Предел функции.

Слайд 1

Слайд 2

Предел функции Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции при x стремящемся к бесконечности Основные теоремы о пределах Вычисление пределов Раскрытие неопределенностей Первый замечательный предел Второй замечательный предел

Слайд 3

Предел функции в точке Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 , кроме, быть может самой точки x 0 . Число А называют пределом функции в точке x 0 (или при ), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ , что для всех х из δ – окрестности точки x 0 справедливо неравенство:

Слайд 4

Предел функции в точке y 0 х х 0 А δ окрестность точки x 0 ε окрестность точки А Геометрический смысл предела: для всех х из δ – окрестности точки x 0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2 ε , ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε .

Слайд 5

Односторонние пределы В определении предела функции Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x 0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов. предполагается, что x стремится к x 0 любым способом: оставаясь меньше, чем x 0 (слева от x 0 ), большим, чем x 0 (справа от x 0 ), или колеблясь около точки x 0 . Число А 1 называют пределом функции слева в точке x 0 , если для любого ε > 0 найдется такое δ >0 , что для всех справедливо неравенство: Предел слева записывают так:

Слайд 6

Односторонние пределы Число А 2 называют пределом функции справа в точке x 0 , если Предел справа записывают так: y 0 х А 1 х 0 А 2 Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами . Очевидно, если существует то существуют и оба односторонних предела, причем А = А 1 = А 2

Слайд 7

Предел функции при x стремящемся к бесконечности Пусть функция y = f(x) определена в промежутке . Число А называют пределом функции при , если Геометрический смысл этого определения таков: существует такое число М , что при х > M или при x < - M точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2 ε , ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε . y 0 х М А

Слайд 8

Основные теоремы о пределах Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов: Формулировка теорем, когда или аналогичны, поэтому будем пользоваться обозначением: . Предел произведения двух функций равен произведению пределов: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Слайд 9

Основные теоремы о пределах Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: Предел показательно – степенной функции:

Слайд 10

Основные теоремы о пределах Если между соответствующими значениями трех функций при этом: тогда: выполняются неравенства: Если функция f(x) монотонна и ограничена при x < x 0 или при x > x 0 , то существует соответственно ее левый предел: или ее правый предел:

Слайд 11

Вычисление пределов Вычисление предела: начинают с подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) . Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу. Если при подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения вида: то предел будет равен:

Слайд 12

Вычисление пределов Часто при подстановке предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения следующих видов: Эти выражения называются неопределенности , а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.

Слайд 13

Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности

Слайд 14

Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности

Слайд 15

Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности

Слайд 16

Первый замечательный предел Функция не определена при x = 0 . Найдем предел этой функции при О А В С М Обозначим: S 1 - площадь треугольника OMA , S 2 - площадь сектора OM А, S 3 - площадь треугольника O СА, Из рисунка видно, что S 1 < S 2 < S 3 x

Слайд 17

Первый замечательный предел О А В С М x

Слайд 18

Первый замечательный предел Следствия: Формула справедлива также при x < 0

Слайд 19

Второй замечательный предел Следствия: