но это не могло ослабить его огромную продуктивность. Слепой Эйлер, пользуясь своей феноменальной памятью, продолжал диктовать свои открытия. Эйлер активно трудился до последних дней. В1783году был похоронен на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге. Умирая, он оставил много рукописей, которые Петербургская академия публиковала в течение последующих 47 лет.

Великий̆ ученый ̆Леонард Эйлер занимает одно из первых мест в истории мировой науки. Полное собрание его трудов составляет 72 тома, более 850 научных работ. Автор множества работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и других работ, оказавших значительное влияние на развитие всемирной науки. С точки зрения математики, XVIII век это век Эйлера. Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и др. дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру».

Немного о множествах

Множество – одно из основных понятий математики. Его смысл выражается словами: совокупность, собрание, набор и т.д. Формулировка Бертрана Расселла: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». О предметах, составляющих множество, говорят, что они принадлежат этому множеству или являются его элементами. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами. Множество может быть задано перечислением всех его элементов в произвольном порядке. Такое множество называют конечным. Мы будем рассматривать только конечные множества. Множество, в котором нуль элементов, называют пустым.

Часто множество изображают кругами, эти круги называют «кругами Эйлера». А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги

очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 – 1848). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 – 1923). В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера – Венна. Над множествами, как и над числами, производят операции. Рассмотрим некоторые из них: пересечение, объединение и разность.

Пересечение множеств - новое множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно нескольким множествам.

Возьмем множество А, состоящее из букв а, б, в, г, д, и множество В, состоящее из букв г, д, е, ж: Эти множества имеют общие элементы гид. Множества А и В называются пересекающимися множествами. Множество общих элементов А и В называют пересечением множеств и обозначают: .

Пусть множество С = {р, м, к}. Множества А и С не имеют ни одного общего элемента. В этом случае множества А и С называются непересекающимися множествами.

Объединение множеств - новое множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств.

Если из элементов множеств А и В составить новое множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее других элементов, то получится объединение множеств А и В, которое обозначают с помощью знака: .

Разность множеств — это множество всех элементов из А, не являющихся элементами из В.  Разность обозначают:

Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих кругов: N-множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество вех действительных чисел.

Задача. «Дано множество: А = {–2; 0,8; 15;  –36; 0; 4; -2,1}. Нарисуйте круги Эйлера множеств N, Z, Q и отметьте  элементы множества А».

        5.

Решение логических задач с помощью кругов Эйлера.

1. Задачи на пересечение и объединение двух множеств.

Задача1. «Некоторые ребята из нашего класса посещают спортивные секции. Известно, что 12 ребят занимаются плаванием, 9 человек – футболом, из них 6 занимаются плаванием и футболом. Сколько человек в классе спортом?» 

Сначала заполняем пересечение: П Ф = 6. Потом заполняем множество ребят, которые занимаются плаванием. Это будет число 6. После заполняем множество ребят, занимающихся футболом. Это будет число 3. Всего: 6+6+3=15 человек. П Ф = 15.

Ответ: 15 человек занимаются спортом.

Задача2. «Восьмого марта в кино пришло 100 ребят. На приключенческий фильм было продано 87 билетов, а на комедию — 63. Сколько ребят посмотрели и тот фильм, и другой?»

П  К = 100.

100-87=13 человек смотрели только комедию.

63-13=50 человек смотрели комедию и приключенческий фильм.

Ответ: 50 человек.

Задача3. «Английский язык знают 20 человек нашего класса, немецкий язык – 10 человек, из них 5 знают и английский, и немецкий. Сколько всего человек в классе?»

С помощью «Кругов Эйлера» А Н = 5.

1) 20 – 5 = 15(чел.) – знают только английский язык;

2) 10 – 5 = 5 (чел.) – знают только немецкий язык;

3) 15+5+5 =  25 (чел.) – всего. А Н = 25.

Ответ: 25 человек в классе.

Задача4. «На листе бумаги начертили круг площадью 78 см2 и прямоугольник площадью 55 см2. Площадь их пересечения равна 30 см2. Не занятая часть листа имеет площадь 150 см2. Найдите площадь листа».

