Презентация по теме:"Колмогоров А.Н. Теория вероятностей"
Презентация.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 kolmagor_yunosova.pptx | 1023.91 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Колмогоров Андрей Николаевич. Биография. Выдающийся советский математик, доктор физико-математических наук, профессор Московского Государственного Университета (1931), академик Академии Наук СССР (1939). Колмогоров — один из основоположников современной теории вероятностей, им получены фундаментальные результаты в топологии, математической логике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов и ряде других областей математики и её приложений .
Ранние годы. Мать Колмогорова — Мария Яковлевна Колмогорова (1871—1903) умерла при родах. Отец — Николай Матвеевич Катаев, по образованию агроном (окончил Петровскую ( Тимирязевскую ) академию), погиб в 1919 году во время деникинского наступления. Мальчик был усыновлён и воспитывался сестрой матери, Верой Яковлевной Колмогоровой. Тетушки Андрея в своём доме организовали школу для детей разного возраста, которые жили поблизости, занимались с ними — десятком ребятишек — по рецептам новейшей педагогики. Для ребят издавался рукописный журнал «Весенние ласточки». В нем публиковались творческие работы учеников — рисунки, стихи, рассказы. В нем же появлялись и «научные работы» Андрея — придуманные им арифметические задачи. Здесь же мальчик опубликовал в пять лет свою первую научную работу по математике. Правда, это была всего-навсего известная алгебраическая закономерность, но ведь мальчик сам её подметил, без посторонней помощи!
В семь лет Колмогорова определили в частную гимназию. Она была организована кружком московской прогрессивной интеллигенции и все время находилась под угрозой закрытия. Андрей уже в те годы обнаруживает замечательные математические способности, но все-таки ещё рано говорить, что дальнейший путь его уже определился. Были ещё увлечение историей, социологией. Одно время он мечтал стать лесничим. «В 1918—1920 годах жизнь в Москве была нелёгкой, — вспоминал Андрей Николаевич. — В школах серьёзно занимались только самые настойчивые. В это время мне пришлось уехать на строительство железной дороги Казань-Екатеринбург. Одновременно с работой я продолжал заниматься самостоятельно, готовясь сдать экстерном за среднюю школу. По возвращении в Москву я испытал некоторое разочарование: удостоверение об окончании школы мне выдали, даже не потрудившись проэкзаменовать».
Университет. Когда в 1920 г. Андрей Колмогоров стал думать о поступлении в институт, перед ним возник вечный вопрос: чему себя посвятить, какому делу? Влечет его на математическое отделение университета, но есть и сомнение: здесь чистая наука, а техника — дело, пожалуй, более серьёзное. Вот, допустим, металлургический факультет Менделеевского института! Настоящее мужское дело, кроме того, перспективное. Андрей решает поступать и туда и сюда. Но вскоре ему становится ясно, что чистая наука тоже очень актуальна, и он делает выбор в её пользу.
В 1920 г. он поступил на математическое отделение Московского университета. «Задумав заниматься серьёзной наукой, я, конечно, стремился учиться у лучших математиков, — вспоминал позднее учёный. — Мне посчастливилось заниматься у П. С. Урысона, П. С. Александрова, В. В. Степанова и Н. Н. Лузина, которого, по-видимому, следует считать по преимуществу моим учителем в математике. Но они „находили“ меня лишь в том смысле, что оценивали приносимые мною работы. „Цель жизни“ подросток или юноша должен, мне кажется, найти себе сам. Старшие могут этому лишь помочь».
Теория вероятностей Теория вероятностей — наука о случайном. Систему аксиоматического обоснования этой науки Колмогоров построил в 30-х годах. Во время Великой Отечественной войны он использовал свои знания для решения практических задач: Колмогоров дал определение оптимальной стратегии при стрельбе из артиллерийских орудий. При стрельбе по малым целям необходимо использовать искусственное рассеяние — специально отклоняться от места наиболее вероятного попадания, тогда шансы на попадание повышаются. Фактически при стрельбе одиночными снарядами мы имитируем стрельбу дробью .
