Геометрия на сфере

Управление образования и молодежной политики

администрации Лысковского муниципального района

МБОУ СОШ №3 г.Лысково

Геометрия

на сфере

выполнили ученицы 10 класса

Лодыгина Наталья,

Шабаркина Анастасия

руководители:

Харчев В.А., учитель математики,

Чехлова О.Ю., зам. директора по УР

г.Лысково

2012

«Многие идеи как бы имеют свою эпоху, во время которой они открываются одновременно в различных местах подобно тому, как фиалки произрастают всюду, где светит солнце».

Янош Больяи

Изучая историю математики, можно нередко наблюдать, как новые идеи, влекущие за собой резкий сдвиг в дальнейшем развитии науки, возникают одновременно и независимо друг от друга в разных странах, в умах разных ученых. Этот факт лишний раз подтверждает, что научные идеи не рождаются оторванными от жизни, что, наоборот, требования самой жизни, часто одинаковые в разных странах, диктуют необходимость дальнейшего развития науки и подготавливают почву для возникновения этих новых идей.

Обратим внимание на то, что геометрия Лобачевского, которую он назвал "воображаемой", в полном смысле земная, реальная. Именно мир геометрии Евклида идеален, требует предельно точных прямоугольных координат, не характерных для объектов природы. Реальное искривление координат на земной поверхности вынуждены учитывать, например, создатели глобусов и мелкомасштабных карт, отражающих обширные территории.

Так в чем же суть научного открытия Лобачевского? "Сооткрыватель" специальной теории относительности французский математик Анри Пуанкаре утверждал: "Геометрия — это учение о свойствах, которые имели бы инструменты, если бы они были совершенными". Такое идеальное учение было создано Евклидом. Его геометрию оставалось только заучивать и учитывать. Теория окаменела в своем совершенстве. Математики много раз пытались покушаться на нее. Начинали с наиболее слабого звена — теоремы о параллельных линиях, справедливо сомневаясь в ее убедительности. Однако для успеха таких "разрушительных" предприятий требовалось предложить что-то не менее убедительное и совершенное.

Математики много раз пытались покушаться на нее. Начинали с наиболее слабого звена — теоремы о параллельных линиях, справедливо сомневаясь в ее убедительности. Однако для успеха таких "разрушительных" предприятий требовалось предложить что-то не менее убедительное и совершенное. Ректор Харьковского университета Т.Ф. Осиповский в начале XIX века высказал мысль о геометрии без постулата Евклида о параллельных. К тому времени Гаусс, по его позднейшему признанию, уже осмыслил эту идею, хотя выступать с ней публично не решился, остерегаясь общественного мнения. Венгерский математик Янош Больяи создал неевклидову геометрию (хотя и чуть позже Лобачевского).

А первый — 1826 года — доклад Лобачевского о новой теории, произнесенный в Казани и там же незамедлительно напечатанный, назывался "Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных". Лобачевский вернул геометрии ее первозданный смысл: обратился к системам реальных измерений, которые, даже выполненные с безупречной точностью, далеко не всегда подтверждаются аксиомами и теоремами Евклида. Например, для достаточно больших треугольников на земной поверхности (акватории) сумма углов будет больше 180°, а четырехугольника — больше 360°. Такова реальность!

Многое в геометрии Лобачевского становится яснее, если ознакомиться с геометрией кривых поверхностей. Чтобы пояснить, в чем тут дело, надо рассмотреть геометрию на шаре. Было время, когда люди думали,   что Земля плоская. Позже, наблюдая за кораблями, уходящими за горизонт,   они пришли к выводу о шарообразности Земли.

Возьмем на поверхности Земли 2 точки - А и В. Эти точки можно соединить различными   линиями, но одна из них будет иметь самую маленькую длину. Мы, знающие, что Земля    шарообразная, можем сказать, что эта линия - дуга большого круга,  соединяющая точки А и В. Назовем эту линию прямой.

