Путешествие в Зазеркалье

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Устанская сош» Уренского муниципального района

Нижегородской области

Наука и техника

(математика)

Путешествие в Зазеркалье

                                                                  Автор:

                                                                  Волошина Сабина, 12 лет

       Руководитель:

                                    Смирнова Татьяна Ивановна

                                 учитель математики  первой

                                     квалификационной категории

2015г.

п.Уста

Содержание

.

Введение

                                                                                         «Симметрия… является той

                                                                               идеей, посредством которой                              

                                                                               человек на протяжении

                                                                               веков пытался постичь и                                          

                                                                               создать порядок, красоту

                                                                               и совершенство».

        Г. Вейль

Все вы наверно читали сказку Льюиса Кэррола «Алиса в Зазеркалье» или смотрели мультфильм. В ней Алиса попадает по ту сторону волшебной зеркальной грани. Там её ожидают разнообразные чудеса и превращения. Стоя перед зеркалом, мы видим в нём внешне двусторонне симметричную «фигуру».

Симметричные объекты, не меняются при отражении в зеркале, именно поэтому они могут быть наложены на свои зеркальные двойники. Среди людей есть левши и есть правши. В геологии, различают правые и левые кристаллы минералов, в химии – два вещества, состоящие из одних и тех же атомов, способы соединения которых образуют зеркальную пару, а физики считают, что частица и античастица представляют собой две зеркальные формы одного и того же образования.
А как зеркальное отражение применяется в математике?                       

            В данной работе я рассмотрела  основные виды симметрии, исследовала многообразные проявления симметрии в окружающем мире; применение симметрии в решении задач. Полученные результаты представила в виде презентации для последующего использования на уроках математики.

Область исследования – математика.

Объект исследования – симметрия.

Предмет исследования – проявление симметрии в окружающем мире, применение симметрии в решении задач.

Гипотеза: если бы все окружающее обладало симметрией - мир был бы совершенным.

Цель  работы: исследовать проявление симметрии в окружающем нас мире, применение симметрии при решении задач.

Задачи: 

- изучить литературу,  интернет-ресурсы, содержащие информацию о симметрии;

- изучить основные виды симметрии;

- рассмотреть проявление симметрии в окружающем мире;

- изучить практическое применение симметрии при решении задач.

1. Понятие симметрии

Симметрия во все времена интересовала людей, причём не только математиков. Например, Л. Н. Толстой говорил: «Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?”. Действительно симметричность приятна глазу. Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными. Или творениями человека: зданиями, техникой, – всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии. Что же это симметрия?

Даль: Симметрия - соразмер, соразмерность, равно (или разно) подобие, равномерие, равнообразие, соответствие, сходность; одинаковость, либо соразмерное подобие расположения частей целого.

Брокгауз: Симметрия - это такое расположение частей предмета или организма, при котором по обе стороны срединной линии все части представляют полное и точное повторение.

Википедия: Симметрия - соответствие, неизменность (инвариантность), проявляемые при каких - либо изменениях, преобразованиях (например: положения, энергии, информации, другого).

Математически строгое понятие симметрии сформировалось недавно – в 19 веке немецким математиком Германом Вейлем. По Г. Вейлю симметрия - это идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство.

Всякий раз, когда мы, говорим о гармонии, красоте, эмоциональности воздействия, мы тем самым касаемся симметрии.

2. Виды симметрий.

Центральная симметрия.

Любая геометрическая фигура состоит из множества точек плоскости. Используя принцип построения точки, симметричной данной, мы можем для любой фигуры найти ей симметричную относительно центра симметрии.

Осевая симметрия.

В геометрии существуют фигуры, обладающие центральной и осевой симметрией. 

Зеркальная симметрия.

Зеркальная симметрия- симметрия относительно плоскости.

Приведу примеры в виде картинок.

Шахматная доска имеет центральную, осевую и зеркальную симметрии. Если отрезать мысленно одну горизонталь доски  и повернуть  её на 180 градусов, а потом приложить к месту среза – ты получишь в точности вторую  горизонталь. Это и есть зеркальная симметрия. Так вот, поля шахматной доски обладают зеркальной симметрией относительно горизонтальной и вертикальной осей.

3. Симметрия вокруг нас.

В любой стране есть дома. Оказывается,  они тоже симметричны. Симметрия  всегда присутствует в строительстве. Ведь так проще рассчитать нагрузку на фундамент и сделать постройку прочной. В строительстве, в основном,  наблюдается  осевая  симметрия.

