Научно-исследовательская работа на тему "С.В. Ковалевская и задача о вращении твердого тела.Гироскоп."

Опубликовано Еплова Лариса Анатольевна вкл 25.04.2015 - 14:58

Автор:

Катина Юлия, ученица 11 класса

Работа предназначена для учащихся, интересующихся углубленным изучением математики и физики.

Скачать:

Вложение	Размер
Исследовательская работа по математике	313.63 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Илькинская средняя общеобразовательная школа»

Село Илькино Меленковского района Владимирской области

Исследовательская работа по теме:

«Софья Васильевна Ковалевская и задача о вращении твердого тела. Гироскоп».

Выполнила:

ученица 11 класса

МБОУ «Илькинская СОШ»

Катина Юлия.

Научный руководитель:

учитель математики

МБОУ «Илькинская СОШ»

Еплова Лариса Анатольевна.

Илькино 2015

Содержание стр

Введение…………………………………………..……………………... 2

Основная часть

Глава 1. Краткая биография Софьи Васильевны Ковалевской, ее основная научная деятельность……………………………………………………………4

Глава 2. С.В.Ковалевская и задача о вращении твердого тела (гироскопа).............................................................................................................6

Глава 3. Практическое применение гироскопов в современных технических устройствах……………………………………………………….9

Заключение………………………………………..……………........……11

Литература и Интернет ресурсы………………………………….. ……12

Приложение……………………………………………………….............13

Введение

«Говори, что знаешь, делай, что должен,

да будет, что будет».

С.В.Ковалевская

Многим школьникам приходилось слышать имя величайшей женщины-математика, университетского профессора Софьи Васильевны Ковалевской (рис 1).Ее научные исследования проходили в областях науки, которые стоят очень далеко не только от школьного курса математики, но и от курсов высших учебных заведений, они настолько интересны и поучительны, а ее имя представляет такую гордость русской науки, что необходимо было посвятить ей несколько страниц данной исследовательской работы. В 1888 году Парижская Академия наук объявила для получения одной из самых своих больших премий тему: «Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки». Эта задача была решена до конца лишь в двух частных случаях. Решения принадлежали величайшим математикам своего времени: петербургскому академику Леонарду Эйлеру (1707-1783) (рис.2) и французскому математику Ж. Лагранжу (1736-1813) (рис. 3).Требовалось «усовершенствовать задачу в каком-нибудь существенном пункте». На конкурс среди 15 работ поступила работа под девизом: «Говори, что знаешь, делай, что должен, да будет, что будет». Эта работа была настолько выше всех остальных, что академическая комиссия, состоявшая из крупнейших математиков Франции, присудила автору увеличенную с 3000 до 5000 франков премию. Автором ее оказалась Софья Васильевна Ковалевская. Она же, как отмечает французский журнал того времени, пришедшая для получения премии, была первой женщиной, переступившей порог Академии. Понятна радость Софьи Васильевны, которая по этому поводу писала: «Задача, которая ускользала от величайших математиков, задача, которую называли математическою русалкою, оказалась схваченной…кем? Соней Ковалевской!» [1,с.130]

В связи с указанными фактами, можно выдвинуть следующую гипотезу: Решение Софьей Васильевной Ковалевской задачи о вращении твердого тела имеет очень важное значение для науки и техники. Примером такого тела вращения у С.В. Ковалевской был изученный ею гироскоп, который впоследствии явился необходимым прибором для большого числа современных технических устройств.

Актуальность и значимость данной работы заключается в том, что, изучив и проанализировав научную деятельность С.В Ковалевской, в частности решения задачи на вращение твердого тела (гироскопа), мы покажем практическую значимость данной работы в современной жизни каждого человека.

Для подтверждения гипотезы поставим перед собой цель: изучить и проанализировать научную деятельность Софьи Васильевны Ковалевской, в частности, решения задачи на вращение твердого тела (гироскопа), выяснить актуальность и ценность ее научных достижений в данной области.

Для достижения цели поставим следующие задачи:

1) изучение литературы, содержащей сведения о С.В Ковалевской и ее научной деятельности;

2) ознакомление с задачей о вращении твердого тела;

3) оценка вклада С.В Ковалевской в решении данной задачи;

4) установление важности решения задачи на вращение твердого тела и ее практической значимости для работы современных технических приборов.

