Элементы логики

              МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

                МУНИЦИНАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

                       "  СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №89"

                                       Реферат по теме:

                 Элементы логики

                                                                Выполнила:

                                                                Ученица 6 а  класса
                                                                МОУ СОШ №89

Вострикова Полина

Руководитель:

Коротких

Татьяна Михайловна

Барнаул- 2014

Содержание:

1. Что такое логика?
2. Решение задач по теме
3. Выводы
4. Список литературы

   Когда мы пишем сочинения, разговариваем, отвечаем на вопросы, то выражаем свои мысли при помощи предложений. Изучая математику, мы тоже пользуемся предложениями, которые могут быть записаны словами или с использованием  математических символов, например: «Три плюс два равно пяти, «3+2=5»

   Предложение, относительно которого имеет смысл вопрос « Истинно данное предложение или ложно» назовем высказыванием. Логика занимается изучением высказываний, учит правильно рассуждать и точно выражать свои мысли. С точки зрения логики как науки фраза « Сколько тебе лет?» и «Возможно, мама мне подарит на день рождения куклу»  не являются высказываниями (нельзя определить, истинны  они или ложны). А фраза  «Мне 12 лет» и « Мама мне подарила куклу» - являются высказываниями (в конкретном тексте они могут быть истинны или ложны).

Задача: № 1

Пятеро друзей выясняли , какой сегодня день недели.

Андрей сказал:  «Позавчера была пятница».

Володя сказал :  « Послезавтра будет вторник».

Сережа сказал:  « Вчера была суббота».

Дима сказал: « Завтра будет понедельник».

Егор сказал: « Сегодня четверг».

Один из них ошибся. Кто?

Решение:

  Определим, какой сегодня день недели, по мнению мальчиков, анализируя их высказывания. Андрей считает,  что сегодня воскресенье, Володя- воскресенье, Сережа – воскресенье, Дима – воскресенье, а Егор считает – четверг. Значит, Егор ошибся.

     Иногда одно и то же высказывание может быть истинным в одном случае и ложно в другом. Например, утверждение «Сейчас идет урок математики» истинно на уроке математики и ложно на уроке русского языка.

   Есть особый вид высказываний, они всегда истинны или всегда ложны.  Высказывание «Планета Земля имеет форму куба» всегда ложно, не зависимо от контекста, в котором оно используется, а высказывание «Соловей  - это птица» всегда истинно.

  Некоторые правила, которые  применяются при рассуждениях, очень просты и очевидны.

  Например, правило противоречия утверждает, что никакое высказывание не может быть одновременно и истинно и ложно.

   А правило исключенного  третьего говорит, что любое высказывание в каждом конкретном случае обязательно либо истинно либо ложно (третьего не может быть).

Разберем, какая между ними разница. Допустим, Толя говорит, что у него в правом кармане дырка, а Петя говорит, что дырки в правом кармане у Толи нет. Правило противоречия утверждает, что Толино утверждение  не может быть одновременно истинным и ложным. А правило исключенного третьего говорит, что кто-нибудь из двух мальчиков прав. Эти простые правила помогают при решении многих задач.

   Все высказывания, которые рассматривались выше – простые. Из простых высказываний можно образовать составные при помощи различных связок: «и», «или», «если, то» и др. Истинны или ложны такие высказывания зависит от того, истинны или ложны простые высказывания, из которых они состоят.

Например, рассмотрим высказывания:

1. Оксана идет в кино и на небе светит солнце.
2. Оксана идет в кино или на небе светит солнце.
3. Если Оксана идет в кино, то на небе светит солнце.

   У нас два простых утверждения  «Оксана идет в кино» (утверждение А)  и «на небе светит солнце» (утверждение В), которые могут быть  истинны или ложны. Заметим, что некоторые составные высказывания с житейской точки зрения имеют мало смысла. Но с точки зрения логики как  науки, они построены правильно и можно ставить  вопрос об их истинности или ложности.