Теория вероятностей занимается большими ансамблями случайных событий. Каждое событие непредсказуемо, но все вместе они описывают некоторое вполне детерминированное распределение событий. Если взять квадратную площадь, над которой идет сильный дождь, то квадрат будет равномерно мокрым. Вероятность того, что некоторая область в центре квадрата окажется абсолютно сухой стремится к нулю, однако ничего невозможного в этом нет.
Колмогоров определил вероятность как меру. То есть мы можем измерять вероятность площадью. Если считать событием попадание капли в прямоугольники A, B, C, D, то как определить вероятность этого события? Попадет ли каждая конкретная капля в один из прямоугольников, зависит только от площади этих прямоугольников. Оказалось, что такой «площадной» подход отлично работает. Например: вероятность того, что капля попадет в прямоугольник A равна 0,3×0,4= 0,12, вероятность того, что она попадет в прямоугольник D — 0,6×0,7 = 0,42 и т.д
Калькутта, Индия, 1962 год
Для теории вероятностей Колмогоров предложил свою аксиоматику. Третья аксиома гласит: вероятность всех событий равна 1 (то есть наша капля точно попадет в один из выделенных прямоугольников). Фундамент колмогоровской аксиоматики закладывает четвертая аксиома: если пересечение множеств A и B равно пустому множеству, то вероятность A, объединенного с B, равна сумме вероятностей A и B. Главная заслуга Колмогорова в том, что он «забыл», что такое вероятность. Он отказался от философского обоснования понятий случайности, детерминированности и т.д., но предложил аксиомы, на базе которых можно построить работающую математическую теорию. То, что она работает, Колмогоров доказал на практике своими работами по стрельбе.
Ученики Колмогорова Многих поражало, с какой легкостью Колмогоров ориентировался в самых разных областях математики и как моментально умел переключаться с одного предмета на другой. Колмогоров видел математику как некоторое целое и был одним из последних ученых, которым такое видение было доступно. Колмогоров уделял огромное внимание работе со своими учениками. Он выступал как своеобразный сеятель идей, которые разрабатывали в деталях уже его аспиранты. Сам же Колмогоров шел дальше. У него было два состояния окончания занятий проблемой: он или писал статью, или отдавал проблему своему ученику. А его ученики уже были готовы к тому, чтобы понять, что думает их учитель, загореться от него и решить проблему. Таким образом Колмогоров создал одну из крупнейших математических школ мира.
Стихи и математика Колмогорова с детства привлекала поэзия. Он говорил, что для того, чтобы полюбить Гете, ему надо посчитать все его размеры. Теория колмогоровской сложности во многом выросла как раз из увлечения стиховедением. В университете Колмогоров даже вел семинар по этой дисциплине. Он понял, что информация в стихах передается не только словами, но и самой конструкцией, строением текста.
Теория сложности Из интереса Колмогорова к поэзии выросла его теория сложности. Сложность объекта — это длина программы, которая его описывает. Теория сложности — одна из самых перспективных областей современной математики. Задача, которая стоит перед учеными, занимающимися этой теорией, состоит в частности в том, чтобы научиться отделять хаос от знания. Хаотические последовательности содержат максимально много информации, но не имеют смысла (человек их не понимает). Простые повторяющиеся последовательности (например, последовательность из одних нулей или из одних единиц) содержат мало информации — их смысл вырожден. Значит, существуют последовательности, которые содержат значительную информацию и имеют смысл, то есть человек может их понять. Это — область знания. Она очень мала по сравнению с областью хаоса, но именно она нам наиболее интересна. Если нам удастся эффективно отделять хаос от знания, это позволит нам сделать шаг к созданию искусственного интеллекта
Математическая статистика. Пространством элементарных событий называется множество исходов некоторого эксперимента. Элементарным событием называется любой элемент пространства элементарных событий. Событием называется любое подмножество пространства элементарных событий. Генеральной совокупностью называется достаточно большое, быть может, бесконечное подмножество элементарных событий. Случайной величиной называют функцию от элементарного события. Экспериментом называется функция, принимающая значение на пространстве элементарных событий.
