Способы умножения натуральных чисел

Государственное бюджетное   общеобразовательное учреждение Самарской области средняя общеобразовательная школа №11 города   Кинеля городского округа Кинель Самарской области

Проект на тему:

«Способы умножения

 натуральных чисел»

Работу выполнили: ученицы  5 «Б» класса

Малышева Анастасия

Руководитель: учитель математики

Тарасова Л.А.

2014 г.

Содержание:

Введение

…..Вы не сможете выполнить умножения многозначных чисел - хотя бы даже двузначных - если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения. В старинной «Арифметике» Магницкого необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких - надо сознаться, чуждых для современного слуха - стихах:

Аще кто не твердит

таблицы и гордит,

Не может познати

числом что множати

И во всей науки, несвобод от муки,

Колико не учиттуне ся удручит

И в пользу не будет аще ю забудет.

Сам Магницкий, автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существуют способы перемножать числа и без знания таблицы умножения. Способы эти, не похожи на наши школьные приемы, некоторые употреблялись  в обиходе великорусских крестьян и унаследованы ими от глубокой древности, некоторые используются и в наше время.

 В школе изучают таблицу умножения, а затем учат детей умножать числа в столбик. Разумеется, это не единственный способ умножения. На самом деле, существует несколько десятков способов умножения  многозначных чисел. В данной работе мы приведём несколько способов умножения, возможно они покажутся более простыми и вы будете ими пользоваться.

Цель: ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, и их применение при вычислениях числовых выражений.

    Задачи:

1. Найти и разобрать различные способы умножения.
2. Научиться демонстрировать некоторые способы умножения.
3. Рассказать о новых способах умножения и научить ими пользоваться учащихся.
4. Развить навыки самостоятельной работы: поиск информации, отбор и оформление найденного материала.

     Гипотеза: «Знания лишь тем открываются.

                        Кто с разными числами знается!!!»  

                                                           Пифагор.

Глава 1. Способы умножения

1. Русско-крестьянский способ умножения

     В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянского (существует мнение, что он берет начало от египетского).

    Пример: умножим 47 на 35,

- запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
- левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

- деление заканчивается, когда слева появится единица;
- вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
- далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;

35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645

2. Квадрат  Пифагора

1   2   3

4   5   6

7   8   9

Это всем известный Квадрат Пифагора, отражающий мировую систему счисления, состоящую из девяти цифр: от 1 до 9. Выражаясь современным языком – это девяти разрядная числовая матрица, в которой цифры, являющиеся основой для дальнейших вычислений любой сложности расположены в порядке возрастания. Квадрат Пифагора называют и Эннеадой, а тройку цифр - триада. Можно рассматривать тройки цифр расположенные по горизонтали (123, 456, 789) и по вертикали(147, 258, 369). Причем, записанные таким образом, тройки цифр начинают обозначать уже особые числа, подчиняющиеся законам математической пропорции и гармонии.

Вспомним главное правило древнеегипетской математики, в котором сказано, что умножение производится при помощи удвоения и сложения полученных результатов; то есть каждое удвоение есть сложение числа с самим собой. Поэтому интересно посмотреть на результат подобного удвоения цифр и чисел, но полученному современным методом складывания « в столбик», известному даже в начальных классах школы. Это будет напоминать египетскую систему счисления,  по сути, с разницей в том, что все цифры либо числа записываются в один столбик (без указания того или иного действия в соседнем столбике - как у египтян).

Начнем с цифр, составляющих Квадрат Пифагора: от 1 – до 9.

Цифра 1: обычный последовательный ряд цифр.

Цифра 9: левый столбик - четкий восходящий ряд («поток»).

правый столбик - четкий нисходящий ряд последовательных цифр.    

    Условимся называть восходящим ряд, значения чисел в котором увеличиваются сверху вниз ; в нисходящем же –  наоборот: уменьшаются значения чисел сверху вниз.

Цифра 2:  в правом столбике повторяются четные цифры 2,4,6,8 («в периоде»).

Цифра 8: такой же повтор - только в обратном порядке- 8,6,4,2.

Цифры 4 и 6: четные цифры «в периоде» 4,8,2,6 и 6,2,8,4.

Цифра 5: подчиняется правилу сложения цифры 5- чередование 5 и 0.

Цифра 3: правый столбик - нисходящий ряд уже не цифр, а чисел, образующих  тройки вертикальных рядов в квадрате Пифагора- 369, 258, 147. Причем, отсчет идет «из правого угла квадрата» или справа налево. Здесь также действует принятое выше правило восходящего - нисходящего ряда. Но восходящий ряд – это движение от тройки чисел 147 до тройки 369; нисходящий - от 369 до 147.                                      

Цифра 7: восходящий ряд чисел  147,258,369 из «левого угла» или слева направо.  Впрочем, все зависит от того, как изображена сама девятиразрядная числовая матрица - где поставить цифру 1.

3. Таблица Оконешникова

Школьники смогут  научиться устно складывать и умножать миллионы, биллионы и даже секстиллионы с квадриллионами. А поможет им в этом кандидат философских наук Василий Оконешников, по совместительству изобретатель новой системы устного счёта. Учёный утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить.

    По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.

По мысли учёного, прежде чем стать вычислительным «компьютером», необходимо вызубрить созданную им таблицу. Цифры в ней распределены в девяти клетках непросто. Как утверждает Оконешников, глаз человека и его память так хитро устроены, что информация, расположенная по его методике, запоминается во-первых, быстрее, а во-вторых – намертво .
       Таблица разделена на 9 частей. Расположены они по принципу мини калькулятора: слева в нижнем углу «1», справа в верхнем углу «9». Каждая часть – таблица умножения чисел от 1 до 9 (опять же в левом нижнем углу на 1, рядом правее на 2 и т.д., по той же «кнопочной» система). Как ими пользоваться?
      Например, требуется умножить 9 на 842. Сразу вспоминаем большую «кнопку» 9 (она вверху справа и на ней мысленно находим маленькие кнопочки 8,4,2 (они также расположены как на калькуляторе). Им соответствуют числа 72, 36, 18. Полученные числа складываем особо: первая цифра 7 (остаётся без изменения), 2 мысленно складываем с 3, получаем 5 – это вторая цифра результата, 6 складываем с 1, получаем третью цифру -7, и остаётся последняя цифра искомого числа – 8. В результате получилось 7578.
Если при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.

С помощью матричной таблицы Оконешникова по утверждению самого автора, можно изучать и иностранные языки, и даже таблицу Менделеева. Новая методика была опробована в нескольких российских школах и университетах. Минобразования РФ разрешило публиковать в тетрадях в клеточку вместе с привычной таблицей Пифагора новую таблицу умножения – пока просто для знакомства.

Пример: 15647 х 5

4. Индийский способ умножения

В древней Индии применяли два способа умножения: сетки и галеры. На первый взгляд они кажутся очень сложными, но если следовать шаг за шагом в предлагаемых упражнениях, то можно убедиться, что это довольно просто.

Умножаем, например, числа 6827 и 345:

1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем один из номеров над колонками, а второй по высоте. В предложенном примере можно использовать одну из этих сеток.

Сетка 1                                                         Сетка 2

2. Выбрав сетку, умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки. В этом случае последовательно умножаем 3 на 6, на 8, на 2 и на 7. Посмотри на этой схеме, как пишется произведение в соответствующей клетке.

Сетка 1

3. Посмотри, как выглядит сетка со всеми заполненными клетками.

Сетка 1

4. В заключение складываем числа, следуя диагональным полосам. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к следующей диагонали.

Сетка1

   Посмотри, как из результатов сложения цифр по диагоналям (они выделены жёлтым фоном) составляется число 2355315, которое и является произведение чисел 6827 и 345, то есть 6827 х 345 = 2355315.

5. Египетский способ умножения

Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать. Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное перемножение на второй множитель (см. пример). Этот метод можно и сегодня встретить в очень отдаленных регионах.

 Разложение. Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.

   Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:  

1 x 2 = 2                                                                                                                       2 x 2 = 4                                                                                                                         4 x 2 = 8                                                                                                                           8 x 2 = 16                                                                                                                      16 x 2 = 32

Пример разложения числа 25:    Кратный множитель для числа «25» — это 16;     25 — 16 = 9. Кратный множитель для числа «9» — это 8;   9 — 8 = 1.     Кратный множитель для числа «1» — это 1;  1 — 1 = 0. Таким образом «25» — это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.

