Задача Пуассона и математический бильярд

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
« Средняя общеобразовательная школа №13 с углубленным изучением отдельных предметов» города Губкина Белгородской области

Направление: Математика

Задача Пуассона  и математический бильярд

Курчина Анастасия  

МБОУ «СОШ №13 с УИОП»,

Белгородская область, г. Губкин

7В класс

Научный руководитель:

Айзикович А. Г., учитель математики

Губкин2014

Введение

 «В одном средневековом сочинении, восходящим к середине 13-го столетия, предлагается такого рода задача:

Господин послал своего слугу в ближайший город купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнив поручение, собирался домой, ему повстречался другой слуга, которого господин тоже послал за вином. «Сколько у тебя вина?» — спрашивает второй слуга. «8 мер», — отвечает тот. «Мне тоже нужно купить вина». «Ты уже ничего не получишь, так как в городе больше вина нет», — заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться с ним вином и показывает ему имеющиеся при нём два сосуда, один в 5, другой в 3 меры. Как произвести делёж при помощи этих трёх сосудов? (т. е. у каждого из слуг должно получиться ровно по 4 меры вина)».

Одной из самых известных задач подобного рода является задача Симеона Дени Пуассона (1981 – 1840), знаменитого французского математика и физика. Именно с решением одной из сложных задач о переливаниях, связывают раскрытие математических способностей выдающегося французского математика С. Д. Пуассона. Говорят, что эта задача сыграла решающую роль в выборе профессии. Однажды, знакомый принес юному Пуассону несколько задач на переливание, разного уровня сложности. Пуассон решил их менее чем за час, и определил выбор своей будущей профессии – математик.

Выдвинем гипотезу- существуют ли специальные формулы, общие методы для решения задачи Пуассона.

Цель работы – рассмотреть формулы и методы для решения задачи Пуассона, научиться решать задачи на переливание, рассмотреть возможность применения геометрии.

Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи: изучить соответствующую методическую литературу, найти различные способы решения задач.

Актуальность темы состоит в том, что решение задач на переливание  способствует культурному и интеллектуальному развитию, помогает развитию памяти, внимания, логического мышления, любознательности и творческих способностей.

.

1.Способы решения задач на переливание

1.1 Метод рассуждений и общий алгоритм решения

Рассмотрим задачу Пуассона: Один человек имеет в бочонке 12 пинт вина (пинта – старинная французская мера объема, 1 пинта ≈ 0,568 л) и хочет подарить половину вина, но у него нет сосуда в 6 пинт, однако имеются два пустых сосуда объемом 8 пинт и 5 пинт. Как с их помощью отлить ровно 6 пинт вина?

 Решение.

Перейдем на литры. Сначала наливаете 8 литров в 8-литровый, потом из 8- литрового наливаете полный 5-литровый, в результате получается, что в 12-литровом - 4 литра, в 8-литровом – 3 литра, а в 5-литровом – 5 литров.
        Переливаете из 5-литрового в 12-литровый все вино, а из 8-литрового переливаете все 3 литра в 5-литровый. В результате 9 литров в 12-литровом, 0 литров в 8-литровом, и 3 литра в 5-литровом. Переливаете из 12-литрового 8 литров в пустой 8-литровый, и в 12-литровом остается 1 литр. Из 8-литрового доливаете в 5-литровый, пока 5-литровый не станет полным, (в 5-литровом было 3 литра, следовательно долили мы еще 2 литра из 8-литрового) Тогда в 8-литровом как раз остается 6 литров.

 Простейший способ решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такое решение не совсем удачно, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач.

Более систематический подход к решению задач «на переливание» заключается в использовании определённой последовательности действий.

В задачах на переливание разрешены следующие операции:

• заполнение жидкостью одного сосуда до краев;
• переливание жидкости в другой сосуд или выливание жидкости;

При решении таких задач необходимо учитывать следующие замечания:

• разрешается наливать в сосуд ровно столько жидкости, сколько в нем помещается;
• разрешается переливать всю жидкость из одного сосуда в другой, если она в него вся помещается;
• разрешается отливать из одного сосуда в другой столько жидкости, сколько необходимо, чтобы второй сосуд стал полным.

Каждую задачу на переливание таким методом можно решать двумя способами:

I. начать переливания с большего сосуда;

II. начать переливания с меньшего сосуда.

Какой из способов более рационален (т.е. каким способом мы быстрее получим нужное количество жидкости) зависит от условий задачи. Изначально это определить нельзя.

При решении задач можно использовать следующий алгоритм.

Алгоритм .

1. Из большей емкости наполнить емкость промежуточного объема.
2. Перелить жидкость из промежуточной емкости в самую маленькую емкость.
3. Перелить жидкость из самой маленькой емкости в большую емкость.
4. Повторять действия 2-3 до тех пор, пока емкость промежуточного объема не станет пустой.
5. Если емкость промежуточного объема опустела, то  повторить действия 1-5 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

1.2 Метод табличный

Простейший прием решения задач на переливание  состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такой метод решения не совсем удачный, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач. Более систематический подход к решению задач "на переливание" заключается в использовании отдельных таблиц, в которые заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов.

Задача 1. Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. Наибольший сосуд полон молока. Как разделить это молоко на две равные части, используя остальные сосуды? Решение. В таблице указан объем молока в литрах после каждого переливания.

После переливания, оказалось, по 4 л молока в 8-литровом и 5-литровом сосудах, а это и требовалось.

Задача 2. В бочке не менее 10 л бензина. Как отлить из неё 6 л с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?

Решение.

В таблице указан объем бензина в литрах после каждого переливания.

Задача 3. Имеется три сосуда без делений объемами 4 л, 5 л, 6 л, кран с водой, раковина и 4 л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 8 л смеси воды с сиропом, так чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну? 

Решение.

 Задача 4. Летом Винни - Пух сделал запас мёда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину - после Нового Года. Весь мёд находится в ведре, которое вмещает 6 литров. У него есть 2 пустые банки – 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мёд так, как задумал? Решение.

1.3 Метод математического бильярда

Бильярд в науке

Появившись до нашей эры в Индии и Китае, бильярд через много веков перекочевал в европейские страны – упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. В России бильярд стал известен и распространился при Петре I. Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни "исчисление" вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов стола. Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили появлению теории математического бильярда или теории траекторий.

Впервые о математическом базисе бильярдной игры заговорил Гаспар Густав Кориолис в своей книге «Thйorie mathйmatique du jeu de billard» (Русск. перевод: «Математическая теория явлений бильярдной игры») в 1835 году. Он использовал в своей работе элементы теории вероятностей, теории пределов и общего анализа. Однако особого интереса у современников (по мнению Лемана) книга не вызвала: ни у математиков, ни у бильярдистов.

Прошло более полутораста лет, и математический бильярд развился в свою теорию, породив несколько побочных. «Теория бильярдов» сегодня неотъемлемая часть эргодической теории и теории динамических систем, имеет важнейшее применение в физике. Математиком Гальпериным создан способ определения числа пи с помощью бильярда. Намного ближе общеобразованному читателю результаты исследований математиков Штейнгауза, Альхазена и Гарднера.

Головоломки на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола. Идея метода: Нарисовать бильярдный стол и интерпретировать действия движениями бильярдного шара, фиксировать состояния в отдельной таблице. Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.

Задача. Винни-Пух и пчелы.Однажды Винни-Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости. По дороге нарвал букет цветов, чтобы подарить труженицам пчелкам. Пчелки очень обрадовались, увидев мишку с букетом цветов, и сказали: «У нас есть большая бочка с медом. Мы дадим тебе меда, если ты сможешь с помощью двух сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л!» Винни-Пух долго думал, но все-таки смог решить задачку. Как он это сделал? 

Решение:

Как в результате можно получить 4 л? Нужно из 5-литрового сосуда отлить 1 л. А как это сделать? Нужно в 3-литровом сосуде иметь ровно 2 л. Как их получить? – Из 5-литрового сосуда отлить 3 л. 
Решение лучше и удобнее оформить в виде таблицы.

