Уравнение многоугольника

Уравнения  многоугольников

Автор работы: Шпакова Маргарита Андреевна, г.о. Тольятти, МБУ СОШ

№ 58,  8 класс

Научный руководитель: Владимирова Ольга Ивановна, учитель математики первой категории МБУ СОШ № 58.

В школьном курсе математики учащиеся часто встречаются с алгебраическими уравнениями, уравнениями прямых, уравнениями окружностей, квадратными уравнениями и т.д. Что собой  представляют уравнения многоугольников, учащиеся не знают.

 Как, например, выглядит уравнение треугольника? Можно ли по фигуре на плоскости составить уравнение?  Можно ли рассчитать площадь фигуры по заданному уравнению?   Можно ли по  заданному уравнению  определить, что за многоугольник? Решение  этих вопросов  меня и заинтересовало.  В них есть проблема моей  исследовательской работы.

Цель работы:   изучить и исследовать на примерах методы,  которые  дают возможность получить уравнение с модулем  любого выпуклого многоугольника на плоскости, координаты вершин которого известны.  Найти взаимосвязь площади фигуры от ее уравнения.

Основные ЗАДАЧИ   исследования:

1. Познакомиться с некоторыми видами уравнений  прямых на плоскости (уравнение прямой в отрезках,  уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости);
2. Научиться составлять уравнение  прямой  через заданную точку и параллельную  другой прямой;
3. Научиться составлять уравнение прямой, проходящей через две заданные точки;
4. Научиться по уравнению строить многоугольник на плоскости и наоборот, по чертежу составлять уравнение многоугольника;
5. Изучить метод областей при решении уравнений, содержащих  знак модуля.

    Как известно из курса геометрии, любая прямая на координатной  плоскости может быть задана уравнением вида

                                       ах+by+с = 0

    Подобное уравнение называют линейным.  Уравнение такого вида называют  также общим уравнением прямой на плоскости.

     Если  ax+by+c = 0  -  уравнение некоторой прямой  m, то уравнение ax+by+c = p, где р ≠ 0, задает прямую m`, параллельную m. Это следует из того, что данные два уравнения не имеют общих решений, а значит, прямые не имеют общих точек.

    У параллельных прямых

y=k1x+b

y=k2x+d

k1=k2

   Пример1. Составим уравнение прямой, проходящей через точку М (1;-2) и параллельной прямой  3x-4y+5=0

Подставляя координаты точки М в левую часть уравнения, получаем значение 16. Значит,  искомым уравнением прямой будет  3x+4y+5=16 или окончательно 3x+4y-11=0.

    Пусть известны координаты двух точек М1 (x1;y2), М2 (x2;y2), лежащих на данной прямой. Составим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

                                          =

                                (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

 Пример 2.  Составим уравнение прямой, проходящей через точку М1 (3;1) и М2 (2;2).

Получаем такое уравнение   (x-3)(2-1)-(y-1)(2-3)=0

после преобразований  выходит  х+у-4=0.

    Если известны координаты (а;0) и (0;b) точек пересечения прямой с осями Ох и Оу, то для этой прямой проще всего записать уравнение в отрезках   += 1.

    Рассмотрим на координатной плоскости ху треугольник с вершинами в точках А (х1;у1), В (х2;у2), С (х3;у3). Уравнение прямой, на которой лежит сторона АВ этого треугольника,  можно записать в виде    

 (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0.

     Подставим координаты третьей вершины С (х3;у3) в левую часть этого уравнения,

получим некоторое значение

                             q=(x3-x1)(y2-y1)-(y3-y1)(x2-x1)

 Чтобы понять геометрический смысл числа q, заметим, что уравнение

 (х-х1)(у2-у1)-(у-у1)(х2-х1)=q  задает прямую,  параллельную стороне АВ данного треугольника. Поэтому для каждой точки этой прямой результат подстановки ее координат в левую часть уравнения тот же, что и для точки C (х3;у3), и дает число q. Значит, то же значение получится и для точки С1 (х4;у1) пересечения упомянутой прямой с прямой у=у1, параллельной оси абсцисс и проходящей через вершину A треугольника. Но в этой точке

 (х-х1)(у2-у1)-(у-у2)(х2-х1) = (х4-х1)(у2-у1). Геометрический смысл последнего выражения понять уже несложно: |(х4-х1)(у2-у1)|  площадь параллелограмма со сторонами АВ и АС1. Длина стороны АС1  равна |х4-х1|, а длина высоты параллелограмма, опущенной из вершины B на эту сторону, есть  |у2-у1|. Поэтому  |q| есть площадь  ΔАВС1, но она такая же, что и у ΔАВС.   В результате приходим к следующей формуле для площади треугольника

                               S =|(x3-x1)(y2-y1)-(y3-y1)(x2-x1)|.  (3, стр. 169).

                     Уравнение треугольника

Если треугольник  задан в декартовой системе координат и имеет своими вершинами точки  А (х1;у1), В (х2;у2), С (х3;у3), то можно составить уравнение треугольника:

 |(x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)| + |(x-x2)(y3-y2)-(y-y2)(x3-x2)| +

+ |(x-x3)(y1-y3)--(y-y3)(x1-x3)| = 2S,  где

                               S =|(x3-x1)(y2-y1)-(y3-y1)(x2-x1)|.

  Пример 3.    Составим уравнение треугольника, изображенного на рисунке. Для этого составим уравнения  прямых, которые являются его сторонами, по формуле

 (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0, задающей уравнение прямой по двум ее точкам. При этом допустимым считаем раскрытие скобок  и приведение подобных слагаемых и недопустимым – умножение обеих частей уравнения на некоторое число (за исключением -1).

А(0;1), В(1;0),  С(-1;0)

Уравнения сторон имеют вид:  х-у+1=0, х+у-1=0, 2у=0. Сложив модули левых частей этих уравнений,  и приравняв полученное выражение к удвоенной площади  ΔАВС, равной в данном случае 1, приходим к искомому уравнению  |x-y+1|+|x+y-1|+2|y|=2.

Описанный метод дает возможность получить уравнение любого выпуклого многоугольника на плоскости, координаты вершин которого известны.

Уравнение квадрата, ромба

Пример 4. Составить уравнение  квадрата:

|x-1| + |y-1| + |x| + |y| = 1.  Площадь равна 1.

Пример 5. Составить уравнение ромба:

Через  точки с координатами (1;0), (0;1) уравнение прямой: x +y -1 = 0.

Через точки с координатами  (-1;0), (0;1) уравнение прямой: x – y + 1 = 0.

Через точки с координатами (-1;0), (0;-1) уравнение прямой: x + y + 1 = 0.

Через точки с координатами (0;-1), (1;0) уравнение прямой: -x + y + 1 = 0.

Получили:  | x + y - 1| + | x – y + 1| + | x + y + 1| + | -x + y + 1 | = 4.

Этот же ромб имеет другое уравнение: |х| + |у| = 1, которое лучше решать «методом областей».  Площадь ромба равна  2.

Пример 6.  Докажите, что уравнения:  |x + y| + |x - y| = 2 и  |x + 1| + |y + 1| + |x -1| +|y - 1| =4  относятся к одному квадрату.

Первое уравнение лучше решать «методом областей», где вся плоскость разбивается прямыми  у =-х  и у=х на четыре области, значит, искомая фигура четырехугольник, стороны которого параллельны осям координат. Из уравнений каждой области  у=1, х=1и т.д. понимаем, что это квадрат, площадь которого равна 4.

Второе уравнение наглядно изображено, подтверждая первое.

 Пример 7.  Определить вид  многоугольника  по уравнениям:

|х| + 3|у| = 6;   |х-3| + |у+3| = 3;  |х-1| + 7|у| = 1.

Во всех  случаях даны уравнения ромба .

Уравнение шестиугольника

Пример 8.  Изобразить на плоскости многоугольник  по данному уравнению:  |x|+|y|+|x+y|=4.

   Из данного уравнения следует, что х=0, у=0, х= -у –прямые, которые разбивают плоскость на несколько областей.

Найдем уравнение прямой,  стороны многоугольника,  в каждой из областей:

1. (2;1)

          х+у+х+у=4

          2х+2у=4

          х+у=2

          х=2-у

2.  (-1;2)

-х+у+х+у=4

2у=4

у=2

3. (-2;1)

-х+у-х-у=4

-2х=4

х=-2

4. (-2;-1)

-х-у-х-у=4

-2х-2у=4

-х=2+у

х=-2-у

5. (1;-2)

х-у-х-у=4

-2у=4

у=-2

6. (2;-1)

х-у+х+у=4

2х=4

х=2

 В каждой  из полученных областей  построили  соответствующую  прямую. Получили шестиугольник, площадь которого равна 12.

Пример 9.  Определить вид многоугольника:  2|х| + |у| + |3х-4у| = 10.

По аналогии с предыдущим примером дано уравнение шестиугольника, так как прямые х=0, у=0, у=0,75х разбивают плоскость на 6 областей.

Вывод: чтобы определить вид многоугольника, нужно использовать или «метод областей» (по числу получившихся областей), или  количество  прямых, которые являются сторонами многоугольника. Чтобы составить уравнение многоугольника, можно так же использовать предыдущие два метода.

Литература

1. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые – М.: Наука, 1976.
2. Виленкин Н.Я. Множества на координатной плоскости. Факультативный курс: Избранные вопросы математики 7 -8. – М.: Просвещение, 1978.
3. Никольская И.Л. Факультативный курс по математике: учебное пособие для 7 -9 классов.  – М.: Просвещение, 1991.