Основная часть

Глава 1. Краткая биография Софьи Васильевны Ковалевской, ее основная научная деятельность.

Софья Васильевна Ковалевская родилась 15 января 1850 года в Москве, в семье генерала В. В. Корвин – Круковского (рис.4)(в метрическом свидетельстве С. В. Ковалевской фамилия передается в форме «Крюковской»), отец Сони вскоре вышел в отставку и поселился в своем имении в Витебской губернии. Дочери генерала, младшая Софья и старшая Анна, воспитывались под наблюдением гувернанток, изучали иностранные языки и музыку, чтобы стать хорошо воспитанными дворянскими барышнями. Однако генерал, будучи сам учеником знаменитого математика М. В. Остроградского, решил дать младшей дочери более серьезное образование, для чего был приглашен прекрасный учитель — Иосиф Игнатьевич Малевич. Ученица оказалась понятливой и старательной, но к арифметике сначала не проявила особого интереса. Лишь на пятом году обучения 13-летняя Соня при нахождении отношения длины окружности к ее диаметру (числа π) проявила свои математические способности: она дала свой самостоятельный вывод требуемого отношения. Когда Малевич указал на несколько окольный путь вывода, примененный Софьей, она заплакала.[1,с.125]

Сама Софья Васильевна рассказывала в своих воспоминаниях, что большое влияние на пробуждение у нее интереса к математике стала задача о квадратуре круга (неразрешимая задача о построении циркулем и линейкой квадрата, имеющего площадь, равную площади данного круга). Вследствие этого у девочки сложилось представление о математике, как науке, в которой имеется много интересных загадок.
Софья Васильевна рассказывает еще о другом случае, укрепившем в ней интерес к математике. Детская комната за нехваткою обоев была оклеена листами лекций по высшей математике, которые слушал в молодости ее отец. Таинственные формулы, загадочные слова и фигуры от частого обозрения их врезались в память девочки. Когда в возрасте пятнадцати лет она стала брать уроки высшей математики у очень известного педагога А.Н.Страннолюбского

и слушала изложение тех же вопросов, о которых она без понимания смысла читала на «обоях», то сообщаемые ей учителем новые понятия казались старыми знакомыми, она усваивала их, к удивлению учителя, очень легко.
Но еще до этого четырнадцатилетняя Софья удивила приятеля отца, профессора физики Н.П.Тыртова, своими способностями. Профессор привез Софье свой учебник физики. Вскоре оказалось, что не прошедшая еще курса школьной математики, Софья самостоятельно разобралась в смысле употребляемых в учебнике математических (тригонометрических) формул. После этого генерал, гордый успехами своей дочери, разрешил ей во время зимних пребываний в Петербурге брать уроки математики и физики, чем не замедлила воспользоваться пятнадцатилетняя Софа. Однако этого было для нее мало. Софья Васильевна стремилась к получению высшего образования в полном объеме.
Двери высших учебных заведений в России для женщин в то время были закрыты. Остался лишь путь, к которому прибегали многие девушки: искать возможности получения высшего образования за границей.