Возьмём 3 точки А, В, С и измерим углы треугольника АВС. Если расстояния между точками невелики, и точность измерительных инструментов мала, то мы придем к известному факту: «Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам». Если же расстояния между точками соизмеримы в рамках эксперимента с радиусом кривизны поверхности, то результат будет иным.

Предлагаем убедиться в этом опытным путем. На столе перед вами – модель сферы, на поверхности которой построен треугольник. Предлагаем вам измерить с помощью транспортира углы этого треугольника и найти их сумму. Можно доказать, что у любого треугольника на   поверхности шара сумма углов больше, чем 180, и этот избыток тем больше,   чем больше площадь треугольника (потому-то для маленьких треугольников    сумма углов равна почти 180). Сумма углов меняется от треугольника к треугольнику.

Измерения, проведённые на шаре, можно проводить на любой другой поверхности. На любой поверхности есть линии, соединяющие 2 точки и имеющие меньшую длину, чем все остальные линии, соединяющие эти точки. Такие линии называют геодезическими. Измеряя углы треугольников, образованных геодезическими линиями, можно судить о степени искривлённости    поверхности. На некоторых кривых поверхностях (таких, как шар, эллипсоид), кривизна которых положительна,  эта сумма получается больше 180. У других, например у седла, поверхности с отрицательной кривизной, - меньше 180. Есть такая поверхность (её называют псевдосферой), на которой геодезические линии ведут себя так же, как прямые на плоскости Лобачевского. На этой поверхности выполняются следующие теоремы.

Теорема. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Теорема. Сумма углов треугольника меньше 180 градусов и меняется от треугольника к треугольнику.

Будет ли справедлива геометрия Евклида на поверхности земного шара, если на ней строить большие треугольники или многоугольники, сторонами которых будут дуги больших кругов (геодезические линии)? Нет. Также и факты геометрии Лобачевского не будут нелепыми, если их не связывать с плоскостью и пространством Евклида. Отказ от пятого постулата Евклида и замена его постулатом Лобачевского неминуемо приводит нас к отказу от плоскости и пространства Евклида и замене их «плоскостью» и «пространством» Лобачевского. Приходится удивляться тому, что Лобачевский, не имея перед глазами особой «плоскости» и особого «пространства», мог выяснить свойства фигур, находящихся на этой «плоскости» и в этом «пространстве», показать, что геометрия Евклида есть частный случай новой, более общей геометрии. Почему же Лобачевский остался одиноким в своей борьбе за создание новой геометрии? Почему почти никто из математиков – современников Лобачевского – не поддержал его в этой борьбе? Математическая сторона работ Лобачевского безупречна, и не она вызывала сомнения и даже насмешки ученых. Сомнения и насмешки вызвало другое. Лобачевский не был уверен в том, что мы живем в пространстве Евклида, где пятый постулат действительно является постулатом. Вот такой постановки вопроса и не хотели принять математики – современники Лобачевского. Становятся вполне понятными попытки Лобачевского опытным путем проверить свои предположения, попытки, не давшие определенных результатов. Становится также вполне понятным исключительное значение для принятия геометрии Лобачевского факта построения в пространстве Евклида реальной поверхности, на которой выводы его геометрии были бы справедливыми. В  настоящее время поверхности для теории Лобачевского построить легко, используя компьютер.

Открытие гениального русского ученого Николая Ивановича Лобачевского дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и способствует поныне более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.

Литература

• Г.И. Глейзер. История математики в школе VII - VIII кл. Москва, 1982
• А.А. Колосов. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах. Москва, 1963
• Р.К. Баландин. 100 великих – 100 великих гениев. Москва, 2005
• П.С. Александров.  Что такое неэвклидова геометрия. Москва, 2007
• Б.Л. Лаптев. Н. И. Лобачевский и его геометрия. — М.: Просвещение, 1976