Вторая региональная научно-исследовательская конференция

воспитанников общеобразовательных военно-учебных

 заведений Министерства Обороны Российской Федерации

 «Восхождение к науке» - 2013

Секция: «Математика. Информатика и ИКТ.»

ФГКОУ Санкт-Петербургский Кадетский корпус МО РФ

«Такие разные геометрии… Что есть истина?»

 Ануфриев Сергей Алексеевич 62гр. -10 «Б» класс

 Кавун Владислав Геннадьевич 62гр.-10 «Б» класс

  Руководитель: преподаватель математики

        Дегтерева А.А.

Геометрия Евклида (основы которой изучаются в школе) отнюдь не единственная. Возможно, что реальное пространство обладает иной геометрией, неевклидовой. Оказалось, что пространство Вселенной искривляется вблизи массивных тел. И геометрия как раз и будет  определяться характером этой кривизны.  Цель работы: выяснить, есть ли геометрии, отличные от Евклидовой, и  если их несколько, то попытаться определить, что есть истина.

Дегтерева Альбина Александровна

Санкт-Петербург

2013

Оглавление

Введение.

1. Геометрия Евклида.
2. Проблема V постулата.
3. Неевклидова геометрия.

3.1. Геометрия Лобачевского.

    3.2. Сферическая геометрия Римана.

4.  Поверхности различной кривизны.

5. Геометрия Вселенной. Что есть истина?

6. Выводы.

Список используемых источников

Введение.

Учёные Земли уже полвека пытаются раскрыть загадку: в каком мире мы живём?  Какой геометрией он описывается? От этого знания зависит представление о всей Вселенной. Столкнувшись с этой проблемой, мы решили исследовать, а сколько вообще существует геометрий? Есть ли принципиально отличные от той, что изучается в школе? А если есть, то какая из них отражает свойства реального пространства? Какая из них выступает как теория пространственных отношений? Вот на эти вопросы и попытаемся ответить в данной работе.

1. Геометрия Евклида.

Как известно, наука о геометрических отношениях возникла ещё в глубокой древности в связи с практическими потребностями людей в области строительства и землемерия.

Первое систематическое изложение геометрии осуществил знаменитый древнегреческий математик Евклид (III и IV вв. до н.э.). В своих сочинениях «Начала» он систематизировал и изложил накопленные к тому времени геометрические знания.  Геометрия Евклида – геометрия того мира, в котором мы живём. Именно эта геометрия изучается в школьном курсе и называется евклидовой геометрией. Она описывает геометрические отношения между предметами, с которыми мы встречаемся на каждом шагу. Евклидова геометрия является основой механики, техники, геодезии, без неё немыслимо решение многих астрономических вопросов. На протяжении длительного времени не было известно ни одного факта, который хотя бы в какой-то степени ей противоречил. Поэтому многие столетия (более 2000 лет) геометрия Евклида представлялась незыблемой и единственно возможной.

В «Началах» был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждения доказываются другие утверждения (теоремы).

Основные аксиомы (постулаты) Евклида:

2. Проблема пятого постулата.

На базе этих постулатов шло успешное развитие геометрии, но в то время как другие постулаты считались совершенно очевидными, очевидность пятого постулата оспаривалось.

Попытаемся определить: в чём собственно заключалась проблема?

Вообразим, что мы взяли две точки А и В на расстоянии 1 м друг от друга и провели через них две прямые а и в, причем так, что а образует с прямой АВ угол а=900, а угол между прямыми в и АВ равен 89059'59" . Иначе говоря, сумма двух внутренних односторонних углов а и в всего на 1 угловую секунду меньше 1800.

Продолжим прямые а и в, пока они не пересекутся в точке С. В результате получится прямоугольный треугольник АВС, у которого угол А прямой, угол при вершине С равен y и составляет 1 угловую секунду. Катет АС этого треугольника имеет длину с/tgС y=2,06*105. Следовательно, длина катета АС составляет приблизительно 2,06*105 м= =206 км (на самом деле немного больше).

Угол в 1 угловую секунду достаточно ощутим (например, при астрономических расчетах). Но проверить, что указанные выше прямые а и в пересекаются на расстоянии 206 км от прямой АВ, совсем не просто. Ведь изготовить плоский лист бумаги и линейку более 200 км не представляется возможным. Использовать оптические приборы? Но тогда надо добавить еще один постулат: свет распространяется по прямой (а это уже не геометрия, а физика). А если сумма углов а и в отличается от 180° еще менее чем на 1 угловую секунду?!

Итак, можно сделать вывод, что пятый постулат не так уж и прост и очевиден.

 Много веков усилия большого числа учёных были направлены на доказательство пятого постулата. Это объяснялось тем, что число аксиом стремились свести к минимуму. Учёные думали, что  пятый постулат можно доказать как теорему, опираясь на остальные аксиомы "Начал". Шла подлинная затяжная "война" математиков с пятым постулатом. Многие ученые, жившие в разные века в различных странах, приняли в ней участие, но особенно далеко продвинулись "в сражениях" Саккери, Лежандр, Гаусс, Больяй, и Лобачевский.

На этом пути было сформулировано много положений, но все они были эквиваленты пятому постулату Евклида.

Например:

1. Сумма углов треугольника равна 1800.
2. Во всех треугольниках сумма углов одна и та же.
3. Через любую точку внутри угла можно провести секущую, пересекающую обе стороны угла.
4. Существуют два подобных, но не равных треугольника.
5. Теорема Пифагора.
6. Для всякого треугольника существует описанная окружность и др.

Современная трактовка пятого постулата (её эквивалент):

Через точку, не лежащую на данной прямой,  можно провести прямую параллельную данной и притом только одну.

Как же всё-таки математики разрешили эту проблему?

3. Неевклидова геометрия.

В конце 18 века у некоторых геометров возникла мысль о невозможности доказать пятый постулат. Допустив, что пятый постулат неверен, математики пытались прийти к логическому противоречию. Они приходили к утверждениям, противоречащим нашей геометрической интуиции, но логического противоречия не получалось.

А может на этом пути вообще не прийти к противоречию? Не может ли быть так, что заменив пятый постулат его отрицанием, мы придём к новой неевклидовой геометрии, которая во многом не согласуется с нашими привычными наглядными представлениями, но, тем не менее, не содержит никаких логических противоречий? Эту простую, но очень дерзкую мысль математики не могли выстрадать в течение двух тысячелетий после появления «Начал» Евклида.

Восемнадцатый век принёс решение загадки пятого постулата. К мысли о том, что допущение альтернативы 5-му постулату ведёт к построению геометрии, отличной от евклидовой, но столь же непротиворечивой, независимо пришли несколько учёных: К.Ф. Гаусс, Н.И. Лобачевский и Я. Бойяи. Гаусс, судя по записям, сохранившимся в его архиве (и опубликованным только в 1860-е гг.), осознал возможность новой геометрии ещё в 1810-е гг., но также никогда не публиковал своих открытий на эту тему: «Я опасаюсь крика беотийцев (т.е. глупцов: жители области Беотия считались в Древней Греции самыми глупыми), если выскажу мои воззрения целиком», - писал он в 1829 г. своему другу математику Ф.В. Бесселю. Непонимание в полной мере выпало на долю Лобачевского, сделавшего первый доклад о новой геометрии в 1826 г. и опубликовавшего полученные результаты в 1829 г. В 1842 г. Гаусс добивается избрания  Лобачевского членом-корреспондентом Геттингенского ученого общества: это было единственным признанием заслуг Лобачевского при жизни. Отец Я. Бойяи – математик Фаркаш Бойяи, также пытавшийся доказать 5-й постулат – предостерегал сына от исследований в этом направлении: «...это может лишить тебя твоего досуга, здоровья, покоя, всех радостей жизни. Эта черная пропасть в состоянии, быть может, поглотить тысячу таких титанов, как Ньютон, на Земле это никогда не прояснится...». Тем не менее, Я. Бойяи в 1832 г. опубликовал свои результаты в приложении к учебнику геометрии, написанному его отцом. Бойяи также не добился признания, к тому же был огорчен тем, что Лобачевский опередил его: больше неевклидовой геометрией он не занимался. Так что только Лобачевский в течение всей оставшейся жизни, во-первых, продолжал исследования в новой области, а во-вторых, пропагандировал свои идеи, опубликовал еще ряд книг и статей по новой геометрии.

В силу приоритета Н. Лобачевского, который первым выступил с этой идеей в 1826 г, и его вклада в развитие новой, отличной от евклидовой геометрии последняя была названа в его честь «геометрией Лобачевского». По-другому «воображаемая» геометрия.

Посмотрим, а что собой представляет эта новая геометрия? Существенно ли она отличается от привычной для нас Евклидовой геометрии?