  Рассмотрим каждое из предложенных высказываний.

1. Оксана идет в кино и на небе светит солнце.  

 Данное высказывание истинно только тогда, когда истинны оба простых высказывания.  Во всех остальных случаях оно ложно

2. Оксана идет в кино или на небе светит солнце.

Данное высказывание ложно только тогда, когда ложны оба высказывания. Во всех остальных случаях оно истинно

Если получение результата в этих двух случаях достаточно понятно   и с житейской точки зрения, то решение 3 примера опирается на правила математической логики.

3.Если Оксана идет в кино, то на небе светит солнце.

Составные выражения вида «Если А, то В» ложны только в одном случае, когда А истинно , а  В – ложно.

При решении  математических задач важно хорошо понимать условие задачи, точно понимать смысл каждого слова, особенно  это актуально для логических задач.

Задача № 2

Для украшения класса к празднику 8 марта купили воздушные шарики: синие, красные, и зеленые. Некоторые из них длинные, а некоторые круглые. Все зеленые шарики – круглые: а все длинные – красные. Тогда обязательно:

(А) Все красные шарики – длинные.

(В) Некоторые длинные шарики – синие

(С) Все круглые шарики – зеленые

(D) Все синие шарики - круглые

(Е) Некоторые синие шарики – длинные

Решение:  Рассмотрим, истинные или нет перечисленные высказывания.

(А) Нет, кроме длинных красных шариков, могут быть и круглые красные шарики.

(В) Нет, так как по условию задачи все длинные шарики – красные.

(С) Нет, так как могут быть круглые шарики и другого цвета. Например, синие.

(D) Да, так кА шарики могут быть только круглые или длинные, но все длинные обязательно красного цвета, то есть все синие (как и зеленые) обязательно круглые.

(Е) Нет, так как длинными могут быть только красные шарики.

Ответ: (D)

Задача №3

У каждого из 4 ребят  живет какое- то одно любимое животное: кошка, собака, рыбка или канарейка (у всех разные) У Маши  животное -  пушистой шерстью, у Феди- четвероногое, у Нины- пернатое. И Женя, и Маша не любят кошек, Какое из следующих утверждений неверно?

(А) У Феди – собака     (В) У Нины – канарейка     (С)У Феди – кошка

(D) У Жени – рыбка         (Е) У Маши – собака

Решение:

 У Маши – кошка или собака, у Феди – тоже. Но Маша не любит кошек, значит у нее собака. Тогда у Феди – кошка. Неверное утверждение «У Феди - собака».

Но обычно такие задачи очень легко решать с помощью таблицы.

«+»ставится в той ячейке, в которой пересекаются владелец животного и животное. Как только появляется «+», то в остальных ячейках этой строки и столбца проставляются «-».

В  нашей задаче утверждение «У Нины - пернатое». Заполняем таблицу.

Используя утверждение «И Женя , и Маша не любят кошек», проставляем минусы в столбике «Кошка»

Вывод, кошка у Феди

Так как у Маши животное с пушистой шерстью, то у нее – собака, и  соответственно, рыбка у Жени. В данном случае (тест с ответами), такое решение явно избыточно. Но для обычного решения подобных задач – удобно

Задача №4

Ира , Даша, Коля и Митя собирали ягоды. Даша собрала ягод больше всех, Ира – не меньше всех. Верно ли, что девочки собрали ягод больше, чем мальчики?

Решение: Так как Даша собрала ягод больше всех, а Ира не меньше всех, то меньше всех ягод собрал кто-то из мальчиков. Например, Коля. Разобьем ребят по парам. Иру объединим с Колей, А Дашу  объединим с Митей. В каждой паре девочка собрала больше, чем мальчик, значит, и  в сумме обе девочки собрали больше, чем оба мальчика.

Ответ:           Да, верно.

