Исследовательская работа "Колесо и не только"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Устанская сош» Уренского муниципального района

Нижегородской области

Наука и техника

(математика)

Колесо и не только

                                                                  Автор:

                                                                  Самойлов Кирилл, 13 лет

       Руководитель:

                                    Смирнова Татьяна Ивановна

                                 учитель математики  первой

                                     квалификационной категории

2015г.

п.Уста

Содержание

Введение

С древних времен человек использует колесо. При помощи него он передвигался на дальние расстояния, перемещал громоздкие предметы с одного места на другое (например, парусник от места строительства к воде). В геометрии прообразом колеса является окружность – замкнутая кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра).

В Интернет я увидел картинку:

под которой было написано, что одинаково плавно, без скачков книжку можно переместить с места на место  при помощи некруглого «колеса», в основе которого лежит треугольник Рёло.

 В данной работе я изучил  понятие треугольника Рёло, его свойства, исследовал его практическое применение.

Область исследования – математика.

Объект исследования – треугольник Рёло.

Предмет исследования – понятие треугольника Рёло, его свойства, исследовал его практическое применение.

Гипотеза – Изучение треугольника Рёло и его свойств дало толчок развитию научно-технического прогресса.

Цель  работы:

- показать, что наряду со знакомыми круглыми телами существует треугольник Рёло,  который находит   применение в различных сферах жизнедеятельности человека.

Задачи: 

- изучить литературу и интернет источники по данной теме;

-изучить понятие треугольника Рёло и его свойств;

-предствавить изученный материал в виде презентации для последующего использования на уроках математики, на кружках и факультативах.

1. Понятие треугольника Рёло.

Рассмотрим правильный треугольник (с равными сторонами). На каждой стороне построим дугу окружности, радиусом, равным длине стороны. Треуго́льник Рёло́ представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.

Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло. Треугольник Рёло постоянно касается обеих прямых. Действительно, одна точка касания всегда расположена в одном из «углов» треугольника Рёло, а другая — на противоположной дуге окружности. Значит, ширина всегда равна радиусу окружностей, т. е. длине стороны изначального правильного треугольника. В житейском смысле постоянная ширина кривой означает, что если сделать катки с таким профилем, то книжка будет катиться по ним, не шелохнувшись.

Название фигуры происходит от фамилии немецкого механика Франца Рёло (1829 – 1905). Скорее всего, он был первым, кто исследовал свойства этого треугольника и  использовал его в своих механизмах.

2. Свойства треугольника Рёло.

Он обладает свойством кривых постоянной ширины.

Теорема Барбье: Все кривые постоянной ширины h имеют одинаковую длину, равную πh.

Треугольника Рёло симметричен, обладает  осевой симметрией. Он имеет три оси симметрии, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной стороны.

Поскольку треугольник Рёло является фигурой постоянной ширины, он обладает всеми общими свойствами фигур этого класса:

– с каждой из своих опорных (параллельных) прямых треугольник Рёло имеет лишь по одной общей точке;

– расстояние между двумя любыми точками треугольника Рёло не может превышать его ширины;

– отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к треугольнику Рёло, перпендикулярен к этим опорным прямым;

– через любую точку границы треугольника Рёло проходит по крайней мере одна опорная прямая;

– через каждую точку границы треугольника Рёло проходит объемлющая его окружность радиуса , причём опорная прямая, проведённая к треугольнику Рёло через точку , является касательной к этой окружности;

– треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат.

Экстремальные свойства

–Среди всех фигур постоянной ширины у треугольника Рёло наименьшая площадь. Чтобы найти площадь треугольника Рёло, можно сложить площадь внутреннего равностороннего треугольника и площадь трёх оставшихся одинаковых круговых сегментов, опирающихся на угол в 60°.

– Наименьший угол. Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° — это треугольник Рёло.

3. Кривые постоянной ширины.

Бывают ли какие-то ещё кривые постоянной ширины? Оказывается, их бесконечно много.

На любом правильном n-угольнике с нечётным числом вершин можно построить кривую постоянной ширины по той же схеме, что был построен треугольник Рело. Из каждой вершины, как из центра, проводим дугу окружности на противоположной вершине стороне. В Англии монета в 20 пенсов имеет форму кривой постоянной ширины, построенной на семиугольнике.