На поездку за границу нужно было разрешение отца, которого он давать не хотел. Софья Васильевна, которой исполнилось уже восемнадцать лет, выходит фиктивно замуж за Владимира Онуфриевича Ковалевского (рис.5), знаменитого впоследствии естествоиспытателя, и в качестве его «жены» уезжает вместе с сестрой в Германию, где ей удаётся, не без трудностей, поступить в Гейдельбергский университет.
Профессора университета, среди которых были знаменитые ученые, были в восторге от способностей своей ученицы. Ковалевская стала достопримечательностью маленького городка. Встречая ее на улицах, матери указывали на нее своим детям, как на удивительную русскую девушку, которая в университете изучает математику.[1,с.126]
В течение трех лет Софья Васильевна при усиленных занятиях прошла курс университета по математике, физике, химии и физиологии. Ей хотелось усовершенствоваться в области математики у крупнейшего в то время в Европе математика Карла Вейерштрасса, в Берлине. Так как в Берлинский университет женщин не принимали, то Вейерштрасс, восхищенный исключительными способностями Софьи Васильевны, в течение четырех лет занимался с нею, повторяя ей лекции, которые читал в университете. В 1874 году Гёттингенский университет, центр математической науки в Германии, по представлению Вейерштрасса, присудил Софье Васильевне степень доктора без защиты диссертации за три представленные работы. В своем представлении Вейерштрасс указывал, что он не знает среди своих многочисленных учеников, съезжавшихся к нему из всех стран, никого, которого он «мог бы поставить выше госпожи Ковалевской».
В 1881 году в Стокгольме был открыт новый университет, кафедра математики которого была предоставлена профессору Миттаг - Леффлеру. После весьма сложных усилий ему удалось склонить либеральные круги Стокгольма к решению пригласить Софью Васильевну на должность доцента в новый университет.
Консервативные слои ученых и населения встретили Софью Васильевну враждебно, а писатель Стриндберг доказывал, что женский профессор математики есть явление чудовищное, вредное и неудобное. Однако талант ученого и талант педагога, которыми обладала Софья Васильевна, заставили умолкнуть всех противников. Через год она была избрана штатным профессором, и ей было поручено кроме математики и временное чтение лекций по механике.[1,с.129]
На 1888 год Парижская Академия наук объявила для получения одной из самых больших своих премий тему: «Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки». Премия была вручена С.В.Ковалевской.
С.В.Ковалевская напечатала девять научных работ, получив за одну из них еще премию Шведской Академии наук. Работы ее относятся к области чистой математики, механики, физики и астрономии (о кольце Сатурна). В работе по механике она закончила то, что начали знаменитые Эйлер и Лагранж, в математике завершила идеи Коши, в вопросе о кольце Сатурна дополнила и исправила теорию Лапласа. Эйлер, Лагранж, Лаплас, Коши - это крупнейшие математики конца XVIII и начала XIX века. Чтобы дополнить или исправлять работы таких корифеев науки, нужно быть очень большим ученым. Таким ученым была С. В. Ковалевская. Новые научные результаты, полученные ею, излагаются в больших университетских курсах.[1,с.131]

