Проект "Использование вычислительного метода для решения задач С2"
В работе рассмотрено использование вычислительного метода при решении задач С 2. С помощью чертежей многогранников, на которых показаны теоремы стереометрии от "простого" к "сложному" рассмотривается решение задач такого вида. Модели или чертежи многогранников, обладающие конкретностью и содержательностью, являются инструментом для развития пространственного воображения школьников и успешного изучения стереометрии. Данная работа будет полезна при отработке умения решения стереометрических задач ЕГЭ.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 ispolzovanie_vychislitelnogo_metoda_dlya_resheniya_zadach_s2.pptx | 1.91 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание Введение Оценивание Основные причины неправильного решения задач типа С 2 Теоретическая и практическая часть Основные теоремы, применяемые для решения задач типа С 2 Примеры решения задач по теоремам Заключение
Задание С2 Единого государственного экзамена вот уже два года представляло стереометрическую задачу на определение расстояний или углов в пространстве между объектами, связанными с некоторым многогранником. Решение задания С2 оценивается 2 баллами. Один бал начисляется за правильное построение или описание искомого угла или расстояния. Еще один бал начислялся за правильно проведенные вычисления и верный ответ. По итогам ЕГЭ-2010 только около 4% представленных решений были оценены в два балла. Основные проблемы: неумение строить линейные углы и проекции, ошибки в определении вида треугольника, вычислительные ошибки. Многие выпускники демонстрировали непонимание нахождения угла между прямой и плоскостью. При решении заданий выпускники показали недостаточное представление о расположении перпендикуляра при нахождении расстояния от точки до прямой. Введение
Введение Все отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают большие трудности при решении стереометрических задач. В отличие от планиметрии в стереометрии они не могут опереться на наглядность. Выходом из этого положения является использование чертежей многогранников, на которых можно показать все теоремы стереометрии. Модели или чертежи многогранников, обладающие конкретностью и содержательностью, являются инструментом для развития пространственного воображения школьников и успешного изучения стереометрии. По принципу «от простого — к сложному» следует рассматривать решения задач, придерживаясь такой последовательности многогранников: куб, правильная призма (треугольная, четырехугольная, шестиугольная), прямая призма, правильный тетраэдр, правильная пирамида (треугольная, четырехугольная, шестиугольная).
Введение При решении задач на расстояния и углы в стереометрии обычно используют поэтапно вычислительный или координатно-векторный методы. В данной лекции основное внимание уделено использованию поэтапно вычислительного метода. Этот метод решения задач является традиционным, опирается на определения расстояния или угла и требует от учащихся развитого пространственного воображения. Каждая задача, рассмотренная в лекциях, может быть решена не единственным способом, поэтому учениками и учителями могут быть найдены более рациональные решения этих задач.
Основная часть: Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на данную прямую. Использование определения Расстояние от точки M до прямой AB , обозначаемое ρ (M; AB), вычисляют как длину высоты, опущенной из точки M на основание AB (или его продолжение) треугольника ABM . Систему подготовительных задач можно связать с единичным кубом A…D1. Построить перпендикуляр (дать этому обоснование), опущенный из точки A на прямую: а) DC ; б) DD ₁ ; в) DC ₁ ; г) D ₁ C ₁ ; д ) CC ₁ ; е) A ₁ B ; ж) BC ₁ ; з ) B ₁ C . 2. Найти расстояние от точки A до прямой: a ) B ₁ D ₁ ; б) A ₁ C ; в) BD ₁ .
Пример 1 . В единичном кубе A…D₁ на диагоналях граней AD₁ и D₁В₁ взяты точки E и F так, что D₁E=⅓AD₁ , D₁F=⅔D₁B₁ . Найти: расстояние от точки D₁ до прямой EF . Основная часть: Расстояние от точки до прямой
Дано: D₁E=⅓AD₁ , D₁F=⅔D₁B₁ Решение. Длину отрезка EF найдем по теореме косинусов из треугольника D ₁ EF (рис. 5.1), в котором (треугольник AB₁D₁ — равносторонний). Имеем: Пусть h — длина высоты треугольника D₁EF , опущенной из точки D₁ . Найдем h , используя метод площадей для треугольника D₁EF : h
h Отсюда находим расстояние: Замечание. Можно заметить, что выполняется равенство FE² + D₁E² = D₁F², то есть угол D₁EF прямой, и длина отрезка D₁E является искомым расстоянием.
