Теорема чевы

Областная научная конференция школьников

«Инициатива молодых»

Теорема Чевы. Применение при решении задач

                                                   Работу выполнили:

                                       ученицы 9б класса

                                          МАОУ «Лицей №3»

                                  Трусова Наталья

                                                  Сергушова Наталья

                                                   Научный  руководитель: –                                                  

                                                   Попова Нина Федоровна,

                                                   учитель математики

                                                   высшей категории

                                           МАОУ «Лицей №3»

                                      Саратов. 2011год.

Содержание

Введение………………………………………………………………………………………………….……...…3

Глава I

Теорема Чевы…………………………………………………………………………………………………....4

Глава II

Доказательства теоремы……………………………………………………………………………………5

Некоторое преобразования, связанные с теоремой Чевы……………………………….8

Глава III

Применение теоремы для решения задач………………………………………………………..9

Заключение……………………………………………………………………………………………………….10

Приложения………………………………………………………………………………………………………11

Список литературы……………………………………………………………………………………………14

Введение

Крылатую фразу Козьмы Пруткова «Никто не обнимет необъятного» в полной мере можно отнести и к геометрии треугольника. В самом деле, треугольник, как кладезь прекрасных и  поразительных геометрических конструкций, поистине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с трудом поддающиеся какой-либо систематизации, не могут не восхищать. И кажется, если уж такая простая с виду область геометрии настолько сложна, то в чем вообще можно разобраться?

Интересно попробовать понять, почему тот или иной результат геометрии треугольника оказывает на нас большее или меньшее воздействие. Красивая теорема в геометрии треугольника связана, как правило, с замечательными точками, прямыми или окружностями. Прямая или окружность замечательны, если содержат замечательные точки треугольника. Точка тем более замечательна, чем с более естественными и содержательными конфигурациями треугольника она взаимодействует.  Поэтому в первый ряд  следует поставить, конечно,  таких заслуженных ветеранов, как М - точку пересечения медиан, О – центр описанной окружности, I – центр вписанной окружности, Н – точку пересечения высот, а так же точка G Жергонна и точка N Нагеля.

С точками первого порядка связаны теоремы о прямой Эйлера, окружности девяти точек. Точками второго порядка  можно считать точки, являющиеся «производными» от точек первого порядка, т.е. полученные из них под действием какого-либо преобразования или как пересечение замечательных линий первого порядка. Сюда можно отнести точку L  Лемуана (точку пересечения прямых симметричных медианам относительно соответствующих биссектрис, такое преобразование называется изогональным сопряжением), антиортоцентр треугольника Hm (точку пересечения прямых, проходящих через точки, симметричные основаниям высот относительно соответствующих середин сторон, и противолежащие вершины, это преобразование называется изотомическим сопряжением), точку Im пересечения антибиссектрис (изотомически сопряженную точку пересечения биссектрис). Точки третьего порядка определяются аналогично, как производные точек второго порядка.

Глава I

Теорема Чевы

Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены при помощи следующей процедуры.

Пусть у нас имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку А1  на стороне ВС (или ее продолжении) треугольника АВС (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки В1, С1 на двух других сторонах треугольника (в нашем случае – еще две середины сторон). Если правило выбора удачное, то прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекутся в некоторой точке Z. Все замечательные точки получаются именно так.

Поэтому хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекаются ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.

Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашел в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева (отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах, называют чевианами). Можно смело сказать, что эта теорема служит фундаментом всей геометрии треугольника.

Глава II

Доказательства теоремы Чевы

Теорема Чевы: случай внутренней точки.

Выберем в произвольном треугольнике АВС точки А1, В1, С1 на сторонах ВС, СА, АВ соответственно. Следующие два утверждения равносильны:

а) прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в некоторой внутренней точке Z треугольника АВС;

б)     (условие Чевы).

Доказать прямую теорему Чевы (аб) проще всего, заменив отношения отрезков в условии Чевы на отношения площадей:

Следовательно,    .

Точно так же получим, что      

Теперь осталось только перемножить эти три равенства:

Обратная же теорема Чевы следует из прямой: пуст АА1 и ВВ1 пересекаются в точке Z. Пусть прямая СZ пересекает сторону АВ в треугольнике в точке С2. Для точек А1, В1, С2 выполняется условие Чевы:

Сопоставим это соотношение с заданным равенством, приходим к выводу, что              , т.е. С1=С2.

Теорема Чевы: случай внешней точки                                                                                                 Бесконечно удаленные точки плоскости

Теорема Чевы остается справедливой и для внешней точки Z треугольника и точек А1, В1, С1, одна из которых принадлежит стороне треугольника, а две другие – продолжениям сторон.

Как несложно проверить, пользуясь теоремой Фалеса, условию Чевы удовлетворяют и точки А1, В1, С1, для которых прямые АА1, ВВ1, СС1 параллельны.

Чтобы выделить эти ситуации в особые, удобно считать, что плоскость пополнена бесконечно удаленной прямой, составленной из бесконечно удаленных точек, в каждой их которых пересекается какое-нибудь семейство параллельных прямых. Поэтому, можно считать, что бесконечно удаленная точка указывает направление прямой. Такую модель в математике называют проективной плоскостью. На проективной плоскости любые параллельные прямые пересекаются в некоторой точке, разумеется бесконечно удаленной. При этом мы полагаем также, что бесконечно удаленная точка Z прямой АВ делит отрезок АВ пополам внешним образом:  

Теорема Чевы в форме синусов

В каждом из рассмотренных случаев – и в случае внутренней точки Z, и в случае внешней точки Z – условие Чевы можно записать также в виде

Доказательство равносильности этих условий несложно. Действительно, применив теорему синусов к треугольникам АСС1 и ВСС1, имеем:

  и  

Разделив одно равенство на другое, получаем:

Аналогично    

Окончательно имеем:

Для внешней точки Z рассуждение аналогично.