К  П = 30 см2; К \ П = 48 см2; П \ К = 25 см2;

150+48+30+25= 253

Ответ: площадь листа 253 см2.

2. Задачи на пересечение и объединение трёх множеств

Задача1. «Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на лыжах умеют 30 ребят, на коньках — 28, на роликах — 42. На лыжах и на коньках умеют кататься 8 ребят, на лыжах и на роликах — 10, на коньках и на роликах — 5, а на всех трех — 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на коньках, ни на лыжах, ни на роликах?»

9+12+24 = 45 детей катаются только на лыжах, коньках, роликах.

8+10+5=23 человека катаются на двух видах.

45+23+3= 71 человек умеет кататься.

100-71=29 детей не умеют кататься.

Ответ: 29 ребят не умеют кататься ни на коньках, ни на лыжах, ни на роликах

Задача2. «В классе 32 человек. Из них 10 играют в баскетбол, 15 - в хоккей, 20 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта? Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?»

Большой круг изображает всех учащихся класса, а три меньших круга Б, Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов. Фигура А, общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта. Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним видом спорта – баскетболом занимаются: 10 - (4 + а + 3) = 3 - а; 

только хоккеем:  15 - (4 + а + 5) = 6 - а;

только  футболом: 20 - (3 + а + 5) = 12 - а;

Составляю уравнение, зная, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе показаны на рисунке:

3 + (3 - а) + (6 - а) + (12 - а) + 4 + 3 + 5 + а = 32,

а = 2.

Всеми тремя видами спорта увлекаются двое ребят.

Складывая числа 3 - а, 6 - а и 12 - а, где а = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 15 человек.

Ответ: Тремя видами спорта увлекаются двое ребят, одним видом спорта: 15 человек.

Задач 3. «В классе учится 40 человек. Каждый из них изучает не менее одного иностранного языка: английский, немецкий, французский. 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий. 25 человек — хотя бы один из языков: немецкий, французский. 6 человек только немецкий. Одновременно два языка — английский и немецкий — изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий языки. Сколько человек изучает один язык?»

При решении удобно применить составление уравнения по условию задачи, а круги Эйлера наглядно показывают решение.

Н = 6,  А + Н = 34, Ф + Н = 25, Ф + Н = а, А + Н = а + 3

Изучают только английский: 25 - 2а, только французский: 16 -2а.

Составлю уравнение: 25 - 2а + 6+ 16 - 2а + а + 3 + а = 40;

                                                               а=5

Ответ: английский язык – 15 человек, французский язык – 6 человек.

Алгоритм решения логических задач определённого вида с помощью кругов Эйлера

Существует множество приемов, которые используются при решении текстовых логических задач. Очень часто решение задачи помогает найти рисунок, он делает решение простым и наглядным. Использование кругов Эйлера удобно, потому что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными становятся проще. Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, предлагаются на математических олимпиадах, но в школьной программе не отводятся часы на изучение данной темы.

Для решения задач с помощью кругов Эйлера можно воспользоваться алгоритмом, состоящим из следующих этапов:

1. Записать краткое условие;
2. Выполнить рисунок;
3. Записать данные в круги  Эйлера;
4. Анализировать, рассуждать и записывать результаты в части круга;
5. Записать ответ;

Подобные задачи часто имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни. Они заставляют задумываться, подходить к решению какой-либо проблемы с разных сторон, уметь выбирать из множества способов решения наиболее простой, легкий путь.

Последовательность действий при решении задач

на пересечение и объединение двух множеств с помощью кругов Эйлера

1. Начертить два пересекающихся круга. Обозначить множества: A, B.
2. Начертить большой круг, в котором окажутся два маленьких. Это общее количество объектов – множество D.
3. Начертить отдельное множество –множество С. Это те, кто не является элементом множеств А, В.
4. Найти часть круга, являющуюся общей для всех трёх множеств (№1) и записать данные.
5. Найти часть круга, отвечающую за каждое множество в отдельности:

№2 = А –  №1, №3 = В  –  №1 .

6. Должно выполняться: №1 + №2 + №3 + С=  D
7. Записываем ответ на вопрос задачи.