Метод параллельных прямых Данный метод связан с утверждением о том, что расстояние от точки M до прямой a равно расстоянию до прямой a от произвольной точки P прямой b , проходящей через точку M и параллельной прямой a . Метод удобен, если искомый перпендикуляр выходит за пределы многогранника. В этом случае его можно заменить перпендикуляром, расположенным внутри многогранника, либо перпендикуляром, длина которого известна.
Пример 2. В правильной шестиугольной призме A...F₁ , ребра которой равны 1, найти расстояние от точки A до прямой BC₁ . Решение. В квадрате BCC₁B₁ диагональ BC₁ равна (рис. 5.2). Пусть O и O₁ — центры нижнего и верхнего оснований соответственно. Так как и AB = O₁C₁ , то ABC₁O₁ — параллелограмм. Отсюда , поэтому расстояние ρ (A; BC₁) = ρ (O₁; BC₁) . Из прямоугольного треугольника BOO₁ находим BO =
В треугольнике BO₁C₁ , используя теорему косинусов, получаем: Находим а из треугольника O₁C₁H находим высоту:
Задачи для самостоятельного решения Высота правильной треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁ равна 1, а сторона основания равна 2 . Найдите расстояние от точки A ₁ до прямой BC ₁ . В правильной шестиугольной призме A...F₁ , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой: а) DЕ; б) D₁E₁; в) B₁C₁; г) BE₁; д ) BC₁; е) CE₁; ж) CF₁; з ) CB₁. Ответ:
Задачи для самостоятельного решения 4. В тетраэдре ABCD все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки A до прямой, проходящей через точку B и середину ребра CD . 5. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны оснований равны 1, а боковые ребра равны 2. Найдите расстояние от точки C до прямой SA . Ответ:
Расстояние от точки до плоскости Использование определения . При геометрическом решении задач, опирающемся на определение расстояния от точки до плоскости, учащимся необходимо повторить теоремы, связанные с перпендикулярностью прямых и плоскостей. Кроме того, следует вспомнить свойства правильного шестиугольника, которые будут использованы в задачах с правильными шестиугольными призмами и пирамидами. Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.
Пример 3. В правильной шестиугольной призме A...F₁ , ребра которой равны 1, найти расстояние от точки A до плоскости A₁B₁C . Решение. Прямая FC перпендикулярна AE и AA₁ (объясните), поэтому перпендикулярна плоскости A₁AE (рис. 5.3). Пусть Плоскость A₁AE перпендикулярна плоскости A₁B₁C , содержащей прямую FC , и пересекает ее по прямой A₁G .
Пусть AH — высота в треугольнике AA₁G , то есть прямая AH перпендикулярна прямой A₁G , значит, AH A₁B₁C . Найдем высоту AH . Так как в прямоугольном треугольнике ADE
Метод параллельных прямых и плоскостей Данный метод опирается на следующие два утверждения. Расстояние от точки M до плоскости α: равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки P на прямой l , которая проходит через точку M и параллельна плоскости α ; равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки P на плоскости β , которая проходит через точку M и параллельна плоскости α .
Пример 4. В единичном кубе A…D₁ найти расстояние от точки C₁ до плоскости AB₁C . Решение. Так как прямая A₁C₁ параллельна AC , то прямая A₁C₁ параллельна плоскости AB₁C (рис. 5.4). Поэтому искомое расстояние h равно расстоянию от произвольной точки прямой A₁C₁ до плоскости AB₁C . Обозначим расстояние от центра O₁ квадрата A₁B₁C₁D₁ до плоскости AB₁C через h . h
Пусть E — основание перпендикуляра, опущенного из точки O₁ на прямую B₁O , где O — центр квадрата ABCD . Покажем, что O₁E AB₁C . Прямая O₁E лежит в плоскости BB₁D₁D , а прямая AC перпендикулярна этой плоскости (объясните). Поэтому O₁E B AC и O₁E — перпендикуляр к плоскости AB₁C , а O₁E = h . Искомое расстояние равно h
Метод объемов Если объем пирамиды ABCM равен V, то расстояние от точки M до плоскости, содержащей треугольник ABC, вычисляют по формуле В общем случае рассматривают равенство объемов одной фигуры, выраженных двумя независимыми способами. Отметим, что при данном методе нет необходимости в проведении перпендикуляра из точки на плоскость и его обоснования.
Пример 5. Ребро куба A…D₁ равно а . Найти расстояние от точки C до плоскости BDC₁ . Решение. Искомое расстояние равно высоте CQ (рис. 5.5), опущенной в пирамиде BCDC ₁ из вершины C на основание BDC ₁ . Объем этой пирамиды равен С другой стороны, так как треугольник BDC₁ равносторонний со стороной то объем пирамиды BCDC₁ равен
Приравнивая объемы: находим:
Метод подобия Пусть прямая MM₁ пересекает плоскость α в точке O , тогда расстояния от точек M и M₁ до плоскости α связаны пропорцией В частности, если r = r ₁ , то ρ = ρ ₁ (рис. 5.6, а и б).
Отсюда легко находить искомое расстояние от точки M до плоскости α по известному другому расстоянию ρ ₁ . В общем случае подобные треугольники могут быть расположены в разных плоскостях, которые перпендикулярны плоскости α .
Пример 6. В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 4, найти расстояние от середины ребра BC до плоскости грани EMD . Решение. В правильном шестиугольнике и Пусть O — центр ABCDEF (рис. 5.7). Тогда MO — высота пирамиды. Из прямоугольного треугольника MOD получаем Из прямоугольного треугольника MDL находим апофему ML :
Высота пирамиды MO перпендикулярна плоскости основания, поэтому MO DE . Апофема ML DE , значит, DE MOL . По признаку перпендикулярности плоскостей MOL DME . Поэтому высота OH треугольника MOL перпендикулярна плоскости DME . Из прямоугольного треугольника MOL, в котором получаем:
Пусть T — середина BC . Опустим из точки T перпендикуляры TK и TQ на прямую DE и плоскость MDE соответственно. Прямоугольные треугольники TKQ и OLH подобны (объясните), поэтому Расстояние от точки T до прямой DE равно поэтому расстояние от точки T до плоскости EMD равно
Задачи для самостоятельного решения 5. В кубе A…D₁ , ребро которого равно 4, точки E и F — середины ребер AB и B₁C₁ соответственно, а точка P лежит на ребре CD и CP = 3 PD . Найдите расстояние от точки A₁ до плоскости треугольника EPF . 6. Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром Найдите расстояние от вершины A до плоскости BDC . 7. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD сторона основания равна 3, высота 2. Найдите расстояние от вершины A до грани PCD . Ответ:
Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра. Использование определения Первый способ нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми состоит в построении их общего перпендикуляра и вычислении его длины. Здесь уместно напомнить учащимся определение и теоремы, связанные с перпендикулярностью прямой и плоскости. Для выработки умений и навыков в решении задач данного типа удобно использовать изображение единичного куба A…D ₁ . Можно использовать систему подготовительных задач, при этом следует обратить внимание на случаи, когда скрещивающиеся прямые перпендикулярны и не перпендикулярны. 1. Указать для прямой AA ₁ скрещивающиеся прямые. 2. Найти общий перпендикуляр и дать этому обоснование для прямых: а) AA ₁ и BC ; б) AA ₁ и BD ; в) AB и DD ₁ ; г) AB и DC ₁ . 3. Найти расстояние от прямой AA ₁ до прямой: а) CD ; б) C ₁ D ₁ ; в) B ₁ C ₁ ; г) DC ₁ ; д ) D ₁ C ; е) BD . В этот перечень простейших задач о нахождении расстояния полезно включать параллельные прямые и пересекающиеся прямые.
Пример 7. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найти расстояние между прямыми BD и SA . Решение. Пусть E — основание перпендикуляра (рис. 5.8), опущенного из точки O на ребро SA . Так как BD AOS (объясните), то BD OE . Таким образом, OE — общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым BD и SA . Найдем его длину как высоту OE прямоугольного треугольника AOS . Так как
Метод параллельных прямой и плоскости В общем случае необязательно строить общий перпендикуляр, но можно применить один из предложенных ниже методов. В свою очередь последнюю задачу можно свести к задаче о расстоянии от точки прямой до плоскости. Воспользуемся утверждением: если одна из двух скрещивающихся прямых лежит в плоскости, а другая — параллельна этой плоскости, то расстояние между данными прямыми равно расстоянию между прямой и плоскостью.
Пример 8. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ , все ребра которой равны 1, найти расстояние между прямыми AA₁ и B₁C . Решение. Прямая B ₁ C лежит в плоскости BCC₁ (рис. 5.9). Так как AA₁ CC₁ , то AA₁ BCC₁ . Для нахождения искомого расстояния достаточно найти расстояние от точки A прямой AA₁ до плоскости BCC₁ . Плоскости ABC и BCC₁ перпендикулярны и пересекаются по прямой BC . В равностороннем треугольнике ABC высота AD BC , поэтому AD BCC₁ . Отсюда следует, что — искомое расстояние.
Метод параллельных плоскостей В основе данного метода лежит утверждение: расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые. В свою очередь последнюю задачу можно свести к задаче о нахождении расстояния от точки до плоскости. Система подготовительных задач, связанная с данным или предыдущим методами, относится к упражнениям 8–11, приведенным в разделе «Задачи для самостоятельного решения» на с. 16, определить параллельные плоскости, содержащие данные прямые; заключить одну прямую в плоскость, которая параллельна второй прямой.
Пример 9. В единичном кубе A…D₁ найти расстояние между прямыми AB₁ и A₁D . Решение. Данные прямые AB₁ и A₁D лежат в плоскостях AB₁C и A₁DC₁ соответственно (рис. 5.10). Так как то плоскости AB₁C и A₁DC₁ параллельны. Расстояние между этими плоскостями равно расстоянию от точки O₁ плоскости A₁DC₁ до плоскости AB₁C . Итак, (см. пример 4).
Метод ортогонального проектирования Приведем алгоритм решения задачи для скрещивающихся прямых l ₁ и l ₂ данным методом. Построить плоскость α , перпендикулярную прямой l ₁, и отметить точку A их пересечения (рис. 5.11). Построить на этой плоскости ортогональную проекцию BC₁ второй прямой l ₂. Вычислить расстояние от точки A до прямой BC₁: ρ ( l ₁; l ₂) = ρ (A; BC₁) = AH , где H — основание перпендикуляра, опущенного из A на BC₁ .
Пример 10. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде A...D₁ со сторонами оснований a и b ( a > b ) и высотой h найти расстояние между диагональю BD₁ и диагональю большего основания AC . Решение. Прямые BD₁ и AC — скрещивающиеся прямые (рис.5.12,а). Точки O и O₁ — точки пересечения диагоналей оснований пирамиды. OO₁ AC и OO₁ BD , как отрезок, соединяющий середины оснований равнобедренных трапеций BB₁D₁D и AA₁C₁C . Так как AC BD ( ABCD — квадрат) и AC OO₁ , то AC BB₁D₁ . Прямая BD₁ лежит в плоскости BB₁D₁ . Пусть OK — перпендикуляр, опущенный из точки O на BD₁ .
Пример 10. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде A...D₁ со сторонами оснований a и b ( a > b ) и высотой h найти расстояние между диагональю BD₁ и диагональю большего основания AC . Тогда OK AC , и OK — общий перпендикуляр прямых BD₁ и AC . Найдем OK из подобия прямоугольных треугольников BD₁N и BOK , имеющих общий острый угол (рис. 5.12,б). В треугольнике BD₁N: D₁N = h ,
Задачи для самостоятельного решения 8. В единичном кубе A…D₁ найдите расстояние между прямыми AB₁ и A₁C₁ . 9. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и A₁C . 10. В правильной шестиугольной призме A...F₁ , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA₁ и BC₁ . 11. Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна высота пирамиды DO = 6. Точки A₁, C₁ — середины ребер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA₁ и AC₁ . Ответ:
Угол между двумя прямыми Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся. Для нахождении угла ϕ между прямыми используют формулу где a и b — длины сторон треугольника АВС , соответственно параллельных этим прямым. В список простейших задач целесообразно включить задачи с заранее известным результатом. 1. Доказать, что непересекающиеся ребра правильной треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны. 2. Доказать, что диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды и не пересекающее ее боковое ребро взаимно перпендикулярны. 3. Доказать, что диагональ правильной четырехугольной призмы и непересекающая ее диагональ основания взаимно перпендикулярны.
Отметим одно полезное замечание. Если все линейные элементы конфигурации зависят от одного параметра, то можно принимать значение этого параметра равным какому-нибудь числу. В частности, в кубе при нахождении угловых величин часто полагают длину его ребра равной единице.
Пример 11. В кубе A…D ₁ найти угол между прямыми A ₁ D и D ₁ E , где E — середина ребра CC . Решение. Пусть ребро куба равно 1, F — середина ребра BB₁ (рис. 5.13). Так как A₁F D₁E , то искомый угол φ — угол при вершине A₁ в треугольнике A₁FD . Найдем стороны треугольника A₁FD . Из треугольника BFD имеем:
Пример 12. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ , все ребра которой равны, найти угол между прямыми AC₁ и B₁C . Решение. Пусть ребро призмы равно 1. Проведем CM AC₁ (рис. 5.14). Тогда Из треугольника MC₁B₁ , в котором MC₁ = AC = B₁C₁ = 1 и по теореме косинусов находим: Далее из треугольника MCB₁ , где используя теорему косинусов, получаем:
Задачи для самостоятельного решения При решении упражнений 12–15 с учащимися необходимо предварительно отработать параллельный перенос одной из прямых до пересечения с другой прямой на готовых чертежах. При этом иногда удобнее перенести первую прямую, иногда — вторую прямую, чтобы пересечение прямых происходило внутри или вне многогранника. 12. В кубе A…D₁ точки E и F — середины ребер A₁B₁ и B₁C₁ соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BF . 13. В правильной шестиугольной призме A...F₁ , все ребра которой равны, найдите косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁ . 14. В тетраэдре ABCD известно, что AC = BD = 14, BC = AD = 13, AB = CD = 15. Найдите угол между прямыми AC и BD . 15. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны, точки E, F — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BF . Ответ:
Угол между прямой и плоскостью Использование определения Угол между прямой и плоскостью можно вычислить, если этот угол удается включить в прямоугольный треугольник в качестве одного из его острых углов. Следующие задачи могут составить систему подготовительных задач в построении угла между прямой и плоскостью. 1. В правильной треугольной призме построить угол наклона диагонали боковой грани к другой боковой грани. 2. В правильной четырехугольной призме построить угол между диагональю основания и боковой гранью. 3. В правильной треугольной пирамиде построить угол наклона высоты пирамиды к боковой грани. 4. В правильной четырехугольной пирамиде построить угол наклона бокового ребра к плоскости диагонального сечения. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
Выделим два случая: прямая и плоскость имеют общую точку на данном многограннике либо вне многогранника. Во втором случае, решая с учащимися на готовых чертежах упражнения 16–19, приведенные в разделе «Задачи для самостоятельного решения», необходимо предварительно отработать параллельный перенос прямой до пересечения с плоскостью либо параллельный перенос плоскости до пересечения с прямой, чтобы общая точка стала «видимой» на данном многограннике.
Пример 13. В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 4, найти синус угла между прямой BC и плоскостью EMD . Решение. Так как AD BC (рис. 5.15), Пусть O — центр основания и ML — апофема боковой грани EMD . Тогда по теореме о трех перпендикулярах OL ED и ED MOL . Значит, MED MOL по признаку перпендикулярности плоскостей. Отсюда следует, что высота OH треугольника MOL перпендикулярна плоскости EMD , и прямая HD — ортогональная проекция прямой AD на плоскость EMD .
Высота OL равностороннего треугольника EOD равна Из прямоугольных треугольников MOD и MLD найдем соответственно затем Из прямоугольного треугольника OHD получаем:
Использование дополнительного угла Угол φ между прямой l и плоскостью α и угол ψ между прямой l и перпендикуляром к плоскости α удовлетворяют соотношению φ + ψ = 90°. Поэтому в некоторых случаях через дополнительный угол ψ легко найти искомый угол φ .
Пример 14. В единичном кубе A…D₁ . Найти угол между прямой CD₁ и плоскостью AB₁D₁ . Решение. Прямая A₁C₁ B₁D₁ (A₁B₁C₁D₁ — квадрат), тогда по теореме о трех перпендикулярах A₁C B₁D₁ (рис. 5.16). Аналогично, A₁C AD₁. Следовательно, прямая A₁C перпендикулярна плоскости AB₁D₁. Так как A₁D₁ D₁C₁C, то A₁D₁ D₁C. Поэтому в прямоугольном треугольнике A₁D₁C D₁CA₁ = ψ есть угол между данной прямой CD ₁ и перпендикуляром A ₁ C к данной плоскости, а D ₁ A ₁ C = φ , как дополнительный угол до 90° для D ₁ CA ₁ , является искомым углом.
Пример 14. В единичном кубе A…D₁ . Найти угол между прямой CD₁ и плоскостью AB₁D₁ .
Использование расстояний Пусть прямая l пересекает плоскость α в точке A , точка M лежит на прямой l (рис. 5.17). Тогда угол φ между прямой l и плоскостью α можно вычислить, используя формулу α α
Пример 15. В кубе A…D ₁ найти угол между прямой A ₁ B ₁ и плоскостью BDC ₁ . Решение. Так как A ₁ B ₁ D ₁ C ₁ , то (рис. 5.18). Точки D ₁ и O ₁ лежат на прямой D ₁ B ₁ , параллельной плоскости BDC ₁ , значит, (см. пример 2). Таким образом, получаем:
Отсюда
Задачи для самостоятельного решения 16. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ , все ребра которой равны, точка D — середина ребра A₁B₁ . Найдите синус угла между прямой AD и плоскостью BCC₁ . 17. В правильной шестиугольной призме A...F₁ , все ребра которой равны, точка G — середина ребра A₁B₁ . Найдите синус угла между прямой AG и плоскостью BCC₁ . 18. (ЕГЭ-2010) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра: Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой AM , где M — точка пересечения медиан грани SBC . 19. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD . Ответ:
Угол между плоскостями Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0; 180°). Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0; 90°]. Построение линейного угла двугранного угла Решение задач этим методом сводится к построению линейного угла с помощью двух перпендикуляров, проведенных в указанных плоскостях к прямой их пересечения, а его величина в дальнейшем находится либо из прямоугольного треугольника, либо из некоторого треугольника с применением теоремы косинусов.
Выделим подготовительные задачи. 1. Построить линейный угол двугранного угла при стороне основания: а) в правильной треугольной пирамиде; б) в правильной четырехугольной пирамиде. 2. Изобразить линейный угол двугранного угла при боковом ребре: а) в правильной треугольной пирамиде; б) в правильной четырехугольной пирамиде.
Пример 16. В правильной шестиугольной пирамиде, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найти косинусы двугранных углов при основании и при боковом ребре. Решение. Рассмотрим пирамиду MABCDEF. Поскольку она правильная, то все ее двугранные углы при основании и равны все углы между любыми ее смежными боковыми гранями. Найдем, например, угол между плоскостью основания и боковой гранью MAF и угол между боковыми гранями FME и DME (рис. 5.19). Прямая AF — ребро двугранного угла MAFE. Пусть MO — высота пирамиды, ML — апофема грани AMF,
Пример 16. В правильной шестиугольной пирамиде, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найти косинусы двугранных углов при основании и при боковом ребре. По теореме о трех перпендикулярах LO AF . Следовательно, MLO — линейный угол двугранного угла MAFE . так как является высотой правильного треугольника AOF со стороной 1. Из прямоугольного треугольника LMO находим: Прямая ME — ребро двугранного угла FMED . В треугольниках FME и DME проведем высоты к стороне ME из точек F и D соответственно. Так как треугольники FME и DME равны, то эти высоты «сойдутся» в одной точке N . Следовательно, угол DNF — линейный угол двугранного угла FMED . Из равенства треугольников FME и DME следует равенство высот FN и DN . Найдем FN .