Статистическая моделью называется совокупность законов, которым подчиняется процедура эксперимента. Случайной выборкой1 или просто выборкой1 объема n называется набор некоторого числа элементов генеральной совокупности, наблюденных при серии из n одинаковых экспериментов Выборкой2 объема n называется набор 1,…,n случайных величин, определенных на натуральных числах 1,…,n , k -я с.в . принимает значение исхода ki - го эксперимента на числе i , при условии, что все эксперименты одинаковы. Статистикой называется любая измеримая функция от выборки. Функцией правдоподобия называется плотность распределения выборки2 , как n-мерной случайной величины.
Вариационный ряд, распределение порядковых статистик. Эмпирические Квантили ГММЕ 398. к-й порядковой статистикой выборки х1 ,…, хn называется такая случайная величина х(k) , что для каждого набора значений выборки х1 ,…, хn х(k) равна такому хi , для которого найдется ровно i-1 элементов выборки, которые меньше хi . Если х1 ,…, хn – независимые, одинаково распределенные случайные величины, что распределение к-й порядковой статистики задается следующей формулой:, где B( a,b ) – плотность бета распределения. Вариационным рядом называется последовательность порядковых статистик x(1) ,…,x(n) . Выборочным квантилем порядка р называется значение х([ np ]+1).
Квантилью zp для с.в . х с функцией распределения F(x) называется любой корень уравнения F( z p )=p. Эмпирическая функция распределения, ее св-ва , как функции распределения и как случайного элемента (распределения и числовые характеристики) СКТ 191. Эмпирическим распределением называется распределение, которое каждому элементу выборки1 х1 ,…, хn ставит в соответствие вероятность1/n. Эмпирическим распределением Án для выборки х1 ,…, хn называется функция, по определению равная , где равно 1, если хk принадлежит В, и нулю иначе. Эмпирической функцией распределения называется функция Fn (x)= Á (- ¥ ,x). Математическое ожидание эмпирической функции распределения M (x) равно среднему арифметическому значений х1 ,…, хn . Дисперсия эмпирической функции распределения .
С Выборочным моментом порядка k называется значение . ходимость эмпирической функции распределения. Теорема Гливенко – Кантелли (БМС 22). Теорема. Для эмпирического распределения Án (x) и распределения генеральной совокупности Á (x) при n®¥. Теорема Гливенко – Кантелли . Для эмпирической функцией распределения Fn (x) и распределения генеральной совокупности F(x) при n®¥ . Теорема Колмогорова. Доказательство независимости статистики Колмогорова от вида непрерывной функции распределения – СКТ 209 ГММЕ 173. Статистикой Колмогорова для непрерывной функции распределения генеральной совокупности F(x) и – эмпирической функция распределения Fn (x) , построенной по выборке х1 ,…, хn , называется функция.
Теорема . Если F(x) непрерывна, тораспределения статистики Колмогорова Dn не зависит от F(x). Условные математические ожидания и условные распределения. Св-ва условных мат. ожиданий. Аналоги формул полной вероятности и формулы Байеса для мат. ожиданий ГММЕ 173 ШВ 91. Условным законом распределения д.с.в . h при заданном значении д.с.в . x = хk называется набор условных вероятностей l=1,…,m. Условным математическим ожиданием д.с.в . h при заданном значении д.с.в . x = хk называется сумма . Имеет место равенство M [M( x ½h )] = M h . М (Р ( h = yl | x = xk )) = P( h = yl ). Достаточные статистики. Теорема Неймана-Фишера (критерий достаточности) СКТ 221. Достаточной называется такая статистика t(x) , что для случайной величины x с распределением p(x, q ) условное распределение P( x | t( x ) = t0 ) не зависит от параметра q (то есть через нее можно определить значение параметра q )
Спасибо за внимание!!!
Как напиться обезьяне?
Компас своими руками
Филимоновская игрушка
Учимся ткать миленький коврик
Ласточка