Системы счисления

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

(Реферат по математике)

Выполнили:    Кованцева Татьяна, Феденёва Юлия,

 уч-ся 7 класса Цыгановского филиала МБОУ «ЗСОШ»        

     Руководитель:  Кузьмина Любовь Юрьевна, учитель     математики  Цыгановского филиала МБОУ «ЗСОШ»           

Содержание:

1. Введение

2. Системы записи чисел древним человеком

3. Римская нумерация

4. Различные системы счисления, дошедшие до нас

5. Двоичная система счисления. Перевод из двоичной системы счисления и обратно

6. Сложение и вычитание в двоичной системе счисления

7. Умножение и деление в двоичной системе счисления

8. Другие системы счисления

9. Заключение

10. Литература

1.  Введение

Мы привыкли пользоваться благами цивилизации: компьютером, автомобилем, телефонам, телевизором и прочей техникой, делающей нашу жизнь легче и интересней. Тысячи изобретений потребовались для этого, но самыми важным из них  были первые  –  колесо и число. Без них не было бы всего нашего технического великолепия. У этих двух изобретений  есть общая черта – ни колеса, ни числа нет в природе, и то и другое - плод деятельности человеческого разума.

Считать люди научились ещё в незапамятные времёна. Сначала они различали просто один предмет или много предметов. Прошло очень много времени, прежде чем появилось число два. Наиболее простой (счётной машине) издавна были пальцы рук и ног. Запомнить большие числа трудно, и поэтому к «счетной машинке» рук и ног добавляли механические приспособления. Например, перуанцы использовали  разноцветные шнуры с завязанными на них узелками. Верёвочные счёты использовали в России, а так же во многих странах Европы. До сих пор еще практикуется завязание узелков «на память». Первыми «записями» чисел были зарубки на палке или на дереве. Однако с помощью чёрточек большие числа не запишешь, да и читать их трудно и долго. Около пяти тысяч лет назад у разных народов (в Вавилоне, Египте, Китае) появился новый способ записи чисел – с помощью особых знаков – цифр. В Древнем Египте, как и теперь, счёт вёлся десятками, но запись чисел была очень громоздкой и неудобной.

2.  Система записи  чисел древним человеком

Простейшая  система записи натуральных чисел   требует  лишь  одной цифры, скажем «палочки» I, которая  изображает единицу. Повторяя этот  знак, мы можем записать числа два II, три III  и т.д.;  каждое число п  записывается  просто п «палочками». Таким способом  первобытный человек  мог записать небольшие числа  с  помощью  зарубок  на дереве (или, как индейцы Америки, узелков на веревке). В такой системе счисления очень удобно складывать числа – достаточно просто приписать одно к другому:

                                       III + IIIII = IIIIIIII

                                        3   +   5     =     8

    Столь же легко вычесть из большого числа меньше. Нетрудно и умножить одно число А на другое Б – можно записать А рядов по Б палочек в каждом, а потом при желании выписать их в строку:

                        7

                      IIIIIII

                3    IIIIIII  = IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII                  

                      IIIIIII             3 × 7 = 21

Подобный способ записи очень неэкономичен и для больших чисел неизбежно приведет  к ошибке в счете. Возникает естественная идея упрощения записи: разбить ее на одинаковые группы, заменить специальным знаком; затем из этих знаков можно опять составить группу, придумать для неё новое обозначение и т. д. По-видимому, примерно такую эволюцию прошли на протяжении сотен и тысяч лет способы счета и нумерации у разных народов.

                              3.  Римская нумерация

В России арабские цифры стали применять в   XVII     веке. До этого наши предки использовали римскую нумерацию, в которой определительные знаки обозначали числа при счёте. Со временем эти знаки видоизменились и приняли «современный» вид:

I -1,  V - 5,  X - 10,  L - 50,  C -100,  D -500,  M  - 1000.

Остальные числа записываются с помощью этих символов. В основе римской нумерации  использован принцип сложения: VI = V + I = 6, и принцип вычитания: IX = X – I = 9, т. е. если знак меньшего числа стоит перед большим, то для определения числа надо из большего вычитаем меньшее; если числа стоят в порядке возрастания, то они складываются. С числами римской нумерации очень трудно производить арифметические действия. Сами римляне пользовались при таких операциях специальной счетной доской - абаисом.

 У римской системы есть очевидные недостатки: с числами, записанными в такой  системе, трудно оперировать – складывать их, вычитать, умножать. Чтобы использовать очень большие числа (или дроби), приходится вводить новые цифры или дополнительные знаки, новые правила обращения с ними.

 Поэтому в настоящие время римские цифры можно увидеть  только на циферблатах часов, часто ими пользуются для обозначения веков, нумерации глав в книге.

Пример:  

XXII = 22

X+I+V = 14;

MLDIX = M-L+D-I+X = 1459;

47 = XLVII;

3068 = MMMLXVIII.

4.  Различные системы счисления, дошедшие до нас

     Способы записи чисел называются системами счисления.

    В настоящее время во всем цивилизованном мире принята десятичная система записи чисел, основанная на использовании последовательных степеней числа 10. Столь широкое распространение числа 10 в качестве основания системы счисления объясняется тем, что у нас на руках десять пальцев. «Пальцевое» происхождение десятичной системы подтверждается формой латинских цифр: римская цифра (V) – ладонь с оттопыренным большим пальцем, а римская цифра десять (X) – две скрещённые руки.

Если на Марсе обитают человекообразные существа с двенадцатью пальцами, то можно с уверенностью сказать, что марсианская арифметика использует систему счисления с основанием 12.

   Но не все народы пошли по этому пути, хотя использовали все те же пальцы. Индейцы племени майя в Америке считали пятёрками: одна пятёрка - единица следующего разряда,  пять пятёрок - новый разряд и т.д. Ясно, что пользовались пальцами только одной руки.

    Некоторые племена использовали только четыре пальца одной руки, однако при этом учитывали, что каждый палец состоит из трёх фаланг, т.е. имели в расположении двенадцать объектов счета. Так возникла дюжина, которая много лет назад была широко распространена  и в Европе, и в России, но постепенно уступила своё место десятке.  До сих пор  дюжинами считают столовые приборы, стулья, пуговицы, носовые платки,  куриные яйца  и многое другое, что продаётся поштучно. Чертовой дюжиной считается число тринадцать.

     В Древнем  Вавилоне считали не десятками, а  шестидесятками, т.е. 60 единиц составляют одну единицу следующего разряда. От этой системы осталось измерения времени, углов, дуг: 1 час = 60 минут,

 1 минута = 60 секунд.  

 Еще совсем недавно у некоторых племен  Австралии и Полинезии существовало всего два числа: «урапун» (один) и «окоза» (два).   Чтобы назвать  числа большие двух, островитяне говорили так: «окоза - урапун» (три) «окоза-окоза» (четыре), «окоза-окоза-арапун» (пять) и «окоза – окоза – окоза» (шесть). О числах, начиная с семи, туземцы говорили «много». Таким образом, каждое число можно было выразить, используя толко два знака: окоза и урапун. Такая система счисления послужила началом двоичной системы.

     До недавнего времени двоичную систему считали не больше, чем занятным курьёзом, лишенным  какой бы то ни было практической ценности. Но вот появились вычислительные машинки. Многие их детали работают по принципу «да - нет»: ток либо течёт по проводнику,

 либо не течёт; переключатель находится либо в положении «включено», либо в положении «выключено»; полюс магнита может быть либо северным, либо южным, - ячейка памяти находится только в одном из двух состояний. Это и позволяет конструировать вычислительные машины, способные с огромной быстротой и точностью перерабатывать входные данные, закодированные в двоичной системе.

5.  Двоичная система счисления. Перевод из двоичной системы счисления и обратно

   Двоичной системой счисления пользовались многие первобытные племена, она была известна ещё древнекитайским математикам, но по-настоящему развил и построил двоичную систему великий немецкий математик Лейбниц. Все числа выражались с помощью двух знаков:

 0 и 1.

  Нуль для Лейбница был символом пустоты, единица – символом материи. Он полагал, что нуль и единица в равной степени необходимы создателю, потому что Вселенная, состоящая  из одной только материи, была бы неотличима от пустой, которую символизирует нуль. Рассмотрим двоичную систему счисления подробнее.

Все числа в этой системе счисления записываются с помощью двух знаков: 0 и 1. Число, выражающееся в десятичной системе счисления знаком 2, в двоичной записывается с помощью двух как 10. Таким образом, можно установить следующее соответствие между числами десятичной и двоичной систем:          

010 = 02,  110 = 12,  210 =102,   310 = 112,   410 = 1002,  510 = 1012,   610 =1102,  

710 = 1112

и т.д.        

     Попробуем найти правило, с помощью которого можно легко переводить из десятичной системы  счисления в двоичную и обратно.