Пример:  умножим «13» на «238» .  Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем:                                                                        ✔         1 х 238  = 238                                                                                                 ✔         4 х 238  = 952                                                                                                 ✔         8 х 238  = 1904                                                                                                13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 =                   1904 + 952 + 238 = 3094.

6. Китайский способ умножения

А теперь представим метод умножения, бурно обсуждаемый в Интернете, который называют китайским.  При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют  количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

Пример: умножим 21 на 13. В первом множителе 2 десятка и 1единица, значит строим 2 параллельные прямые и поодаль 1 прямую.

Во втором множителе 1 десяток и 3 единицы. Строим параллельно 1 и поодаль 3 прямые, пересекающие прямые первого множителя.

Прямые пересеклись в точках, количество которых и есть ответ, то есть   21 х 13 = 273 

Забавно и интересно, но проводить 9 прямых при умножении на 9 как-то долго и неинтересно, а потом еще точки пересечения считать…

В общем, без таблицы  умножения не обойтись!

7. Японский способ умножения

Японский способ умножения – это графический способ с использованием кругов и линий. Не менее забавный и интересный чем китайский.  Даже чем-то на него похож.

Пример: умножим  12 на  34. Так как второй  множитель двузначное число, а первая цифра первого множителя 1, строим  два одиночных круга в верхней строке и два двоичных круга в нижней строке, так как вторая цифра первого множителя равна 2.

 12    х   34

Так как первая цифра второго множителя 3, а вторая 4, делим круги первого столбца на три части, второго столбца на четыре.

    12     х     34

 Количество частей, на которые разделились круги и является  ответом, то есть  12 х 34 = 408.

Глава 2. Практическая часть

     Для того чтобы выяснить, знают ли нынешние ученики  старинные способы умножения, нами было проведено небольшое исследование. Для этого мы составили вопросы для анкеты, вот они:

• Умеете ли вы умножать?
• Знаете ли вы таблицу умножения?
• Знаете ли вы, другие способы умножения,  кроме нашего современного?
• Хотели бы вы узнать другие способы умножения?

     После этого был проведён опрос учащихся, в котором принимали участие  учащиеся 5-8 классов. Обработав полученный материал, были составлены следующие результаты. [см. Приложение №1]

      В результате исследования выяснилось, что все опрошенные умеют умножать и делить. А вот  таблицу умножения знают не  все  на «отлично»:    

                      5 класс-81%;

                      6 класс – 89%;

                      7 класс- 83%;

                      8 класс- 85%.

  Также  выяснилось, что о старинных способов умножения  никто не слышал. И есть желающие познакомиться с ними.

3. Заключение

   В истории математики есть много интересных событий и открытий, к сожалению не вся эта информация доходит до нас, современных учеников.

   Этой работай, я  хотела хоть чуть - чуть заполнить этот пробел и донести до наших сверстников информацию о старинных способах  умножения.

    В ходе роботы мы узнали о происхождении действия умножения. В старину было не лёгким делом владеть этим действием, тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения  — приемы один другого запутаннее, твердо, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.  Признавалось даже, что для овладения искусством быстрого и безошибочного умножения  натуральных чисел нужно особое природное дарование, исключительные способности; рядовым людям премудрость эта недоступна.

     Своей работой мы доказали, что наша гипотеза верна, не нужно обладать  сверхъестественными способностями, чтобы уметь пользоваться старинными способами умножения. А ещё мы научились подбирать материал, обрабатывать его, то есть выделять главное и систематизировать.

    Результатом нашей работы стала брошюра «Старинные способы умножения». Смело, рекомендуем эту книгу вниманию любителей арифметики.

3. Литература

1. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин  “За страницами учебника математики”.
2. Л.Ф. Магницкий  «Арифметика».
3. Журнал «Математика» №15 2011г.
4. Энцеклопедия для детей. Т.11 Математика. М: Аванта+ 2003г.
5. Интернет-ресурсы.

Приложение 1.

Результаты анкетирования по теме «Способы умножения натуральных чисел»

Умеете ли вы умножать?

Знаете ли вы таблицу умножения?

Знаете ли вы, другие способы умножения,  кроме нашего современного. ?

Хотели бы вы узнать другие способы умножения ?