Алгебраические методы решения уравнений и неравенствс параметрами (презентация к НОУ)

Слайд 1

Департамент образования и социально-правовой защиты детства Муниципальное образовательное учреждение гимназия № 67 Научное Общество Учащихся Реферат по алгебре на тему: «Алгебраические методы решения уравнений и неравенств с параметрами» Выполнила: Ученица 10 «А» класса МОУ Гимназии №67 Фомина Владислава Викторовна Преподаватель: Краснова Лариса Николаевна Нижний Новгород 2012 год

Слайд 2

Содержание Введение Метод выделения контрольных значений параметра Задачи, связанные с исследованием квадратного трехчлена Метод неопределенных коэффициентов Метод оценок Заключение Литература

Слайд 3

Тезисы Реферат посвящен проблеме изучения методов решения уравнений и неравенств с параметрами. В алгебраических уравнениях и неравенствах я изучила такие методы, как теорема действительности, метод неопределенных коэффициентов, метод множителей. Помимо этого даны подробные планы, с помощью которых можно легко решить любую задачу тем или иным методом. Так же решены примеры не только аналитические, но и графические, что делает более интересным и разнообразным сам процесс решения. Тема имеет большое прикладное значение в различных областях науки.

Слайд 4

Введение Задачи с параметрами представляют собой класс задач в математике, представляющий возможность для осуществления полноценной математической деятельности. Я собрала и систематизировала ряд задач с параметрами. Основная систематизация проведена по методам решений упражнений, моя классификация не единственная.

Слайд 5

При работе я выделила следующие методы решений уравнений и неравенств с параметрами: Метод выделения контрольных значений параметра. Этот метод используется при решении линейных, дробнорациональных уравнений и неравенств, а также уравнений и неравенств, содержащих модуль. Задачи связанные с исследованием квадратного трехчлена. Из формулировки метода ясно, что речь пойдет о решении уравнений и неравенств с параметрами ,в котором присутствует квадратный трехчлен. Метод неопределенных коэффициентов. Этот метод используется при решении уравнений и неравенств степени выше второй. Метод оценок. Как правило, наводит на мысль об использовании этого метода « внешний вид » задачи. Такие задачи не могут быть решены с помощью стандартных приемов.

Слайд 6

Цель данной работы : проклассифицировать уравнения и неравенства с параметрами в зависимости от способов их решения и сформулировать метод решения задач, относящихся к определенному классу. Задачи данной работы: Прорешать ряд уравнений и неравенств с параметрами и выделить метод решения каждого из них; Проклассифицировать в зависимости от метода решения.

Слайд 7

1. Метод выделения контрольных значений параметра. Этот метод используется в основном при решении линейных, дробно-рациональных уравнений и неравенств , содержащих модуль. Суть метода состоит в том, чтобы: 1)Выделить контрольные значения параметра; 2)Найти решение уравнения или неравенства и выяснить, что их нет в каждой контрольной точке параметра и на промежутках между контрольными точками. Контрольные значения находятся: А)Когда в линейных уравнениях и неравенствах перед « х » стоит коэффициент, содержащий параметр; значение находят приравнивая к нулю этот коэффициент; Б) В дробно-рациональных уравнениях и неравенствах рассматриваются случаи, когда знаменатель может обратиться в ноль; получают линейное уравнение с параметром и получают контрольные значения как в пункте А).; В)В уравнениях и неравенствах, содержащих модуль, контрольные значения абсолютной величины, то есть точки, при которых выражение под знаком модуля меняет знак.

Слайд 8

Найти все решения уравнения при любом значении параметра а. Решение. 1.Контрольные значения a²-1=0 , a=±1 – контрольные значения параметра а. 2.а≠±1; 2а²+а-3=0 3.а=1, 0х=0 ,Х-любое. 4.а=-1, 0х=-2 – нет действительных корней Ответ: при а≠±1, х= (2а+3) : (а+1); при а=-1,нет решений при а=1, х-любое

Слайд 9

2. Задачи, связанные с исследованием квадратного трехчлена. Решение довольно значительной части задач с параметрами сводится к решению квадратного трехчлена. Эти задачи можно разделить на две большие группы: 1 .задачи, связанные непосредственно с исследованием квадратного трехчлена; 2.задачи, сводящиеся к задачам на исследование квадратного трехчлена после некоторых предварительных действий: преобразований, замены переменных и так далее .