 Разложим число десятичной системы счисления на разрядные слагаемые:

     23410 = 200 + 30 + 4 = 2 × 100 + 3 × 10 + 4 = 2 × 102 + 3 ×1 01 + 4  × 10 0

       Аналогично разложим число в двоичной системе счисления на разрядные слагаемые:

110112  =  1 × 24 + 1 × 23 +0 × 22 + 1× 21 + 1 × 2 0

        Чтобы перевести  число из двоичной системы в десятичную, нужно сложить те степени двойки, которые встречаются с единичным коэффициентом, т.е

110112 = 24 + 23 + 21 + 20  = 16 + 8 + 2 + 1 = 2710

 Чтобы десятичное число 27 перевести  в двоичную систему, нужно проделать обратную процедуру.  Поделив 27 на 2, получим 13 и в остатке 1. Этот остаток является  самой правой цифрой двоичного числа. Поделив 13 на 2, получим 6 и в остатке 1. Эта цифра будет находиться на втором месте справа. Затем нужно поделить 6 на 2 – получим 3 и в остатке получим 0, поэтому на третьем месте справа следует написать 0. Самая левая цифра получается так: 2 входит в 1 нуль раз, а остаток равен 1.

       Пример. Перевести число 325 из десятичной системы в двоичную. Записи удобно делать так:

Таким образом, 32510 = 1010001012.

Пример:

1510,  4310,  2810,  3210,  6510,  8110.

Ответ: 1510 = 11112,  4310=1010112,  2810=111002,  3210=1000002,  6510=10000012, 8110=10100012.            

6.  Сложение вычитание в двоичной системе счисления

Выполнение сложение в двоичной системе счисления:

11112 + 1012                                                           +11112

                                                                                               1012

                                                                                          101002 

Имеем 1 + 1 = 2, но в двоичной системе цифры два не существует, по этому мы её не можем записать: два уже есть единица высокого разряда

(в данном случае десятков). Значит, в сумме нет единиц; пишем 0, а единицу следующего разряда удерживаем в уме.

   Выполняем сложения десятков: 1 + 0 = 1, да еще один десяток, удерживаемый в уме всего 2. В десятке пишем 0 и одну единицу следующего разряда удерживаем в уме. Складываем сотни:  1 + 1 = 2,  да еще одна сотню удерживаем в уме, - всего 3 единицы третьего разряда; 3 мы записать не можем, поэтому записываем 1 сотню, а две сотни двоичной системы составляют одну тысячу, одну тысячу удерживаем в уме. Одна тысяча да еще одна, удерживаемая в уме, -  ноль пишем, а одна единица высшего разряда записывается в десятки тысяч.  Сложение закончено.

Проверим сложение вычитанием:    -101002

                                                                                                     11112                                                                              

                                                                  1012

Пример:

110012 + 10002  =  ?

101102 + 11112  = ?

100112 + 10012 = ?

Ответы:

110012  + 10002  =  1000012

101102  + 11112  = 1001012

100112 + 10012 =  111002  

Проверьте сложение вычитанием. 

7. Умножение и деление  в двоичной системе счислении

  Мы убедились, что строение двоичной системы аналогично десятичной, и все десятичной, и все действия производятся аналогично соответствующим действиям в десятичной системе.

 Рассмотрим действия умножения, которые выполняются аналогично соответствующему действию в десятичной системе, учитывая, что в двоечной системе счисления:

1 × 1 = 1,  1 × 0 = 0,  0 × 1 = 0

Пример:

×101

 101

                                                          +101

                                                       101__  

                                                       11001

Выполняем умножение и проверяем каждый пример делением:

                                                     -11001 I101

                                                      101       101

                                                         -101

                                                          101    

                                                              0

Как видим, умножение выполнено верно.

         Пример:                                                                                                          

а) 11012  × 112

б) 11112  × 11012

в) 111102  × 11102

Ответ:

 а) 11012 × 112 = 1001112

 б) 11112 × 11012 = 110000112

 в) 111102 × 11102 = 1101001002

8.  Другие системы счисления

        В бумагах одного чудака-математика была найдена его автобиография. Она начиналась следующими строками: «Я окончил курс университета 44 лет отраду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 11 лет – способствовал тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалование я получал в месяц  всего 200 руб., из которых        приходилось отдавать сестре, так  что мы с детьми жили на 130 руб.,  в месяц» и т.д. Чем объяснить странные противоречия в числах  этого отрывка?

         Единственная причина кажущегося противоречия заключается в

том, что числа, используемые чудаком-математиком, изображены в недесятичной системе счисления.

Осталось выяснить, о какой именно системе  счисления идёт речь. Ключ

к разгадке заключается в фразе: «спустя год (после 44 лет) 100 – летним

молодым человеком…»

Если от прибавления единицы число 44 превращается в 100, то значит, 4

– наибольшая  цифра в этой системе, следовательно, основанием системы

является 5.

