План

Введение.

В настоящее время теорема Пифагора достаточно широко применяется в практических задачах. При сдаче ОГЭ выпускники 9-х классов также сталкиваются с заданиями, базированными на применении геометрических заданий в реальной жизни. Как правило, при решении таких задач необходимо применить теорему Пифагора. Вот почему очень важно уметь решать геометрические задачи практической направленности.

Темой моей исследовательской работы стало: «Практическое применение теоремы Пифагора».

Цель работы: изучить теорему Пифагора и ее применение в реальной жизни.

Для этого необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить историю появления теоремы Пифагора.
2. Привести основные способы доказательства теоремы.
3. Познакомиться с историческим задачами, основанными на тереме Пифагора.
4. Показать возможность применения теоремы Пифагора в реальной жизни

Объектом изучения данной темы является практическая направленность школьного курса математики.

Предмет изучения – применение теоремы к решению задач прикладного характера.

Вид проекта – информационно-исследовательский.

Материалы для подготовки проекты были получены из литературных источников, а также ресурсов интернета.

Основная часть

История изучения теоремы

Очень интересна  биография Пифагора. Сам факт, что Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью").

Пифагор Самосский - великий греческий ученый. Его имя знакомо каждому школьнику. Про жизнь Пифагора известно очень мало, с его именем связано большое число легенд. Пифагор - один из самых известных ученых, но и самая загадочная личность, человек-символ, философ и пророк.

Для нас Пифагор - математик. В древности было иначе. Для своих современников Пифагор прежде всего был религиозным пророком, воплощением  высшей  божественной мудрости.  Одни называли его математиком, философом, другие - шарлатаном. Интересен и тот факт, что Пифагор  первым и четыре раза подряд был олимпийским чемпионом по кулачному бою.

С его именем связано многое в математике и в первую очередь, конечно, теорема, носящая его имя. Это теорема Пифагора. В настоящее время все согласны с тем, что эта теорема не была открыта Пифагором. Она была известна еще до него. Ее частные случаи знали в Китае, Вавилонии, Египте.

Исторический обзор начинается с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3²+4²=5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э. По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 метров  и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 метра от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.

Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями. Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например,   Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к доказательству знаменитой теоремы. Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.

Способы доказательства теоремы

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и11 называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами",были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры. 

Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. Теорема гласит: Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Известно более или менее строгих доказательств около пятисот, но стремление к преумножению их числа сохранилось. На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии. Все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений). Я хочу вас познакомить с некоторыми из них.

Простейшее доказательство

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ΔABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

Метод подобия

           Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие. Приведу в современном изложении одно из таких доказательств, возможно принадлежащих Пифагору.      Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные математики обычно приписывают Евклиду.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения ВС=а, АС=в, АВ=с

получаем     а/с=|НВ|/а,     в/с=|АН|/в

Что эквивалентно  а2=с*|НВ|;   в2=с*|АН|

Сложив, получаем а2+  в2=с*(|НВ|+|АН|)=с2.

Или а2+  в2=с2, что и требовалось доказать

Доказательства методом площадей

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора. 

1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.
2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.

(а+в)2=4*(ав/2)+с2;        

а2+2ав+в2=2ав+с2;  

или а2+  в2=с2, что и требовалось доказать.

Исторические задачи

Задача Бхаскары

На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?

Решение.

Пусть CD – высота ствола.

BD = АВ

По теореме Пифагора имеем

АB²=AC²+BC²,

АB²=9+16=25,

АВ = 5 .

CD = CB + BD,

CD = 3 + 5 =8.

Ответ: 8 футов.

Старинная задача из китайской «Математики в девяти книгах»:

 "Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша? "

Решение.

Длина камыша под водой – Х. Длина камыша наклонённого к берегу Х + 1.

По теореме Пифагора (Х + 1)2 = Х2 +25, тогда Х2 + 2Х +1 = Х2 +25. Получим 2Х = 24, Х = 12

Глубина воды 12 чи, а длина камыша 13 чи.

Задача о бамбуке из древнекитайского трактата «Гоу-гу».

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи). Какова высота бамбука после сгибания?

Решение:

1) Выполним чертеж к задаче и обозначим высоту бамбука после сгибания

ВС= х чи. Тогда ВD=АВ=10-х(чи).

Из треугольника АВС по теореме Пифагора имеем АВ2=АС2+ВС2

(10-х)2 =х2+32 ,

100-20х+ х2= х2 + 9,

-20х=9-100,

-20х=-91,

х=4,55

2) 10-4,55=5,45.

Таким образом, высота бамбука после сгибания равна 5,45 чи.

Ответ: 5,45 чи.

Вавилонская задача

«Палка длиной 1/2, прислонена к стене. Ее верхний конец опустили на 1/10. Как далеко отодвинется ее нижний конец?» 
В задаче по данным: гипотенузе c = 1/2 и одному из катетов b = 1/2 - 1/10 = 2/5 необходимо найти второй катет. Его, как и положено, вавилонянин определяет «по теореме Пифагора»: а=√(с^2+b^2 ) = √(1/4+4/25) = 3/10 . 
Ответ: 3/10 

Прикладные задачи

Задача 1.

Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии от дома оказался мальчик?

Ответ: 1000.

Задача 2.                                                

Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. На каком расстоянии от дома оказалась девочка?

Ответ: 500.

Задача 3.                                                          

Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка 3 км/ч. Какое расстояние (в км) будет между ними через 30 мин?

Ответ: 2,5            

Задача 4.

Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч?

Ответ: 50.

Задача 5.                                            

Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние в метрах между пунктами  A и B, расположенными на разных берегах озера.

Ответ: 500.

Задача 6.                                                

Лестница длиной 12,5 м приставлена к стене так, что расстояние от ее нижнего конца до стены равно 3,5 м. На какой высоте от земли находится верхний конец лестницы?

Ответ: 12.

Задача 7.

На вершинах двух елок сидят две вороны. Высота елок равна 4 м и 6 м. Расстояние между ними равно 10 м. На каком расстоянии BE нужно положить сыр для этих ворон, чтобы они находились в равных условиях, т.е. чтобы расстояния от них до сыра было одинаковым?

Ответ: 6.

Заключение

В результате проведения исследовательской работы я выявила некоторые области применения теоремы Пифагора. Мною было собрано много материала из литературных источников и ресурсов интернета. Я изучила некоторые исторические сведения о Пифагоре и его тереме, решила ряд исторических задач и современных задач, прикладного характера.

Результатом моей работы является:

1. Приобретение навыка работы с литературными источниками и ресурсами интернета
2. Углубление исторических знаний о геометрии как науки
3. Углубление знаний темы, изученной в школе
4. Умение применять теорему Пифагора к решению задач прикладного характера

Было интересно почувствовать себя исследователем, но главное, меня заинтересовал процесс исследования. Работа над проектом помогла мне реально применять полученные на уроках знания, навыки, опт в практической деятельности, в соответствии с моими интересами.

Список литературы:

«Геометрия 7-9 классы» Л.С. Атанасян и др. Учебник для общеобразовательных учреждений – М. : Просвещение, 2010.

«Геометрические задачи с практическим содеражанием» И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. Пособие – М. : МЦНМО, 2010.

«Энциклопедический словарь юного школьника» А.П. Савин. Словарь- М. : Педагогика, 1985

https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Пифагора