Задача № 5

На коробке с карандашами написано: «Все карандаши в этой коробке синие».Известно, что это утверждение неправда. Какое из утверждений обязательно верно:

А) в коробке есть красные карандаши;

Б) все карандаши в коробке – красные;

В) в коробке есть не синий  карандаш;

Г) все карандаши в коробке не синие.

Решение. Ответы А, Б,Г не обязательно верны, так как в коробке могут лежать, например, только синие и зеленые карандаши.

Ответ: В

Задача №6

Пять человек сидят за круглым столом. По очереди каждый из них говорит6 «Оба мои соседа, слева и справа, - лжецы». Известно, что лжецы всегда лгут, а остальные говорят правду. Кроме того, все знают, являются ли лжецами их соседи. Сколько лжецов  за столом?

Решение :  Все не могут  лжецами: так как лжец всегда врет, то рядом с ним должен сидеть хотя бы один правдивый. Так как правдивый говорит правду, его (каждого) с обеих сторон должны  окружать  лжецы. Т есть правдивых не может быть  5,4или 3.

Пусть правдивых – 2, тогда их можно рассадить по кругу следующим образом: лжец, правдивый, лжец, правдивый, лжец. Этот вариант возможен.

Если предположить, что всего1 правдивый , то хотя бы один лжец обязательно будет слева и справа окружен лжецами, что не подходит по условию задачи (высказывание «Оба мои соседа, слева и справа  -лжецы» будет истинно для лжеца) То есть правдивых -2, а лжецов -3.

Ответ    3

Задача № 7

Команда провела три матча: один выиграла, один свела вничью, один проиграла, при этом за три игры команда забила три мяча и пропустила один. Как закончился ( с каким счетом) каждый матч команды?

Решение:  Так как команда пропустила всего один гол, то это могло быть только в том матче, который она проиграла, и счет при этом обязательно 0:1. Так как команда больше мячей не пропускала, то матч вничью закончился со счетом ) 0:0. А победила команда со счетом 3:0.

Ответ:   0:0 ;  0:1 ;   3:0.

Задача № 8

У Коли сто мышей, некоторые из них белые, некоторые серые. Известно, что хотя бы одна мышь серая, а из любых двух мышей хотя бы одна – белая. Сколько серых мышей у Коли?

Решение: Из условия задачи известно, что одна серая мышь есть обязательно. Если бы серых мышей было бы две или больше, то из них можно составить пару, в которой нет белых мышей, что противоречит условию задачи.

Ответ :   1

Задача № 9

Ане , Тане и Маше в гостях предложили 3 пирожка: с мясом, с капустой и с повидлом. Аня терпеть не может капусту, Таня – мясо, а у Маши болят зубы от сладкого. Сколькими способами можно распределить пирожки между девочками, чтобы все были довольны?

Решение:Заполним таблицу. Аня не ест капусту, Таня не ест мясо, А Маша – повидло. Попробуем дать Ане пирог с мясом, а Тане – с повидлом. Все довльны.

Попробуем  Ане дать пирог с повидлом вместо  мясного.  Тогда Тане достанется пирог  с капустой, а Маше – с мясом

Ответ: 2 способа

По ходу выполнения своей  работы я познакомилась с новыми понятиями и  разобралась с  решениями простых логических задач. Такие задачи часто встречаются в конкурсных заданиях. Думаю, полученные знания помогут мне при решении любых задач.
        Мне очень понравилось работать по этой теме, ведь она очень интересна.. Так же я почерпнула из этой работы много полезной для будущей жизни информации. Я планирую и дальше продолжить работу по данной теме, научиться решать более сложные задачи.

Литература:

1.  Материалы Новосибирской физико-математической школы.
2. Математический клуб «Кенгуру». Библиотека «Кенгуру»2000
3. Приобщение к математическому творчеству.  Зильбельберг Н.И. Уфа. Башкирское книжное издательство 1988-96с.
4. За страницами учебника математики. И.Я. Депман, Н.Я Виленкин. Изд «Просвещение» 1989.