Последовательность действий при решении задач

на пересечение и объединение трёх множеств с помощью кругов Эйлера

1. Начертить три пересекающихся круга. Обозначить множества: A, B, C.
2. Начертить большой круг, в котором окажутся три маленьких. Это общее количество объектов – множество Е.
3. Начертить отдельное множество D – подмножество множества E. Это те, кто не является элементом множеств А, В и С.
4. Найти часть круга, являющуюся общей для всех трёх множеств (№1) и записать данные.
5. Найти часть круга, являющуюся общей для двух множеств (№1 и №2) и записать данные в №2.
6. Найти часть круга, являющуюся общей для двух множеств (№1 и №3) и записать данные в №3.
7. Найти часть круга, являющуюся общей для двух множеств (№1 и №4) и записать данные в №4.
8. Найти часть круга, отвечающую за каждое множество в отдельности:

№5 = А –  (№1 + №2 + №4),  №6 = В –  (№1 + №2 + №3),  №7 = С –  (№1 + №3 + №4).

9. Должно выполняться: №1 + №2 + №3 + №4 + №5 + №6 + №7 + D =  E
10. Записываем ответ на вопрос задачи.

Результаты работы.

Поиск готовых способов решения выделенных логических задач, самостоятельное описание способа действий при использовании кругов Эйлера для их решения, а также попытки рассмотрения другой формы представления данных условия позволили решить поставленные задачи.

В процессе изучения данной темы, я научилась грамотно оперировать такими понятиями как «множество», «объединение множеств», «пересечение множеств», «разность множеств» и использовать их при решении задач. В процессе решения задач я расширила свои знания по математике, познакомилась с ещё одним способом решения задач, который был мне мало знаком, поэтому я никогда не применяла его на практике. Для решения задач с помощью кругов Эйлера можно воспользоваться алгоритмом, состоящим из нескольких этапов. Теперь мои одноклассники решают такие задачи, используя памятку со способом действий.

Способ решения задач с использованием «кругов Эйлера» показался мне удобным и надежным, так как он упрощает путь к решению задачи, делая его наглядным.

Применение кругов Эйлера позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы составлением сложных уравнений. Моя гипотеза подтвердилась.  Решения задач с громоздкими условиями и со многими данными просты и не требуют особых умозаключений. Применение кругов Эйлера придает задачам наглядность и простоту. Данная тема, расширяет математический кругозор учащихся, обогащает возможности, используемые в решении разнообразных задач.

Практическая значимость заключается в расширении возможностей при решении  логических задач. Данный материал можно будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по математике. Материал, используемый в работе, пригодится для решения задач занимательного характера, позволит применять методы и правила для решения нетрадиционных задач. Приобретенные сведения и знания способствуют повышению интеллектуального развития, помогают развить умение наблюдать и анализировать.

Теоретическая значимость заключается в разработке способа действий при решении логических задач с помощью кругов Эйлера в общем виде.

Список используемой литературы и других источников

1. Галеева Р. А. Тренируем мышление. Задачи на сообразительность / Р. А. Галеева, Г. С. Курбанов, И. В. Мельченко – Изд. 2 – е – Ростов н/Д: Феникс, 2006.
2. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 2. – М.: «Баласс», «Ювента», 2004.
3. Депман,И.Я., Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики Пособие для учащихся 5 – 6 кл. / И.Я Депман.  М.: Просвещение, 1999.  
4. Игнатьев. Е.И.  В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Книга для семьи и школы. Опыт математической хрестоматии в 3 книгах/Худож. Н.Я. Бойко. – Ростов н/Д: Кн. Изд-во, 1995.
5. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 кл. сред. Шк. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1988.
6.  Смыкалова, Е.В. Дополнительные главы по математике для учащихся 5 класса.: СПб:  СМИО Пресс, 2009.
7. Шарыгин И. Ф., Шевкин А. В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5 – 6 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000.  
8. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав.ред. М.Д. Аксёнова. М.: Аванта +,2001.  
9. Увлекательные логические задачки, которые будут интересны детям и взрослым. http://logika.vobrazovanie.ru