Комплексные числа
Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин , получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа являются расширением множества действительных чисел. В результате расширения множества действительных чисел было введено понятие мнимой единицы i , которая существует на множестве комплексных чисел, но не существует на множестве действительных. Для них введены операции сложения, умножения, вычитания и деления. Так же их можно возводить в степень и извлекать из них корень.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 zhukov_egor_10_a_kompleksnye_chisla.pptx | 96.54 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Введение В элементарной математике изучаются действительные числа. Сначала в процессе счёта возникает так называемый натуральный ряд чисел 1, 2, ... n , ... В арифметике вводятся действия сложения и умножения над натуральными числами. Что же касается операций вычитания и деления, то они уже оказываются не всегда возможными на множестве натуральных чисел. Поэтому вводятся множества целых и рациональных чисел. Та же потребность измерения величин и проведения таких операций, как извлечение корня, решение алгебраических уравнений, приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел. Здесь, например, при извлечении корня из положительного числа вводятся иррациональные числа. Однако, решение алгебраических уравнений второй степени и выше привело к необходимости извлекать корень из любого действительного числа: так появились комплексные числа. Выдающаяся роль в развитии теории комплексных чисел, разработке методов их применения в различных областях математики принадлежит Даламберу и Эйлеру. В начале XIX века была разработана очень простая геометрическая интерпретация, позволившая уяснить геометрический смысл операций над комплексными числами. Именно благодаря Гауссу, опубликовавшему в 1831 году свою работу по теории чисел.
Определение комплексных чисел Для того, чтобы извлекать квадратный корень из отрицательного действительного числа, множество действительных чисел было расширено: к нему добавили новое число i , такое что i 2 = -1. Операции умножения этого числа на любое действительное число и сложения его с действительным числом привели к понятию комплексного числа. Комплексными числами называют выражения вида a + b i , в которых а и b – любые действительные числа, и для которых следующим образом вводится понятие равенства и операции сложения и умножения: а) два комплексных числа a+b i и c+d i равны тогда и только тогда, когда a = c и b = d; ( пишут a + b i = c +d i ) б) суммой чисел a + b i и c + d i называется число a + c + (b + d)i; в) произведением чисел a + b i и c +d i называется число ac – bd + (ad + bc) i . Таким образом, сложение и умножение комплексных чисел производится согласно формулам: (a + b i ) + (c + d i ) = a + c + (b + d)i, (a + b i )(c + d i ) = ac – bd + (ad + bc)i. Комплексные числа принято обозначать одной буквой (чаще всего буквой z или w ). Равенство z = a + b i означает, что комплексное число a + b i обозначено буквой z, при этом действительное число a называется действительной частью комплексного числа z = a + b i . Число b называется мнимой частью числа z = a + b i , а символ i называется мнимой единицей .
Примеры Пример 1. Найти сумму и произведение комплексных чисел z 1 = 8 + 2 i и z 2 = -3 + 7 i . По формуле сложения находим z 1 + z 2 = 8-3+(2+7) i = 5 + 9 i Перемножая двучлены ( 5 + 2 i ) и ( -3 + 7 i ) и учитывая i 2 = -1, получаем z 1 z 2 = ( 8 + 2 i )( -3 + 7 i ) = - 24 + 56 i - 6 i + 14 i 2 = = -24 + 50 i – 14 = -38 + 50 i
Классификация комплексных чисел
Свойства операций над комплексными числами 1. Коммутативность сложения : z 1 + z 2 = z 2 + z 1 для любых комплексных чисел z 1 , z 2 . 2. Ассоциативность сложения: для любых комплексных чисел ( z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) для любых комплексных чисел z 1 , z 2 , z 3 . 3. Для любого комплексного числа z + 0 = z для любого комплексного числа z. 4. Для любых комплексных чисел z 1 и z 2 существует число z такое, что z 1 + z = z 2 . Это число называется разностью чисел z 2 и z 1 и обозначается z 2 - z 1 . 5. Коммутативность умножения: z 1 z 2 = z 2 z 1 для любых z 1 , z 2 . 6. Ассоциативность умножения: ( z 1 z 2 ) z 3 = z 1 ( z 2 z 3 ) для любых z 1 , z 2 , z 3 . 7. Дистрибутивный закон: z 1 ( z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 для любых z 1 , z 2 , z 3 . 8. 1 *z = z для любого комплексного числа z . 9. Для любых двух комплексных чисел z 1 и z 2 , где z 2 ≠ 0, существует число z , такое , что z 2 z = z 1 . Это число называется частным комплексных чисел z 1 и z 2 . Все перечисленные свойства операций следуют из определения.
Доказательство 4 и 9 свойства Свойство 4. Пусть z 1 = a + b i , z 2 = c + d i , z 3 = x + y i . Тогда равенство z 1 + z = z 2 запишется в виде c + d i = (a + b i ) + (x + y i ) = a + x + (b + y) i . Отсюда следует, что x и y удовлетворяют следующей системе уравнений: z 2 - z 1 = (с - a ) + (d - b) i Свойство 9. Пусть z 1 = a + b i , z = x + y i , z 2 = c + d i, и хотя бы одно из чисел c и d отлично от нуля. Тогда равенство z z 2 = z 1 запишется так: a + b i = ( x + y i )( c + d i ) = = xc – yd + (xd + yc) i . Отсюда x и y удовлетворяют условию системе уравнений : Эта система имеет единственное решение x = z 1 bc - ad z 2 a + x = c b + y = d , откуда x = c – a, y = d - b cx – dy = a, dx + cy = b. ac + bd c 2 + d 2 , y = bc - ad c 2 + d 2 , = ac + b d c 2 + d 2 + i c 2 + d 2 .
Примеры Найти разность z 1 – z 2 и частное комплексных чисел z 1 = -5 + 7 i и z 2 = 2 - 3 i Воспользуемся 4 свойством z 1 - z 2 = ( -5 + 7 i ) – (2 - 3 i ) = -5 – 2 + (7 - 3) i = = -7 + 4i Воспользуемся 9 свойством = + i = + i. z 1 z 2 z 1 z 2 -5 * 2 + 7 * (-3) 7 2 + (-3) 2 7 * 2 – (-3)(-5) 7 2 + (-3) 2 -31 58 -1 58
Алые паруса
Загадка Бабы-Яги
Сорняки
У меня в портфеле
Муравьиная кухня