Задача как с помощью сосудов объемом 7 и 11 литров и бочкой с водой отмерить 2 литра воды. Границы таких столов удобнее всего рисовать на бумаге, на которую нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников. В рассматриваемой задаче стороны стола должны иметь длины 7 и 11 единиц. Горизонтали отложено количество воды в 11-литровом сосуде в любой момент времени, а по вертикали - та же величина для 7-литрового сосуда. Как же пользоваться диаграммой? Представьте себе, что шар находится в левой нижней вершине в точке 0. Он будет перемещаться вдоль нижнего основания ромба до тех пор, пока не достигнет правой боковой стороны в точке 11. Это означает, что 11-литровый сосуд наполнен до краев, а 7-литровый пуст.

Отразившись упруго от правого борта, шар покатится вверх и влево и ударится о верхний борт в точке с координатами 4 по горизонтали и 7 по вертикали. Это означает, что в 11-литровом сосуде осталось всего 4 литра воды, а 7 литров из него перелили в меньший сосуд. Прослеживая дальнейший путь шара и записывая все этапы его движения до тех пор, пока он не попадет в точку 2 верхнего борта, вы получите ответ и узнаете, в какой последовательности необходимо производить переливания, чтобы отмерить 2 литра воды.

2. Условие разрешимости задач

Если объемы двух меньших сосудов не имеют общего делителя (т. е. взаимно просты), а объем третьего сосуда больше или равен сумме объемов двух меньших, то с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и кончая объемом среднего сосуда.

Имея, например, сосуды вместимостью 15, 16 и 31 литр, вы сумеете отмерить любое количество воды от 1 до 16 литров. Такая процедура невозможна, если объемы двух меньших сосудов имеют общий делитель.  В общем виде, что для двух сосудов не существует решения, если объёмы сосудов не представляют собой взаимно простых чисел, а потребный объём при этом не делится нацело на НОД объёмов сосудов.

Заключение

В данной работе рассмотрено решение задач на переливание различными методами. Рассматриваемые задачи традиционно встречаются на олимпиадах по математике различного уровня, и будет отличным подспорьем, для желающих научится решать задачи такого типа. Суть этих задач сводится к следующему: имея несколько сосудов разного объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком-либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число переливаний. В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что

- все сосуды без делений,

- нельзя переливать жидкости "на глаз"

- невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать.

Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях:

• знаем, что сосуд пуст,
• знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,
• в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились
• в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них
• в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде.

Чаще всего используются словесный способ решения (т.е. описание последовательности действий) и  способ решения с помощью таблиц, где в первом столбце (или строке) указываются объемы данных сосудов, а в каждом следующем — результат очередного переливания. Таким образом, количество столбцов (кроме первого) показывает количество необходимых переливаний.

В  работе рассмотрена математическая модель бильярда. Данная модель неожиданно много имеет применений в теории чисел, механике, физике и арифметике. .Идея метода: Нарисовать бильярдный стол и интерпретировать действия движениями бильярдного шара, фиксировать состояния в отдельной таблице.

Существенным недостатком табличного способа решения является отсутствие четкого алгоритма действий, невозможность предвидеть ближайшие шаги. Составлять таблицы можно долго, так и не придя к нужному результату. Метод математического бильярда наиболее точно и быстро дает схему решения задач на переливания.

Литература

1. Игнатьев Е.И.. Математическая смекалка. - М.: Омега, 1994. - 192 с.
2. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. - 576 с.
3. Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике. - М.: Просвещение, 2005. - 207 с.
4. Станислав Коваль. От развлечения к знаниям. Математическая смесь.: Пер. с пол. - Варшава, Wydawnictwa naukowo-techniczne, 1975. - 540 с.
5. Игнатьев Е.И. Математическая смекалка. - М.: Омега, 1994. С. 3.
6. http://www.sench.ru/billiards.html Billiards.