   Чудаку – математику пришла в голову фантазия написать все числа

своей биографии в пятеричной системе счисления, в которой

единица высшего разряда в пять раз больше единицы предыдущего

 разряда, т.е. на первом месте стоят единицы, на  втором – пятёрки,

на третьем – «двадцати - пятёрки»…Поэтому число «44»,

изображённое в тексте записке, означает не 4 × 10 + 4, как в

десятичной системе,  а  4 ×5 + 4 =  24.  

 Аналогично, число «100» означает одну единицу третьего разряда, т.е. 25.

Остальные числа соответственно означают:

34 = 3 × 5 + 4 = 19,

11 = 5 +  1= 6,

200 = 2 × 25 = 50,    10 = 5,      = ,     130 = 25 + 3 × 5 = 40.

Таким образом, записка имеет следующее содержание: «Я окончил курс университета  24 лет от роду.  Спустя год, 25-летним молодым человеком, я женился на 19-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 6 лет – способствовала тому, что  мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 5 детей. Жалованья  получал в месяц всего 50 руб., из которых  приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 40 руб. в месяц».  

     Аналогично осуществляется  перевод из любой другой системы счисления в десятичную.

    Рассмотрим теперь обратный перевод из десятичной системы счисления, например, в троичную, числа 47.   Чтобы узнать, сколько единиц первого разряда, необходимо выполнить деление с остатком:

 47 : 3 = 15, остаток 2.

 Значит, простых единиц будет 2. Чтобы узнать число десятков, делим частное от деления с остатком на 3.  15 : 3 = 5, остаток 0.                                  

Следовательно, число десятков  равно 0 и т.д.:  5 : 3 = 1, остаток 2.

Вычисления удобно записывать в таблицу:

Выделенные цифры вписываем справа  налево и сразу получаем искомое число. (При письме числа также удобно подчёркивать.) Таким образом,  4710  = 12023.

Проверка: 1 × 27 + 0 × 9 + 2 = 47.

    В различных системах счисления можно выполнять все математические  действия.

Пример: +2123               -21435                    +34526

                 1203                3345                3426                     

                         11022             13045               42346

9.   Заключение

    Язык математики - ее основные понятия и обозначения – вырабатывался  на протяжении многих столетий. Остаются в употреблении, распространяются и постепенно становятся общепринятыми наиболее универсальные, лаконичные, удобные в обращение средства этого языка. Это относится к самому основному понятию, возникшему при зарождении математики, - понятию числа  и способов  его записи.

   Конечно, прежде всего речь идёт о записи натуральных т.е. целых положительных чисел  1, 2, 3, 4, …, а затем - о рациональных  (дробных) и других чисел.

    Мы привыкли пользоваться десятичной системой счисления. Записывая число, скажем, 256, мы обычно не задумываемся, что обозначает каждая цифра: ясно, что последняя цифра 6 – это число единиц, 5 - число десятков, 2 - сотен, так что число 256 - это краткая запись числа         2 × 100 + 5 × 10 + 6.

     Десятичная система стала сейчас общепринятой повсюду в мире. Но в глубокой древности у многих народов складывались свои традиции записи чисел и действий с ними – они возникали и развивались вместе с практическими потребностями, такими, как подсчёт и нумерация предметов, измерение различных величин, торговля.    И сейчас наш мир вовсе не стал однообразно – десятичным. Многие предметы обихода – ложки, чашки, стулья – обычно считает не десятками, а шестёрками или дюжинами. Традиция измерять время (а также углы и дуги) в минутах и секундах – делить целое не на 10, а на 60 частей – восходит к древневавилонской  шестидесятеричной системе.                                                                                                                                                                                                                                                

      Разнообразие систем счисления  имеет не только исторический интерес. Хотя  свойства чисел не зависят, конечно,  от способа записи,  но в некоторых удобно представлять числа не в десятичной, а в другой системе. Особенно многочисленны применения двоичной системы, использующей всего две цифры – 0 и 1. Главное из этих применений – современные электронные вычислительные машины (ЭВМ) и системы передачи информации, в которых используются миниатюрные элементы с двумя устойчивыми состояниями.                    

Литература:

1. Детская энциклопедия: Математика, 1998г.
2. Фомин С.В. «Системы счисления» – Москва: Наука, 1990г.
3. Ковриженко Г.А. «Системы счисления и двоичная арифметика» - Киев, 2004г.
4. Берман Г.И. «Число и наука о нем» - Москва: Физматгиз, 2000г.
5. Приложение к газете «1 сентября»: «Математика», №10 2008г.
6. Приложение к газете «1 сентября»: «Математика», №11 2008г.