В природе очень многие вещи симметричны. Например, лист клевера и лист дуба различны по форме, но их объединяет что-то общее. Эти листья имеют осевую симметрию.

Мы все любовались отражениямм в воде. Но мы никогда не задумывались, что все это тоже симметрично.

Симметрия присутствует и в мире животных. Бабочка имеет осевую симметрию, также как и пчела, комар и другие насекомые. У морских жителей тоже можно встретить симметричных. Например, морская звезда имеет целых 5 осей симметрии! А знаете почему? Оказывается те живые существа, которые могут свободно перемещаться, имеют не более одной оси симметрии. Ведь они могут быстро среагировать на грозящую им неприятность и увернуться от неё, быстро изменив своё положение и местонахождение. Например, бабочка.

Живые существа, которые не могут быстро перемещаться  имеют большое число осей симметрии, относительно которых они могут складываться. Например, морская звезда.

Исследования учёных  показывают,  что симметричные особи животных развиваются только в благоприятных условиях.  А все случаи асимметрии обычно связаны с нарушениями развития, которые вызваны  вредными воздействиями и другими стрессовыми обстоятельствами.

Человеческое тело то же обладает зеркальной симметрией относительно вертикальной оси. В зеркале правая и левая руки и другие части тела меняются местами, но видимое нами зеркальное отражение узнаваемо.

Вообще, люди отдают предпочтение симметричным лицам  и фигурам, потому что  симметрия является достоверным сигналом о внутреннем состоянии организма. Даже ген человека имеет ось симметрии.

Среди букв русского алфавита можно выделить те буквы, которые симметричны.

1. симметричные относительно центра - И

2. симметричные относительно горизонтальной оси - В Е З К С Э Ю

3. симметричные относительно вертикальной оси - А Д Л М П Т Ш

4. имеющие все три перечисленные вида симметрии одновременно - Ж Н О Х Ф

5. не симметричные - Б Г Р У Ц Ч Щ Ъ Ы Ь Я Ё Й.

Перейдя от букв к словам, можно отыскать в них те же виды симметрии. Есть слова, у которых ось симметрии проходит, деля слово пополам. Если к написанному слову приставить справа вертикальное зеркало, то отражение симметричного слова будет полностью совпадать с оригиналом. Аналогично, есть слова, которые не изменяются при отражении в горизонтальном зеркале. Это примеры полной зеркальной симметрии слова.

ПОП | ПОП

ШАЛАШ  | ШАЛАШ

СОН     СЕЗОН     ЗЕВ    СЕВ    ВЕС    НОЖ    СОН    НОС

___________________________________________________

СОН    СЕЗОН    ЗЕВ   СЕВ    ВЕС   НОЖ   СОН    НОС

     При вертикальной симметрии возможно получение точной копии, имеющей смысл анаграммы-оборотня данного слова.

АД  | ДА

ЛОМ | МОЛ

МАХ | ХАМ

Если мы посмотрим на слова «ЧАЙ» и «КОФЕ», то увидим, что зеркало не подействовало на слово «КОФЕ», тогда как слово чай изменило до не узнаваемости. Этот «ФОКУС» имеет простое объяснение. Разумеется, зеркало одинаковым образом отражает нижнюю половину обеих слов. Однако от слова «ЧАЙ» слово «КОФЕ» обладает горизонтальной  осью симметрии, именно поэтому оно не искажается при отражении в зеркале.

ЧАЙ   КОФЕ

Встречаются дети, которые пишут левой рукой, и все буквы получаются у них в зеркальном, отраженном, виде. «Зеркальным шрифтом» написаны дневники Леонардо да Винчи. Вероятно, не существует веского основания, заставляющего нас писать буквы именно так, как это делаем мы. Вряд ли зеркальным шрифтом труднее овладеть, чем обычным.

4. Применение симметрии при решении задач.

От учителя и из интернет-ресурсов я узнала, что симметрия применяется при решении геометрических задач, при решении алгебраических задач и уравнений. Я же хочу привести примеры тех задач, которые могу решить сама. Такие задачи называются симметричными стратегиями.

Задача 1.

Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

В этой игре выигрывает первый, независимо от размеров стола! Первым ходом он кладет пятак в центр стола. После этого на каждый ход второго игрока начинающий отвечает симметрично относительно центра стола. При такой стратегии после каждого хода первого игрока позиция симметрична. Поэтому если возможен очередной ход второго игрока, то возможен и симметричный ему ответный ход первого. Следовательно, он побеждает.

