Прогрессии

Слайд 1

Слайд 2

Почему мы выбрали эту тему? На экзаменах есть темы арифметическая и геометрическая прогрессии и нам захотелось узнать как она появилась, где она используется в жизни.

Слайд 3

Задачи: узнать что такое арифметическая прогрессия; узнать что такое геометрическая прогрессия; где они используются в жизни; какие задачи могут встретится в экзамене.

Слайд 4

Что такое арифметическая прогрессия?

Слайд 6

Что такое геометрическая прогрессия?

Слайд 7

Формулы

Слайд 8

Легенда Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 – 1855), который еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за одну минуту, сообразив, что суммы 1+100, 2+99 и т.д равны, он умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, присущую арифметическим прогрессиям.

Слайд 9

Задача очень непроста: Как сделать, чтобы быстро От единицы и до ста Сложить в уме все числа? Пять первых связок изучи. Найдешь к решению ключи! 1+100? 2+99? 3+98? 4+97? 5+96? Давным-давно один мудрец сказал, Что прежде надо Связать начало и конец У численного ряда.

Слайд 10

Магический квадрат Большой популярностью даже в наши дни пользуются магические квадраты. Это квадраты, в каждую клетку которых вписаны числа так, что суммы чисел вдоль любой горизонтали, любой вертикали и любой диагонали равны.

Слайд 11

Легенда о шахматной доске. Ал-Бируни в книге «Индия» рассказывает древнюю легенду, которая приписывает создание шахмат некоему брамину. За своё изобретение он попросил у раджи незначительную, на первый взгляд, награду: столько пшеничных зёрен, сколько окажется на шахматной доске, если на первую клетку положить одно зерно, на вторую — два зерна, на третью — четыре зерна и т. д.

Слайд 12

Оказалось, что такого количества зерна нет на всей планете (оно равно 64 ² − 1 ≈1,845×1019 зёрен, чего достаточно, чтобы заполнить хранилище объёмом 180 км³). Так это было, или не совсем, сказать сложно, но, так или иначе, родиной шахмат является Индия.

Слайд 13

Не позже начала VI века на северо-западе Индии появилась первая известная нам игра, родственная шахматам — чатуранга. В точности правила чатуранги неизвестны, есть несколько реконструированных по разным источникам вариантов, тем не менее, ясно, что игра уже тогда имела вполне узнаваемый «шахматный» вид (квадратная игровая доска 8×8 клеток, 16 фигур и 16 пешек, похожие фигуры).

Слайд 14

Принципиальных отличий от современных шахмат два: игроков было четверо, а не двое (играли пара на пару), а ходы делались в соответствии с результатами бросания игральных костей. Каждый игрок имел по четыре фигуры (колесница (ладья), конь, слон, король) и по четыре пешки. Конь и король ходили так же, как в шахматах, колесница — в пределах двух полей по вертикали и горизонтали, слон — сначала на одно поле вперёд или по диагонали, позже он стал «прыгать» через одно поле по диагонали, причём, подобно коню, при ходе мог перешагивать через свои и неприятельские фигуры. Ферзя не было вовсе. Для выигрыша в партии нужно было уничтожить всё войско противников.

Слайд 15

Геометрическая прогрессия в размножении маков. Спелая маковая головка полна крошечных зернышек: из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зернышки все до единого прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зернышки в целой головке. Скучное занятие, но результат так интересен, что стоит запастись терпением и довести счет до конца. Оказывается, одна головка мака содержит (круглым числом) 3000 зернышек. Что отсюда следует?

Слайд 16

То, что будь вокруг нашего макового растения достаточная площадь подходящей земли, каждое упавшее зернышко дало бы росток, и будущим летом на этом месте выросло бы уже 3000 маков. Целое маковое поле от одной головки! Посмотрим же, что будет дальше. Каждое из 3000 растений принесет не менее одной головки (чаще же несколько), содержащей 3000 зерен. Проросши, семена каждой головки дадут 3000 новых растений .

Слайд 17

С ледовательно , на второй год у нас будет уже не менее 3000 × 3000 = 9000000 растений. Легко рассчитать, что на третий год число потомков нашего единственного мака будет уже достигать 9000000 × 3000 = 27000000000. А на четвертый год 27000000000 × 3000 = 81000000000000. На пятом году макам станет тесно на земном шаре, потому что число растений сделается равным 81000000000000 × 3000 = 243000000000000000.

Слайд 18

Поверхность же всей суши, т. е. всех материков и островов земного шара, составляет только 135 миллионов квадратных километров, - 135000000000000 кв. м. - примерно в 2000 раз менее, чем выросло бы экземпляров мака. Вы видите, что если бы все зернышки мака прорастали, потомство одного растения могло бы уже в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по две тысячи растений на каждом квадратном метре.

Слайд 19

Одуванчики Одуванчик, приносящий ежегодно около 100 семян. Если бы все они прорастали, мы имели бы: в 1 год 1 растение в 2 года 100 растений в 3 года 10000 растений в 4 года 1000000 растений в 5 года 100000000 растений в 6 года 10000000000 растений в 7 года 1000000000000 растений в 8 года 100000000000000 растений в 9 года 10000000000000000 растений.(В одной головке одуванчика было насчитано даже около 200 семян.) Это в 70 раз больше, чем имеется квадратных метров на всей суше.

Слайд 20

Следовательно , на 9-м году материки земного шара были бы покрыты одуванчиками, по 70 на каждом квадратном метре. Почему же в действительности не наблюдаем мы такого чудовищно быстрого размножения? Потому, что огромное большинство семян погибает, не давая ростков: они или не попадают на подходящую почву и вовсе не прорастают, или, начав прорастать, заглушаются другими растениями, или же, наконец, просто истребляются животными. Но если бы этого массового уничтожения семян и ростков не было, каждое растение в короткое время покрыло бы сплошь всю нашу планету

Слайд 21

Применение в жизни

Слайд 22

Пример 1 При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен? Решение. Кладку бревен рассмотрим в виде арифметической прогрессии, где а 1 = 1, а 2 = 2, а n = 12 d = 2 – 1 = 1 a n = a 1 + d · (n - 1) 12 = 1 + n – 1 n = 12 S12=(a1+a12/12)*12 S12=(1+12/2)*12=13*6=78 Ответ: 78 бревен.

Слайд 23

Пример 2

Слайд 24

Люди сталкивались с геометрической прогрессией в подсчете численности стада, проведенный несколько раз, через равные промежутки времени. Если не происходит никаких чрезвычайных ситуаций, количество новорожденных и умерших животных пропорционально числу всех животных. Значит, если за какой-то период времени количество овец у пастуха увеличилось с 10 голов до 20, то за следующий такой же период оно снова вырастит вдвое и станет равным 40. Пример 3

Слайд 25

Задачи из банка заданий к экзамену(сайта ФИПИ)

Слайд 29

Вывод Мы познакомились с арифметической и геометрической прогрессиями, узнали в каких областях они применяется. Нам понравилось работать с этой темой.