Рассмотрев краткую биографию выдающегося ученого-математика Софьи Васильевны Ковалевской, невольно удивляешься ее таланту и стремлению к труду. Талант помноженный на упорный труд принесли для всей математической науки огромную пользу. Мы рассмотрим всего лишь одну из работ Софьи Васильевны и убедимся в том, что будущее науки и техники могло бы отодвинуться на многие десятилетия назад, если бы не решенная С.В.Ковалевской задача о вращении твердого тела на примере гироскопа.

Глава 2. С.В.Ковалевская и задача о вращении твердого тела.

Наибольшую славу Софье Васильевне Ковалевской принесла задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Чтобы пояснить сущность задачи, вспомним о детской игрушке прошлых лет — юле. Ее делали из обрубка дерева, обточенного так, чтобы получилось соединение цилиндра и конуса (рис.6). Если намотать на цилиндрическую часть шнур и, быстро дернув за него, тотчас опустить юлу на землю, то она начнет вращаться вокруг своей оси, а ее острие будет перемещаться и описывать некоторую кривую. Теперь вместо юлы изготовляют волчок, представляющий красивую заводную металлическую игрушку, сущность которого та же самая, что у юлы: нужно привести волчок во вращение, и он будет двигаться довольно долго, в зависимости от величины силы трения острия о поверхность, по которой оно перемещается (рис.7). Если бы движение происходило без трения, то оно могло бы продолжаться бесконечно долго. Если ударить движущийся волчок, то можно предсказать, зная направление удара, в какую сторону он наклонится. Однако это отклонение будет кратковременным, волчок будет стремиться вернуться в прежнее положение — такое свойство называется устойчивостью движения. По принципу волчка устроен гироскоп. Это слово составлено из двух греческих слов: «кружусь и наблюдаю». Гироскопические приборы имеют широкое применение в технике. Они служат для определения курса самолетов и судов, а также для стабилизации однорельсового вагона и т. п. В общем виде решение задачи о движениях, происходящих в гироскопических приборах, является чрезвычайно сложным. Но, используя некоторые соотношения, имеющие место в действительных гироскопах, для практического расчета применяют приближенные методы. Точные математические решения получены для гироскопа или волчка при отсутствии трения и наличии неподвижной точки. С.В.Ковалевская занималась изучением общих свойств движения твердого тела (гироскопа) с закрепленной точкой. Чтобы составить представление о характере задачи, рассмотрим прибор, сконструированный профессором Н. И. Мерцаловым для иллюстрации задачи С.В.Ковалевской. Он состоит из узкого цилиндра и трех колец (рис.8), таких, что цилиндр может свободно вращаться вокруг двух осей, вертикальной и горизонтальной. Одну точку на цилиндре Мерцалов сделал светящейся. Гироскоп приводился в движение в темноте, перед открытым объективом фотоаппарата. При этом светящаяся точка описывала на снимке очень сложную кривую. Путь отдельной точки гироскопа оказался чрезвычайно сложным. Задача С.В. Ковалевской состояла в том, чтобы рассчитать этот путь и найти положение заданной точки в любой момент времени. Для пояснения результатов, полученных С. В. Ковалевской, великий русский ученый Н. Е. Жуковский (1847—1921) нарисовал три волчка (рис.9). Два первых были известны до Ковалевской, третий получен ею. В первом случае имеем тело произвольной формы, опирающееся на подставку таким образом, что точка опоры совпадает с центром тяжести тела. Этот случай был рассмотрен великим математиком, петербургским академиком Л.Эйлером (1707—1783). Второй гироскоп представляет тело вращения, причем центр его тяжести не совпадает с точкой опоры. Такое тело, конечно, упадет, если мы поставим его, не сообщив ему вращения. Однако вращающееся тело может занимать указанное на рисунке положение, меняя его в последующие моменты времени. Этот случай был рассмотрен знаменитым французским математиком Ж.Лагранжем (1736—1813). Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки сводится к интегрированию некоторой системы дифференциальных уравнений. Долгое время не обнаруживалось новых случаев интегрируемости, пока, наконец, Ковалевская не открыла тот случай, когда решение задачи можно довести до конца. Н. Е. Жуковский изобразил этот случай: не вполне симметричное тело, в виде волчка с нашлепкой, причем центр тяжести и точка опоры не совпадают. Решение для этого случая оказалось значительно более сложным, чем для предыдущих случаев, но Ковалевская успешно справилась с ним, доведя задачу до конца. Для этого ей понадобилось глубокое знакомство с очень сложным раз делом математики, гиперэллиптическими функциями, являющимися частным случаем абелевых функций. Таким образом, С.В.