Все кривые данной постоянной ширины имеют одинаковый периметр. Окружность и треугольник Рёло выделяются из всего набора кривых данной ширины своими экстремальными свойствами. Окружность ограничивает максимальную площадь, а треугольник Рело —  минимальную в классе кривых данной ширины.

4. Практическое применение.

Сверло Уаттса.

В 1914 году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрёл инструмент для сверления квадратных отверстий.

Сверло Уаттса представляет собой треугольник Рёло, в котором прорезаны углубления для отвода стружки и заточены режущие кромки. 

Двигатель Ванкеля.

Треугольник Рело используется и в автомобильных двигателях. Сконструировал этот роторно-поршневой двигатель в 1957 году немецкий инженер Ф. Ванкель, немецкий инженер и изобретатель(1902-1988). Внутри примерно цилиндрической камеры по сложной траектории движется трёхгранный ротор-поршень – треугольник Рело.

 Он вращается так, что три его вершины находятся в постоянном контакте с внутренней стенкой корпуса, образуя три замкнутых объёма, или камеры сгорания. Фактически каждая из трёх боковых поверхностей ротора действует как поршень.

При вращении ротора  внутри корпуса объём трёх боковых создаваемых им рабочих камер постоянно изменяется, действуя как насос. Ротор–поршень установлен свободно на эксцентрике вала и соединён с зубчатым колесом с внутренними зубьями, обкатывающимися вокруг неподвижной шестерни с наружными зубьями, ось которой совпадает с осью эксцентрикового вала. Двигатель Ванкеля имеет множество преимуществ перед обычным ДВС: РПД  значительно компактней и легче, поэтому, при установке его на автомашину, центр тяжести оказывается значительно ниже, а устойчивость автомобиля – выше.

Грейферный механизм в кинопроекторах.   

Также треугольник использовался в грейферном механизме в кинопроекторах. Двигатели дают равномерное вращение оси, а чтобы на экране было четкое изображение, пленку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть и так 18 раз в секунду. Именно эту задачу решает грейферный механизм. Он основан на треугольнике Рело, вписанном в квадрат и двойном параллелограмме, который не дает квадрату наклоняться в стороны.

Действительно, т.к. длины противоположных сторон равны, то среднее звено при всех движениях остается параллельным основанию, а сторона квадрата всегда параллельной среднему звену. Чем ближе ось крепления к вершине треугольника Рело, тем более близкую к квадрату фигуру описывает зубчик грейфера.

Плектр.

Треугольник Рёло — распространённая форма плектра (медиатора): тонкой пластинки, предназначенной для приведения в состояние колебания струн щипковых

музыкальных инструментов.

Применение в архитектуре.

Форма треугольника Рёло используется и в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку, однако целиком он встречается в готических сооружениях довольно редко. Окна в форме треугольника Рёло можно обнаружить в церкви Богоматери в Брюгге, а также в шотландской церкви в Аделаиде.

Треугольник Рёло используют и в архитектуре, не принадлежащей к готическому стилю. Например, Кёльнский треугольник.

Заключение.

Колесо, изобретенное несколько тысяч лет назад, произвело переворот в жизни человека. Постоянство ширины явилось для колеса определяющим свойством, следствием которого явилось техническое завоевание мира. Я рассмотрел это свойство в треугольнике Рёло (самой известной после круга фигуры постоянной ширины). Изучил основные свойства фигур постоянной ширины, рассмотрел области применения фигур постоянной ширины. Убедился, что открытие треугольника Рёло сделало переворот в научно-техническом мире, т.к. отличительные его свойства находят множество применений. Необходимо  более тщательно изучить свойства фигур постоянной ширины и находить им ещё больше применений. 

Список литературы

1. Дорофеев, Г.В., Шарыгин, И.Ф., Суворова, С.Б. Математика. – М.:Просвещение,1987.

2. Коксетер, С.М., Грейтцер, С.Л. Новые встречи с геометрией. – М., Наука, 1978.

3. В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. Выпуклые фигуры. М.—Л.: ГТТИ, 1951.

4 Г. Радемахер, О. Теплиц. Числа и фигуры. М.: Физматгиз, 1962.

5. http://yandex.ru/images

6. http://www.etudes.ru/ru/etudes/koleso/

7. Ролики серии «Математические этюды», посвящённые треугольнику Рёло:

• «Круглый треугольник Рело»
• «Сверление квадратных отверстий»
• «Изобретая колесо»

8. Колёса с углами: изобретаем велосипед. Сайт «Популярная механика»