3.1. Геометрия Лобачевского.

Аксиоматика планиметрии Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется на её отрицание – аксиому параллельности Лобачевского:  Через  точку А  вне прямой а в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, проходит по крайней мере две прямые не имеющие общей точки с прямой а.

Получилось в итоге нечто удивительное, не соответствующее нашим представлениям. Не вдаваясь в доказательства, посмотрим, какие выводы и результаты получил Лобачевский, изменив только одну аксиому.

1. В плоскости Лобачевского через точку C вне данной прямой AB проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие AB. Все прямые, проходящие через C, делятся на два класса – на пересекающие и на не пересекающие AB. Эти последние лежат в некотором угле, образованном двумя крайними прямыми, не пересекающими AB. Именно эти прямые Лобачевский называет параллельными прямой AB, а угол между ними и перпендикуляром – углом параллельности. Этот угол зависит от расстояния от точки C до прямой AB: чем больше это расстояние, тем меньше угол параллельности. Прямые, лежащие внутри угла, называются расходящимися по отношению к AB.

Можно сделать вывод, что в новой геометрии возможно следующее взаимное расположениепрямых: пересекающиеся, параллельные, расходящиеся.

2. Внутри угла существует прямая, параллельная обеим сторонам угла. Она делит все точки внутри угла на два типа: через точки первого типа можно провести прямые, пересекающие обе стороны угла; через точки второго типа нельзя провести ни одной такой прямой. То же верно и для пространства между параллельными прямыми. Между двумя расходящимися прямыми есть две прямые, параллельные им обеим; они делят пространство между расходящимися прямыми на три области: через точки в одной области можно провести прямые, пересекающие обе стороны угла; через точки в двух других областях таких прямых провести нельзя.
3. На диаметр окружности всегда опирается острый, а не прямой угол. Сторона вписанного в окружность правильного шестиугольника всегда больше ее радиуса. Для любого n > 6 можно построить такую окружность, что сторона вписанного в нее правильного n-угольника равна ее радиусу.

В геометрии Лобачевского сохраняются все теоремы, которые в Евклидовой геометрии можно доказать без использования V постулата. Например: вертикальные углы равны; из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр и др.

Однако теоремы, где применяется аксиома о параллельности, видоизменяется:

1. Сумма углов любого треугольника меньше 1800. Разность между 1800 и суммой углов любого треугольника положительна и называется дефектом (D) этого треугольника. Формула для площади треугольника S=k*D, то есть площадь связана с его дефектом. Самую большую площадь имеет треугольник с нулевыми углами, а его стороны имеют бесконечную длину.
2. Два неравных равносторонних треугольника имеют неравные углы.
3. В геометрии Лобачевского не существует подобных фигур.
4. Если все углы одного треугольника равны соответственно углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
5. Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону есть кривая линия, которая называется эквидистантой.

Непонимание, выпавшее на долю Лобачевского, во многом связано с тем, что в его время такие идеи казались чистыми абстракциями и игрой воображения. Действительно ли новая геометрия непротиворечива? (Ведь если даже Лобачевскому не удалось встретить противоречия, это не гарантирует, что оно не будет обнаружено впоследствии). Насколько она соотносится с реальным миром, а также с другими областями математики? Это стало ясно далеко не сразу, и успех, в конечном итоге выпавший на долю новых идей, был связан с открытием моделей новой геометрии.

Выясним: на каких поверхностях, моделях действительно работает геометрия Лобачевского.

  Модели Геометрии Лобачевского.

Чтобы получить доказательство, надо было построить модель. И. Лобачевский этого уже не смог сделать. Построение такой модели выпало на долю математиков следующего поколения.

Три модели геометрии Лобачевского:

1. Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами).
2. Модель Клейна.
3. Модель Пуанкаре.

1. Псевдосфера  Бельтрами.

В 1868 г. Эудженио Бельтрами нашёл поверхность, на которой частично осуществляется планиметрия Лобачевского. Такая поверхность называется псевдосфера. Более точно следует сказать, что она образует модель некоторого куска плоскости Лобачевского (если считать прямыми Лобачевского кратчайшие кривые на этой поверхности). Псевдосфера образуется вращением кривой, называемой трактрисой, вокруг ее асимптоты. Трактриса характеризуется тем, что длина касательной к ней (от точки касания до асимптоты) постоянна.