Ковалевская поставила свое имя рядом с именами Эйлера и Лагранжа. Уже много лет в Парижской академии наук объявлялась премия «за дальнейшее усовершенствование задачи о вращении в каком-нибудь существенном пункте». За отсутствием достаточно хороших работ, премия оставалась не присужденной. В 1886 году, когда Ковалевская уже решала эту задачу, опять была предложена та же тема для премии Бордена. Шарль Лоран Борден был французским нотариусом, завещавшим в 1835 году ренту в 15000 франков Институту Франции. Ежегодно могли присуждаться пять премий, каждой из пяти академий Института, за темы, способствующие развитию общества, повышению блага человечества, ускорению прогресса науки и укреплению национальной чести Франции. Сроком подачи работы было 1 июня 1888 года. Но к этому времени Ковалевская боялась не успеть провести все выкладки. В мае она писала Миттаг - Леффлеру: «Моя голова теперь так полна математикой, что я не могу ни думать, ни говорить о чем-нибудь другом. Я пришла к определенному результату, и притом очень приятному. Но мне еще предстоит разработать окончательные формулы, и я не знаю, успею ли это сделать до конца месяца». Она просит Миттаг - Леффлера вникнуть в вопрос, хотя излагает результаты работы очень кратко. Между тем, приближалось 1 июня. Ковалевская писала Миттаг-Леффлеру: «Это очень досадно, по тому что, как видите, моя работа стала действительно довольно интересной. Самое худшее — это то, что я так устала, так изнемогла, что я сижу и размышляю в течение целых часов о какой-нибудь простой вещи, которую при других обстоятельствах легко могла бы решить в полчаса». Ковалевская испытала все радости и муки, разочарования и надежды, которые могут встретиться в творческой работе ученого. Все же она успела представить работу вовремя и послала ее на конкурс под девизом (на французском языке): «Говори, что знаешь, делай, что должен, пусть будет, чему быть». На конкурс было прислано пятнадцать работ, премирована была работа под указанным девизом, т. е. работа Ковалевской. В виду важности полученных результатов, премия была увеличена с 3000 до 5000 франков. В Парижской академии наук было два отделения: естественных и математических наук и два секретаря — Луи Пастер, знаменитый естествоиспытатель, и Жозеф Бертран, математик. Их подписи украсили пригласительный билет, посланный Софье Васильевне 18 декабря 1888 года, на торжественное заседание Академии наук. 24 декабря Ковалевская была в ложе зала Парижской академии наук вместе со своим однофамильцем М. М. Ковалевским. При вручении ей премии председатель собрания академик-астроном П.Жансен сказал: «Между венками, которые мы даем сегодня, один из прекраснейших и труднейших для достижения возлагается на чело женщины... Наши сочлены нашли, что труд ее является свидетельством не только глубокого и широкого знания, но и признаком ума великой изобретательности ». Присутствовавшие встретили вручение награды горячими аплодисментами, она была героиней дня. Ковалевская опубликовала три статьи на тему о вращении твердого тела. Одна из статей была удостоена премии Шведской академии наук. Французский математик Эрмит (1822— 1901) понял важное значение исследований Ковалевской и написал, что он надеется «собрать колосья со сжатого ею поля»,— он имел в виду рассмотрение тех интегралов, которые встретились в ее статьях. Исследования Ковалевской вызвали большой интерес к задаче о вращении твердого тела, особенно со стороны русских ученых. «Отец русской авиации» Н. Е. Жуковский дал геометрическое истолкование решения этой задачи. Он был большим поклонником таланта Софьи Васильевны. На заседании Московского математического общества, посвященном памяти русской ученой, Жуковский сообщил о своей встрече с французским математиком Пуанкаре. Тот рассказал ему о дальнейших планах Ковалевской, о ее стремлении расширить открытый ею случай задачи о вращении тела. «К сожалению,— заключил свое выступление Жуковский,— ранняя смерть положила предел всем этим надеждам и лишила нас соотечественницы, которая немало содействовала прославлению русского имени». В первой половине нашего века наступило затишье в исследованиях задачи о вращении твердого тела, но с середины столетия опять наблюдается оживление, которое особенно велико в наши дни. В России в 20 веке развивается целая школа, возглавляемая П. В. Харламовым и Е. И. Харламовой. Ею разработана геометрическая интерпретация движения твердого тела на современном уровне техники. Элементы движения рассчитываются на ЭВМ так, чтобы получить на экране своего рода «мультфильм», изображающий движение того или иного гироскопа, в частности отдельных случаев гироскопа Ковалевской. Большую роль в наше время играют исследования по устойчивости вращающегося тела, как твердого, так и с жидким наполнением. Имелся ряд предложений по осуществлению модели гироскопа Ковалевской: первое из них, по ее просьбе, дал немецкий математик Г. А. Шварц; второе- модель Н. Б. Делоне, третье — упомянутая нами модель Н. И. Мерцалова. Имя С. В. Ковалевской и ссылки на ее случай вращения встречаются во многих современных работах, оно навсегда останется рядом с именами крупнейших исследователей в истории механики.[2,с.49-54]