Слайд 10

Перед решением задач следует рассмотреть теоретические вопросы Пусть дан квадратный трехчлен: F(x) = Обозначим через корни F(x), причем , , - абсцисса вершины параболы F(x). дискриминант квадратного трехчлена. M,N - числа. Решение практически любой задачи с параметром, в который явным образом задан квадратный трехчлен, сводится к определению необходимых и достаточных условий для реализации одной из следующих теорий: при каких условиях корни будут больше (меньше) какого-то числа.

Слайд 11

Теорема 1.

Слайд 12

Теорема 2.

Слайд 13

Теорема 3.

Слайд 14

Теорема 4.

Слайд 15

Теорема 5.

Слайд 16

Теорема 6.

Слайд 17

Теорема 7.

Слайд 18

Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения имеют разные знаки и каждый по модулю меньше 4. Решение Пусть F(x)=x²-2(a-1)x+2a+1; x₁‚x₂ - корни F(x), причем х₁≤х ₂. Коэффициент при х ² положительный ,так как корни х ₁, x₂ по модулю меньше 4, то х ₁€(-4;4), х ₂€(-4;4).Но х ₁, x₂ разных знаков ,значит , x₁€ (-4;0), х ₂€(0;4). Так как -4

Слайд 19

Получаем окончательную систему: Получаем: Ответ: при -0,9

Слайд 20

3. Метод неопределенных коэффициентов. № 1. При каких значениях параметра а корни уравнения составляют геометрическую прогрессию. Решение: Пусть - корни уравнения составляющие геометрическую прогрессию, где q- знаменатель. Тогда Раскроем скобки Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х , получаем систему ; Домножим первое уравнение на . Из первого и второго уравнения получим . Решая третье уравнение, получим: Ответ : при а=7 корни уравнения составляют геометрическую прогрессию .

Слайд 21

Итак, суть метода состоит в том, чтобы разложить на множители многочлен. Затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях полученного уравнения и исходного и решить полученную систему. Этот метод применяется при решении, как правило, уравнений степени выше второй.

Слайд 22

Метод оценок При каких значениях параметра а из интервала ( -π /2 ; π /2), имеет решение уравнение Решение: Оценим множество значений функций, стоящих в левой и правой частях - 2 ≤ cos6x - 1 ≤0 ; Тогда уравнение равносильно системе: Ответ : а = ± π/3

Слайд 23

Метод решения таких задач называется методом исследования множества значений функций. Такие задачи не могут быть решены с помощью стандартных приемов: преобразовании, замены переменной и тому подобных. Как правило, наводит на мысль об использовании этого метода внешний вид задачи.

Слайд 24

Заключение Работа «Алгебраические методы решения уравнений и неравенств с параметрами», научила меня выделять общий метод решения. Полученная классификация позволяет ориентироваться в условиях задачи и правильно выбирать метод в соответствие с видом уравнения или неравенства. Таким образом я выполнила поставленную задачу: проклассифицировав уравнения и неравенства с параметрами в зависимости от способов их решения и сформулировала метод решения задач, относящихся к определенному классу.

Слайд 25

Литература Амелькин В.В., Рабцевич В.А. «Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике», МН: ООО « Асор », 2004 год Гормштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С., «Задачи с параметрами», « Илекса », «Гимназия», Москва-Харьков, 2003 год Галицкий М.Ф., Мошкович М.М., Шварцбург С.И., «Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа», М., «Просвещение», 1997 год Смолин. Задачи с параметрами: четыре способа решения. Математика, 1995 год, №10

Слайд 26

Спасибо за внимание!