Творческая работа по теме: Интеграл

Творческая работа по теме:

«Интеграл»

 Выполнила: ученица 11 класса

                                                                                Красильникова Ксения

                                                                          Учитель: Чижова М.В.

                        Историческая справка

   Понятие интеграл непосредственно связано с интегральным исчислением – разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа.

   Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками Древней Греции.

   Кризис и упадок древнего мира привёл к забвению многих научных достижений. О методе исчерпывания вспомнили лишь в XVII веке. Это было связано с именами Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница, Леонарда Эйлера и ряда других выдающихся учёных, положивших основу современного математического анализа.

   Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений, прежде всего связь операций дифференцирования и интегрирования, а также их применения к решению прикладных задач были разработаны в конце XVII века, но основывались на идеях, сформулированных в начале  XVII веке великим математиком и астрономом Иоганом Кеплером.

   Трудно найти другое имя, которое оказало бы столь сильное влияние на историю мировой науки и культуры, как Исаак Ньютон. Его труды  являются основой огромной части точных наук нашего времени. Ньютон первый построил дифференциальное и интегральное исчисления (он назвал его методом флюксий). Это сразу позволило решать самые разнообразные, математические и физические, задачи. Ньютон нашел новый общий метод аналитического представления функции - ввел в математику и начал систематически применять бесконечные ряды. Представление функции с помощью ряда очень удобно.

   Одновременно с Ньютоном к аналогичным идеям пришёл другой выдающийся учёный - Готфрид Вильгельм Лейбниц. Он одновременно с Ньютоном и независимо от него открыл основные принципы дифференциального и интегрального исчислений. Теория приобрела силу после того, как Лейбницем и Ньютоном было доказано, что дифференцирование и интегрирование - взаимно обратные операции.  Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.

   Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:

,

где F`(x)=f(x).

   Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.

.

   Первая трактовка отвечала технике вычисления определенных интегралов при помощи первообразной подынтегральной функции, вторая - потому, что в приложениях определенный интеграл появлялся как предел известного вида суммы (интегральной суммы).

   Определение интеграла, как предела интегральных сумм, принадлежит О.Коши. Символ  ввёл Лейбниц. Термин «интеграл» впервые был предложен И. Бернулли.

 Рассмотрим задачу на вычисление площади криволинейной трапеции, применяя формулу Ньютона-Лейбница.

                                                           Анализирование

  Дано:

  f(x)=

  y=1

  x=0

  x=1

  Найти:

  S фигуры, ограниченной линиями.

  Решение:

1. f '(x)= =0

4x() =0

=0-точка максимума;      = -точки минимума.

2. f '(0)= 5

f '(1)= 4

f '(-1)= 4

3. Дополнительные точки:

Построение и вычисление

площади фигуры

1.Построение

2. Вычисление площади фигуры

S =

1.  | = = 4  

2. S кв.= 1

3. S= 4

Ответ: