Прогрессии

Опубликовано Гапонова Марина Александровна вкл 29.01.2015 - 20:02

Автор:

Зобова Олеся и Гасникова Влада

Исследовательская работа.

Скачать:

Вложение	Размер
arifmeticheskaya_progressiya.docx	597.44 КБ

Предварительный просмотр:

Секция: Математика

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Петрозаводского городского округа

«Средняя общеобразовательная школа № 9 имени И.С. Фрадкова»

(МОУ «Средняя школа №9»)

«Арифметическая и геометрическая прогрессия»

Работу выполнили: Гасникова Влада и Зобова Олеся

МОУ «Средняя школа №9»9 «а» класс, г. Петрозаводск

Руководитель: Гапонова Марина Александровна,

учитель математики МОУ «Средняя школа №9»

Е-mail: marina-tovkun@mail.ru; тел. +7(911)403-80-65

Петрозаводск 2015

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………………3

ГЛАВА I. ………………………………………………………………………………....3

1.1.Историческая справка. ……………………...…………………………………..3

ГЛАВА II.…………………………………………………………………………….…..4

2.1.Что такое арифметическая прогрессия? …….…………………………………4

2.2.Что такое геометрическая прогрессия? ………………………………..…........4

2.3.Применение в жизни арифметической и геометрической прогрессии. …….5

2.4.Геометрическая прогрессия в природе. …………………………………….....6

2.5.Какие задачи могут встретиться в экзамене. ………………………………….7

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………….…….9

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………….…..9

ПРИЛОЖЕНИЯ(№1-№4). .………………………………………………………….…..10

ВВЕДЕНИЕ

На экзаменах есть темы арифметическая и геометрическая прогрессии и нам захотелось узнать, как она появилась, где она используется в жизни.

Задачи:

Узнать что такое арифметическая прогрессия;
Узнать что такое геометрическая прогрессия;
Где они используются в жизни;
Какие задачи могут встретится в экзамене.

Глава I. 1.1.

Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 – 1855), который еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за одну минуту, сообразив, что суммы 1+100, 2+99 и т.д равны, он умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, присущую арифметическим прогрессиям.

Задача очень непроста:
Как сделать, чтобы быстро
От единицы и до ста
Сложить в уме все числа?
Пять первых связок изучи.
Найдешь к решению ключи!
1+100? 2+99? 3+98?
4+97? 5+96?
Давным-давно один мудрец сказал,
Что прежде надо
Связать начало и конец
У численного ряда.

Легенда о шахматной доске.

Ал-Бируни в книге «Индия» рассказывает древнюю легенду, которая приписывает создание шахмат некоему брамину. За своё изобретение он попросил у раджи незначительную, на первый взгляд, награду: столько пшеничных зёрен, сколько окажется на шахматной доске, если на первую клетку положить одно зерно, на вторую — два зерна, на третью — четыре зерна и т. д.Оказалось, что такого количества зерна нет на всей планете (оно равно 264 − 1 ≈1,845×1019 зёрен, чего достаточно, чтобы заполнить хранилище объёмом 180 км³)[2]. Так это было, или не совсем, сказать сложно, но, так или иначе, родиной шахмат является Индия.
Не позже начала VI века на северо-западе Индии появилась первая известная нам игра, родственная шахматам — чатуранга. В точности правила чатуранги неизвестны, есть несколько реконструированных по разным источникам вариантов, тем не менее, ясно, что игра уже тогда имела вполне узнаваемый «шахматный» вид (квадратная игровая доска 8×8 клеток, 16 фигур и 16 пешек, похожие фигуры). Принципиальных отличий от современных шахмат два: игроков было четверо, а не двое (играли пара на пару), а ходы делались в соответствии с результатами бросания игральных костей. Каждый игрок имел по четыре фигуры (колесница (ладья), конь, слон, король) и по четыре пешки. Конь и король ходили так же, как в шахматах, колесница — в пределах двух полей по вертикали и горизонтали, слон — сначала на одно поле вперёд или по диагонали, позже он стал «прыгать» через одно поле по диагонали, причём, подобно коню, при ходе мог перешагивать через свои и неприятельские фигуры. Ферзя не было вовсе. Для выигрыша в партии нужно было уничтожить всё войско противников. (Приложение 1)

Магический квадрат.

Большой популярностью даже в наши дни пользуются магические квадраты. Это квадраты, в каждую клетку которых вписаны числа так, что суммы чисел вдоль любой горизонтали, любой вертикали и любой диагонали равны.(Приложение 2)

Глава II. 2.1.Что такое арифметическая прогрессия.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, задаваемая двумя параметрами а , d и законом ,a_1=𝑎, 𝑎_𝑛=𝑎_(𝑛−1)+d, n=2,3,…

d — разность данной арифметической прогрессии;

Если 𝑑>0 — арифметическую прогрессию называют возрастающей;
Если 𝑑<0 — арифметическую прогрессию называют убывающей;
В случае, если d=0 — все члены прогрессии равны числу A, а арифметическую прогрессию называют стационарной.

Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле: 𝑎_𝑛=𝑎_1+𝑑(𝑛−1)

Формула разности арифметической прогрессии: d=𝑎_(𝑛+1)−𝑎_𝑛

Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии: 𝑆_𝑛=(2𝑎_1+(𝑛−1)∗𝑑)/2∗n, 𝑆_𝑛=(𝑎_1+𝑎_𝑛)/2∗𝑛

2.2.Что такое геометрическая прогрессия?

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, задаваемая двумя параметрами b, q (q ≠ 0) и законом 𝑏_1=𝑏, 𝑏_𝑛=𝑏_(𝑛−1)∗q, n=2,3,…

Число q называют знаменателем данной геометрической прогрессии.

Если q>0 все члены члены геометрической прогрессии имеют один и тот же знак, совпадающий со знаком числа b.
Если q<0 знаки членов геометрической прогрессии чередуются.
В случае -1 < q < 1 прогрессию называют бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле: 𝑏_𝑛=𝑏_1∗𝑞^(𝑛−1);

Формула знаменателя геометрической прогрессии: q=𝑏_(𝑛−1)/𝑏_𝑛 ;

Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии: 𝑆_𝑛=(𝑏_1∗(1−𝑞^𝑛))/(1−𝑞), 𝑆_𝑛=(𝑏_1−𝑏_𝑛∗𝑞)/(1−𝑞), где, q≠0.

2.3.Применение в жизни арифметической и геометрической прогрессии.

1)При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Решение.

Кладку бревен рассмотрим в виде арифметической прогрессии, где а1= 1, а2= 2, аn= 12

d = 2 – 1 = 1

an = a1+ d · (n - 1)

12 = 1 + n – 1

n = 12

S12=(a1+a12/12)*12

S12=(1+12/2)*12=13*6=78

Ответ: 78 бревен.

(Приложение 3)

2)При свободном падении тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5 с после начала падения.

Дано: (аn) – арифм.прогрессия 𝑎_1=4,9, d = 9,8

Найти: 𝑆_5 -?

Решение:

𝑆_5=(2∗4,9+4∗9,8)/2*5

𝑆_5=122,5 м

Ответ: 122,5 м.

3)Люди сталкивались с геометрической прогрессией в подсчете численности стада, проведенный несколько раз, через равные промежутки времени. Если не происходит никаких чрезвычайных ситуаций, количество новорожденных и умерших животных пропорционально числу всех животных. Значит, если за какой-то период времени количество овец у пастуха увеличилось с 10 голов до 20, то за следующий такой же период оно снова вырастит вдвое и станет равным 40. (Приложение 4)

4) Абрахам де Муавр – английский математик, обнаружил, что продолжительность его сна увеличивается на 15 минут в день. Составив арифметическую прогрессию, он определил дату, когда она достигла бы 24 часов. Это — 27 ноября 1754 года. В этот день он и умер.

Так с помощью арифметической прогрессии можно предугадать какой-либо результат развития природного явления. (Приложение 5)

2.4.Геометрическая прогрессия в природе.

Размножение маков.

Спелая маковая головка полна крошечных зернышек: из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зернышки все до единого прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зернышки в целой головке. Скучное занятие, но результат так интересен, что стоит запастись терпением и довести счет до конца. Оказывается, одна головка мака содержит (круглым числом) 3000 зернышек. Что отсюда следует?То, что будь вокруг нашего макового растения достаточная площадь подходящей земли, каждое упавшее зернышко дало бы росток, и будущим летом на этом месте выросло бы уже 3000 маков. Целое маковое поле от одной головки! Посмотрим же, что будет дальше. Каждое из 3000 растений принесет не менее одной головки (чаще же несколько), содержащей 3000 зерен. Проросши, семена каждой головки дадут 3000 новых растений. Следовательно, на второй год у нас будет уже не менее 3000 × 3000 = 9000000 растений. Легко рассчитать, что на третий год число потомков нашего единственного мака будет уже достигать 9000000 × 3000 = 27000000000. А на четвертый год 27000000000 × 3000 = 81000000000000. На пятом году макам станет тесно на земном шаре, потому что число растений сделается равным 81000000000000 × 3000 = 243000000000000000.Поверхность же всей суши, т. е. всех материков и островов земного шара, составляет только 135 миллионов квадратных километров, - 135000000000000 кв. м. - примерно в 2000 раз менее, чем выросло бы экземпляров мака. Вы видите, что если бы все зернышки мака прорастали, потомство одного растения могло бы уже в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по две тысячи растений на каждом квадратном метре.(Приложение 6)

Размножение одуванчиков.

Одуванчик, приносящий ежегодно около 100 семян. Если бы все они прорастали, мы имели бы: в 1 год 1 растение в 2 года 100 растений в 3 года 10000 растений в 4 года 1000000 растений в 5 года 100000000 растений в 6 года 10000000000 растений в 7 года 1000000000000 растений в 8 года 100000000000000 растений в 9 года 10000000000000000 растений.(В одной головке одуванчика было насчитано даже около 200 семян.) Это в 70 раз больше, чем имеется квадратных метров на всей суше. Следовательно, на 9-м году материки земного шара были бы покрыты одуванчиками, по 70 на каждом квадратном метре. Почему же в действительности не наблюдаем мы такого чудовищно быстрого размножения? Потому, что огромное большинство семян погибает, не давая ростков: они или не попадают на подходящую почву и вовсе не прорастают, или, начав прорастать, заглушаются другими растениями, или же, наконец, просто истребляются животными. Но если бы этого массового уничтожения семян и ростков не было, каждое растение в короткое время покрыло бы сплошь всю нашу планету. (Приложение 7)

2.5.Какие задачи могут встретиться в экзамене.

1.Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: − 3; 1; 5; … Найдите сумму первых шестидесяти её членов.

2.Дана арифметическая прогрессия (𝑎_𝑛), разность которой равна 2,5, 𝑎_1=8,7. Найдите 𝑎_9.

3.Последовательность задана условиями 𝑎_1=3, 𝑎_𝑛 + 1=𝑎_𝑛+4. Найдите 𝑎_10.

4.Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: − 7; − 5; − 3; … Найдите сумму первых пятидесяти её членов.

5.Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 20; 17; 14; … Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 91-м месте?

6.Дана арифметическая прогрессия (𝑎_𝑛), разность которой равна − 7,9, 𝑎_1=1,7. Найдите 𝑎_8.

7.Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: − 6; − 2; 2; … Найдите сумму первых пятидесяти её членов.

8.Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: − 1; 2; 5; … Найдите сумму первых пятидесяти пяти её членов.

9.Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 4; 7; 10; … Найдите сумму первых шестидесяти пяти её членов.

10.Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна − 5,3, a1=− 7,7. Найдите a7.

11.В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.

12.Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 17; 68; 272; ... Найдите её четвёртый член.

13.Геометрическая прогрессия задана условием 𝑏_𝑛=64,5⋅(− 2)n. Найдите 𝑏_6.

14.Геометрическая прогрессия (𝑏_𝑛) задана условиями: 𝑏_1=64, 𝑏_𝑛 + 1=12𝑏_𝑛. Найдите 𝑏_7.

15.Дана геометрическая прогрессия (𝑏_𝑛), знаменатель которой равен 2, 𝑏_1=16. Найдите 𝑏_4.

16.В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 48, а сумма второго и третьего членов равна 144. Найдите первые три члена этой прогрессии.

17.Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 18; − 54; 162; ... Найдите её пятый член.

18.Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 100; 20; 4; ... Найдите её пятый член.

19.Геометрическая прогрессия задана условием 𝑏_𝑛=44⋅3_𝑛. Найдите 𝑏_4.

20.Дана геометрическая прогрессия (𝑏_𝑛), для которой 𝑏_5=− 14, 𝑏_8=12. Найдите знаменатель прогрессии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нам понравилось работать над этой темой. Узнали что такое арифметическая и геометрическая прогрессии; где они встречаются в жизни. Какие задачи могут встречаться в экзамене.

Ресурсы интернет:

http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/a-progressiya.html

http://www.pm298.ru/algeb4.php

http://www.athens.kiev.ua/shahmatnaja-doska-i-geometricheskaja-progressija/

http://festival.1september.ru/articles/617211/

https://ru.wikipedia.org/wiki/%C0%F0%E8%F4%EC%E5%F2%E8%F7%E5%F1%EA%E0%FF_%EF%F0%EE%E3%F0%E5%F1%F1%E8%FF

https://ru.wikipedia.org/wiki/%C3%E5%EE%EC%E5%F2%F0%E8%F7%E5%F1%EA%E0%FF_%EF%F0%EE%E3%F0%E5%F1%F1%E8%FF

Приложение.