Площадь треугольника FME тогда высота FN, опущенная на ME, равна Далее рассмотрим равнобедренный треугольник FDN. В нем Косинус угла DNF найдем, используя теорему косинусов для стороны DF: Таким образом, искомые косинусы двугранных углов при основании и при боковом ребре равны − соответственно.
Использование параллельных прямых В некоторых задачах построение линейного угла затруднительно. Поэтому вместо линейного угла можно рассмотреть угол с соответственно параллельными сторонами по отношению к линейному углу.
Пример 17. В кубе A…D₁ с ребром a через точки M на ребре BB₁ и N на DD₁ такие, что параллельно AC проведена секущая плоскость. Определить угол между секущей плоскостью и плоскостью ABC . Решение. Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точки M и N параллельно AC (рис. 5.20). С этой целью рассмотрим диагональную плоскость AA ₁ C ₁ . Соединим точки M и N, тогда Поскольку, согласно условию, секущая плоскость параллельна AC, то прямая ее пересечения с плоскостью AA ₁ C ₁ также будет параллельна AC. Поэтому проведем через точку O отрезок QP (QP AC). Соединив последовательно отрезками точки Q, M, P и N, получим сечение QMPN. Так как секущая плоскость пересекает параллельные грани куба по параллельным прямым, то четырехугольник QMPN является параллелограммом.
В квадрате ABCD диагонали перпендикулярны ( BD АC ), значит, BD QP . Проведем в плоскости BDD₁ прямую KN , параллельную BD . Тогда KN QP . Прямая BD является проекцией наклонной MN на плоскость ABC , поэтому по теореме о трех перпендикулярах MN QP . Прямая MN лежит в плоскости MPNQ , а прямая KN параллельна плоскости ABC . Следовательно, угол KNM равен линейному углу искомого двугранного угла (как углы с соответственно параллельными сторонами).
Использование параллельных плоскостей В некоторых задачах эффективным является подход, при котором вместо угла между пересекающимися плоскостями α и β ищут угол между плоскостями, параллельными рассматриваемым (или между одной из данных плоскостей и плоскостью, параллельной другой из них).
Пример 18. В кубе A…D₁ найти угол между плоскостью грани AA₁B₁B и плоскостью BC₁D . Решение. Так как плоскость AA₁B₁ параллельна плоскости DD₁C₁ , то искомый угол равен углу между плоскостями BC₁D и DD₁C₁ (рис. 5.21). Диагонали грани куба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому EC DC₁ , где точка E — середина отрезка DC₁ . Также BE DC₁ , как высота равностороннего треугольника BC₁D . Следовательно, угол BEC есть линейный угол φ двугранного угла BDC₁C. В треугольнике BEC угол BCE — прямой ( BC DD ₁ C ₁ ). Пусть ребро куба равно 1,
Использование перпендикуляров к плоскостям Пусть прямые lα и lβ лежат в плоскости γ и перпендикулярны плоскостям α и β соответственно (рис. 5.22). Тогда угол между ними равен углу между плоскостями α и β . В общем случае прямые lα и lβ могут быть скрещивающимися.
Пример 19. В кубе A…D₁ найти угол между плоскостями AB₁C и BC₁D . Решение. Диагональ куба A₁C перпендикулярна плоскости BC₁D (рис. 5.23). Аналогично BD₁ AB₁C . Таким образом, задача сводится к нахождению острого угла между диагоналями A₁C и BD₁ прямоугольника BCD₁A₁ . Пусть O — точка пересечения диагоналей и ребро куба равно 1. Тогда В треугольнике OBC применим теорему косинусов: то есть
Применение теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника При применении этого метода угол φ между плоскостями α и β можно вычислить, используя формулу где S — площадь многоугольника, лежащего в одной из плоскостей, S пр — площадь его ортогональной проекции на другую плоскость. Этот метод обычно применяют при вычислении угла между плоскостью сечения и плоскостью какой-либо грани многогранника (часто в качестве такой грани выступает основание пирамиды или призмы).