Как мы видим из всего вышесказанного, решение задачи о вращении твердого тела Софьей Васильевной Ковалевской положило начало дальнейшим исследованиям в данной научной области. Ниже мы покажем практическую значимость данных исследований на применении различных видов гироскопов в современных технических приборах и устройствах и убедимся в том, что современный человек не может обойтись без гироскопов.

Глава 3. Применение гироскопов в современных технических устройствах.

Гироскоп, навигационный прибор, основным элементом которого является быстро вращающийся ротор, закрепленный так, что ось его вращения может поворачиваться. Три степени свободы (оси возможного вращения) ротора гироскопа обеспечиваются двумя рамками карданова подвеса. Если на такое устройство не действуют внешние возмущения, то ось собственного вращения ротора сохраняет постоянное направление в пространстве. Если же на него действует момент внешней силы, стремящийся повернуть ось собственного вращения, то она начинает вращаться не вокруг направления момента, а вокруг оси, перпендикулярной ему (прецессия) (рис.10). В хорошо сбалансированном (астатическом) и достаточно быстро вращающемся гироскопе, установленном на высокосовершенных подшипниках с незначительным трением, момент внешних сил практически отсутствует, так что гироскоп долго сохраняет почти неизменной свою ориентацию в пространстве. Поэтому он может указывать угол поворота основания, на котором закреплен. Именно так французский физик Ж.Фуко (1819–1868) впервые наглядно продемонстрировал вращение Земли (рис.11). Если же поворот оси гироскопа ограничить пружиной, то при соответствующей установке его, скажем, на летательном аппарате, выполняющем разворот, гироскоп будет деформировать пружину, пока не уравновесится момент внешней силы. В этом случае сила сжатия или растяжения пружины пропорциональна угловой скорости движения летательного аппарата. Таков принцип действия авиационного указателя поворота и многих других гироскопических приборов (рис.12). Поскольку трение в подшипниках очень мало, для поддержания вращения ротора гироскопа не требуется много энергии. Для приведения его во вращение и для поддержания вращения обычно бывает достаточно маломощного электродвигателя или струи сжатого воздуха.

Гироскоп чаще всего применяется как чувствительный элемент указывающих гироскопических приборов и как датчик угла поворота или угловой скорости для устройств автоматического управления. В некоторых случаях, например в гиростабилизаторах, гироскопы используются как генераторы момента силы или энергии.

Основные области применения гироскопов – судоходство, авиация и космонавтика. Почти каждое морское судно дальнего плавания снабжено гирокомпасом для ручного или автоматического управления судном, некоторые оборудованы гиростабилизаторами. В системах управления огнем корабельной артиллерии много дополнительных гироскопов, обеспечивающих стабильную систему отсчета или измеряющих угловые скорости. Без гироскопов невозможно автоматическое управление торпедами (рис.13). Самолеты и вертолеты оборудуются гироскопическими приборами, которые дают надежную информацию для систем стабилизации и навигации. К таким приборам относятся авиагоризонт, гировертикаль, гироскопический указатель крена и поворота. Гироскопы могут быть как указывающими приборами, так и датчиками автопилота. На многих самолетах предусматриваются гиростабилизированные магнитные компасы и другое оборудование – навигационные визиры, фотоаппараты с гироскопом, гиросекстанты. В военной авиации гироскопы применяются также в прицелах воздушной стрельбы и бомбометания.[3,4,5]

В рамках данной научно-исследовательской работы мы не будем углубляться в более детальное описание работы гироскопических приборов в современной технике. (Это – тема следующей работы). Мы доказали, что научная деятельность Софьи Васильевны Ковалевской принесла огромную пользу для современного человечества, в частности, в развитии исследований гироскопов.

Заключение.

Рассмотрев научную деятельность великого ученого Софьи Васильевны Ковалевской в изучении задачи о вращении твердого тела, я пришла к очень важному для себя выводу. Заканчивая в 2015 году 11 класс, хотелось бы выбрать свою дальнейшую учебную деятельность в верном направлении. Пример женщины-математика, профессора с большой буквы, натолкнул меня на мысль о том, что очень хотелось бы применить свои знания в области технических наук для своей Родины. Сейчас в мире ситуация нестабильная и хорошие военные инженеры всегда нужны в любое время, чтобы защищать нашу страну от различных угрожающих внешних факторов. Я хочу поступить в КГТА имени Дегтярева на специальность «инженер стрелково-пушечного и артиллерийского вооружения», где детально можно изучать устройство и полет различных ракет, где, конечно же, применяются гироскопы. Хотелось бы глубже узнать применение различных технических устройств и продолжить важное дело, начатое когда-то Софьей Васильевной Ковалевской. Может быть, моя исследовательская работа поможет в выборе будущей профессии другим выпускникам, а кому-то окажет помощь в дальнейших научных исследованиях.

Следуя примеру Софьи Васильевны, в дальнейшей научной работе придержусь правила: « Буду говорить, что знаю, делать, что должна,

да будет, что будет».