Задача 2.

Имеется две кучки камней – по 7 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.

Решение: В этой игре второй игрок побеждает при помощи симметричной стратегии: каждым своим ходом он должен брать столько же камней, сколько предыдущим ходом взял первый игрок, но из другой кучки. Таким образом, у второго игрока всегда есть ход.

Задача 3.

Дана клетчатая доска 10 × 10. За ход разрешается покрыть любые 2 соседние клетки доминошкой (прямоугольником 1 × 2) так, чтобы доминошки не перекрывались. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

Выигрывает второй. Центральная симметрия.

Задача 4.

В каждой клетке доски 11 × 11 стоит шашка. За ход разрешается снять с доски любое количество подряд идущих шашек либо из одного вертикального, либо из одного горизонтального ряда. Выигрывает снявший последнюю шашку.

Решение:

Выигрывает первый. Первым ходом он снимает центральную шашку, а потом играет центрально-симметрично.

Задача 5

Имеются две кучки камней: в одной – 30, в другой – 20. За ход разрешается брать любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.

Решение:

Выигрывает первый. Первым ходом он уравнивает количество камней в кучках, после чего играет как в задаче 2.

Задача 6.

На окружности расставлено 20 точек. За ход разрешается соединить любые две из них отрезком, не пересекающим отрезков, проведенных ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

Выигрывает первый. Первым ходом он проводит хорду, по обе стороны от которой расположено по 9 вершин. После этого, на каждый ход второго он отвечает аналогичным ходом по другую сторону от этой хорды.

Задача 7.

У ромашки а) 12 лепестков; б) 11 лепестков. За ход разрешается оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать хода.

Решение:

В обоих пунктах выигрывает второй игрок. Независимо от хода первого игрока, второй может после своего хода оставить две одинаковые по длине цепочки лепестков. Дальше – симметрия.

Задача 8.

Дан прямоугольный параллелепипед размерами а) 4 × 4 × 4; б) 4 × 4 × 3; в) 4 × 3 × 3, составленный из единичных кубиков. За ход разрешается проткнуть спицей любой ряд, если в нем есть хотя бы один непроткнутый кубик. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

а) и б) – выигрывает второй. Центральная симметрия. в) Выигрывает первый. Первым ходом он протыкает ряд, состоящий из центральных кубиков четырех слоев 3 × 3. Дальше – центральная симметрия.

Задача 9.

Двое по очереди разламывают шоколадку 5 × 10. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из имеющихся кусков вдоль углубления. Выигрывает тот, кто первым отломит дольку 1 × 1.

Решение:

В этой игре проигрывает тот, кто отломит кусок ширины 1. Выигрывает первый игрок. Первым ходом он разламывает шоколадку на два куска 5 × 5. Дальше – симметрия.

Задача 21:

Двое по очереди ставят крестики и нолики в клетки доски 9 × 9. Начинающий ставит крестики, его соперник – нолики. В конце подсчитывается, сколько имеется строчек и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов – это очки, набранные первым игроком. Количество строчек и столбцов, где ноликов больше – очки второго. Тот из игроков, кто наберет больше очков, побеждает.

Решение:

Выигрывает первый. Первым ходом он ставит крестик в центральную клетку. Затем после каждого хода второго игрока первый ставит крестик в центрально-симметричную клетку.

Заключение.

Работая по этой теме я пришла к выводу, что симметрия встречаемся везде – в природе, технике, науке. Симметрия – это не только красота, но и основа для законов природы. Без симметрии наш мир выглядел бы совсем по-другому.

Кроме того, я расширила свой кругозор, получила опыт работы с научной литературой, научилась отбирать нужную информацию, структурировать новые знания. Думаю, что они мне пригодятся при учебе в старших классах.

Результатами своей работы я поделюсь с одноклассниками на уроке математики.

Список литературы

1. Л.С.Атанасян и др. Геометрия, 7-9: учебник для общеобразоват. Учреждений_М.:Просвещение, 2002г.

2. С.А.Генкин, И.В.Итенберг, Д.В.Фомин. Математический кружок. Игры. Симметричные стратегии. АСА, 1994г.

3. http://ppt4web.ru/matematika/simmetrija-vidy-simmetrii0.html

4. http://www.zavuch.ru/methodlib/198/48651/

5. http://festival.1september.ru/articles/624711/

6. http://www.dissercat.com/content/simmetriya-kak-sredstvo-razvitiya-prostran

7. http://www.mathematics-repetition.com/6-klass-mathematics