Пример 20. В кубе A…D₁ найти угол между плоскостью грани AA₁B₁B и плоскостью BC₁D . Решение. Пусть ребро куба равно 1. Ортогональной проекцией треугольника BC ₁ D на плоскость AA ₁ B ₁ является треугольник AB ₁ B , площадь которого равна 0,5 (рис. 5.24). Поскольку (как диагонали граней куба), то Получаем:
Пример 21. В правильной шестиугольной призме A...F₁ , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найти угол между плоскостями BA₁D₁ и AA₁E₁ . Решение. Четырехугольники BA₁D₁C и AA₁E₁E — сечения данной призмы этими плоскостями (рис. 5.25). Так как BA, D₁E₁ и CF перпендикулярны плоскости AA₁E₁ (они перпендикулярны AA₁ и AE ), то трапеция AA₁E₁G , где G — середина отрезка AE , есть ортогональная проекция трапеции BA₁D₁C на плоскость сечения AA₁E₁E . Трапеция BA ₁ D ₁ C — равнобедренная с основаниями A ₁ D ₁ = 2, BC = 1 и боковыми сторонами Ее высота h равна
а площадь равна В прямоугольной трапеции AA₁E₁G основания равны (из прямоугольного треугольника A₁E₁D₁ ), а высота AA₁ = 2. Ее площадь равна Далее находим:
Использование расстояний Пусть даны две плоскости α и β (рис. 5.26), пересекающиеся по прямой l . Если известны расстояния от точки М , лежащей в плоскости β , до плоскости α и до прямой l , то угол между плоскостями α и β можно вычислить, используя формулу: α α β
Пример 22. В кубе A…D₁ найти угол между плоскостями AB₁C и A₁B₁C . Решение. Пусть ребро куба равно 1. Плоскости AB ₁ C и A ₁ B ₁ C пересекаются по прямой B ₁ C (рис. 5.27). Расстояние от точки А, принадлежащей плоскости AB ₁ C, до прямой B ₁ C равно длине высоты равностороннего треугольника AB ₁ C со стороной Расстояние от точки А до плоскости A₁B₁C равно половине диагонали грани куба, то есть Имеем:
Задачи для самостоятельного решения 20. Диагональ A₁C куба A…D₁ служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через середины ребер AB и DD₁ . Найдите величину этого угла. 21. (ЕГЭ-2010) В прямоугольном параллелепипеде A...D₁ известны ребра AB = 8, AD = 6, CC₁ = 5. Найдите угол между плоскостями BDD₁ и AD₁B₁ . 22. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ , все ребра которой равны, найдите угол между плоскостями ACB₁ и A₁C₁B . 23. Основание пирамиды DABC — равнобедренный треугольник ABC , в котором AB = BC = 13, AC = 24. Ребро DB перпендикулярно плоскости основания и равно 20. Найдите тангенс двугранного угла при ребре AC . Ответ:
Спасибо за внимание!
Используемая литература http://www.rza2010.ru/vysota_treugolnika.html http://dist-tutor.info/mod/resource/view.php?id=22487 1. Груденов Я.И., Колегаева Н.А, Макарова З.В., Хлабыстова Л.П. Система элементарных задач по стереометрии // Математика в школе, 1980, № 3. 2. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Математика. ЕГЭ-2011. Типовые Задания С2. Многогранники: виды задач и методы их решения. URL: http://alexlarin.net/ege/2011/C2-2011.pdf 3. Потоскуев Е.В. Рекомендации по изучению стереометрии // Математика, 2008, № 2, 4, 5.
Филимоновская игрушка
Три орешка для Золушки
Самодельный телефон
Разлука
Спасибо тебе, дедушка!