Некоторые преобразования, связанные с теоремой Чевы

Изотомическое сопряжение. Зафиксируем на плоскости треугольник АВС. Выберем некоторую точку плоскости Z и проведем через нее и вершины треугольника прямые, пересекающие стороны треугольника (или их продолжения) в точках А1, В1, С1 соответственно. Каждую точку отразим симметрично относительно середины той стороны, на которой она лежит. Полученные три точки обозначим через А2, В2, С2. Тогда прямые АА2, ВВ2, СС2 также пересекаются в некоторой точке Zм. Эта точка называется изотомически сопряженной точке Z относительно треугольника АВС.

Корректность определения изотомического сопряжения следует из теоремы Чевы: в условии Чевы числители меняются местами со знаменателями, и если исходное произведение равнялось единице, то «перевернутое» произведение тоже равно единице.

Изогональное сопряжение. Зафиксируем на плоскости треугольник АВС. Выберем  некоторую точку плоскости Z и проведем через нее и вершины треугольника прямые, пересекающие стороны треугольника (или их продолжения) в точках А1, В1, С1 соответственно. Тогда прямые АА2, ВВ2, СС2, симметричные прямым АА1, ВВ1, СС1 относительно биссектрис соответствующих углов треугольника, пересекаются в одной точке Zl. Эта точка называется изогонально сопряженной точке Z относительно треугольника АВС.

Применение теоремы для решения задач

С помощью теоремы  Чевы легко доказываются следующие свойства:

1. Медианы пересекаются в одной точке;
2. Высоты треугольника пересекаются в одной точке;
3. Биссектрисы внутренних углов;  биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке;
4. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками вписанной окружности пересекаются в одной точке.

См. Приложения.

Заключение

Теорема Чевы довольно проста  в  понимании. Трудности,  связанные  с  ее освоением , оправданы  применением  при  решении  задач.

Решение задач с  помощью этой  теоремы более  рационально , чем их  решение  другими  способами, например  векторным, которое  требует  дополнительных  действий.

Я  считаю, что  такие  теоремы  должны  быть  включены  в  основной  курс  геометрии  7-х-9-х классов, так  как  решение  задач  с  помощью  этих  теорем  развивает  мышление  и  логику  учеников.

 Теорема Чевы помогает  быстро  и  оригинально  решить  задачи  повышенной  сложности.

Приложения

Доказать теорему: Медианы треугольника пересекаются в одной точке;

                                   точка пересечения делит каждую из них в отношении  

                                   2:1, считая  от  вершины.          

Доказательство: Пусть АМ1, ВМ2, СМ3 – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно доказать, что

. Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АМ1, ВМ2, СМ3 пересекаются в одной точке. Имеем:

.

Итак, доказано что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть О – точка пересечения медиан. Прямая М3С пересекает две стороны треугольника АВМ2 и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая^[1]

.

Рассматривая теорему Менелая для треугольника АМ1С и АМ2С мы получаем, что

. Теорема даказана.

Доказать теорему: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство: достаточно доказать, что   . Тогда по теореме Чевы (обратной) AL1, BL2, CL3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника:

. Перемножая почленно полученные равенства получаем:

. Итак, для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Доказать теорему: Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство: Пусть AH1, ВH2, СH3 – высоты треугольника АВС со сторонами a, b,c. Из прямоугольных треугольников АВН2 и ВСН2 по теореме Пифагора выразим, соответственно, квадрат общего катета ВН2, обозначив АН2=х, СН2=b-х.                                (ВН2)2 = с2 – х2 и (ВН2)2 = а2 – (b - x)2. Приравнивая правые части полученных равенств, получаем с2 – х2 = a2 – (b - x)2, откуда х = .

Тогда .

Итак, .

Аналогично рассуждая для прямоугольников АСН2 и ВСН3, ВАН1 и САН1, получим .

Для доказательства теоремы достаточно показать, что    .

Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АН1, ВН2, СН3 пересекаются в одной точке. Подставив в левую часть равенства выражения длин отрезков АН3, ВН3, ВН1, СН1, СН2 и АН2 через a,b,c, убеждаемся, что равенство Чевы для высот треугольника выполняется. Теорема доказана.

Задача

Точки С1 и А1 делят стороны АВ и ВС треугольника АВС  в отношении 1:2. Прямые СС1 и АА1 пересекаются в точке О. Найти отношение, в котором прямая ВО делит сторону АС.

Решение. По условию, . Используя теорему Чевы, имеем

Список литературы

1. А.Г. Мякишев. Элементы геометрии треугольника. Москва, 2002
2. Понарин Я.П. Элементарная геометрия,  т.1, М.:МЦНМО, 2004
3. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии, ч.1, Геометрия на плоскости, М.:Учпедгиз, 1949
4. Адамар Ж. Элементарная геометрия, ч.1, Планиметрия,      М.:Учпедгиз, 1936
5. Кокстер Г.С.М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией, Москва, 1978