Итак, псевдосфера – это поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на котором выполняются многие аксиомы и теоремы неевклидовой планиметрии Лобачевского. Например, если начертить на псевдосфере треугольник, то легко усмотреть, что сумма его внутренних углов меньше 2π. Сторона треугольника – это дуги псевдосферы, дающие кратчайшее расстояние между двумя ее точками и выполняющие ту же роль, которую выполняют прямые на плоскости. Таким образом, для планиметрии Лобачевского была найдена реальная модель - псевдосфера. Формулы новой геометрии Лобачевского нашли конкретное истолкование. Ими можно было пользоваться, например, для решения псевдосферических треугольников. Псевдосферу, которую мы назвали «моделью», Бельтрами назвал интерпретацией (истолкованием) неевклидовой геометрии на плоскости.

2. Модель Клейна.

За плоскость принимается какой-либо круг (рис. 1), за точки – точки, принадлежащие этому кругу, за прямые – хорды, конечно с исключением концов, поскольку рассматривается только внутренность круга. Если они пересекаются внутри круга, то это – пересекающиеся прямые; если на границе, то это параллельные прямые. В противном случае они являются расходящимися. За перемещения принимаются преобразования круга, переводящие его в себя и хорды - в хорды. Соответственно, "конгруэнтными" называются фигуры, переводимые друг в друга такими преобразованиями.

Очевидно, что в пределах определенной части плоскости (круга), как бы эта часть не была велика, можно провести через данную точку С множество прямых, не пересекающих данной прямой. Внутри круга любого конечного радиуса существует множество прямых (т.е. хорд), проходящих через т. С и не встречающих прямой АВ (рис.2).

3. Модель Пуанкаре.

А. Пуанкаре предложил другую модель плоскости Лобачевского, основанную на свойствах не проективных, а круговых преобразований. Эта модель также реализована

 на внутренности круга. Прямыми Лобачевского считаются либо прямые, проходящие через центр, либо окружности, перпендикулярные границе модели.
Убедимся, что в предложенных моделях(Клейна и Пуанкаре) работает геометрия Лобачевского (хотя бы на самых простых фактах).

№1.  Через каждую точку вне данной прямой p проходят, по крайней мере, две прямые, не пересекающие данную; есть расходящиеся по отношению к данной; пересекающие данную; параллельные данной.

№2. Пусть прямая p проходит через центр круга. Проекция на p прямой, пересекающей ее или расходящейся с ней, имеет конечную длину, а проекция параллельной представляет собой луч.

№3. В модели Пуанкаре видно, что, если один из углов треугольника фиксирован (т. е. фиксировано положение вершины и лучей, являющихся сторонами угла), то площадь треугольника тем больше, чем меньше сумма углов.

В последствии были предложены и другие модели Лобачевского. Этими моделями была окончательно установлена непротиворечивость геометрии Лобачевского. Тем самым было показано, что геометрия Евклида не является единственно возможной. Это оказало большое прогрессивное воздействие на всё дальнейшее развитие геометрии и математики в целом.

3.2. Геометрия Римана.

Через некоторое время идеи Лобачевского были приняты математиками, и следующим этапом развития геометрии стала эллиптическая геометрия Римана. Риман исходил из того, что через точку, не лежащую на данной прямой, вообще нельзя провести прямую, не пересекающую данную.

В геометрии Римана:

- две прямые всегда пересекаются, параллельных прямых совсем нет;

- сумма углов прямолинейного треугольника больше 1800;

- прямая имеет конечную длину, плоскость – конечную площадь и др.

Частным случаем эллиптической геометрии Римана является сферическая геометрия Римана или геометрия на сфере.

Задачи на сфере

В сферической геометрии окружность максимального радиуса называется «прямой» линией.

Задача1. 

Дано:
сфера(R;О), две прямые на сфере

Доказать: любые прямые пересекаются

Доказательство:        Вторая «прямая» полностью лежит в одной из полусфер, потому что первая «прямая» делит сферу на две половины. Поэтому её радиус (r) < R сферы, т.е. это не «прямая», а окружность => вторая «прямая» не является прямой => любые две «прямые» пересекаются на сфере, что и требовалось доказать.

Задача 2.         

Дано
сфера(R;О), угол α =45° , ΔABC

Найти:
Сумму углов ΔABC, образованного двумя меридианами и параллелью.

Решение: AC перпендикулярна DF; AB перпендикулярна DF ( как меридианы) => угол β и угол α = 90° => ΔABC = угол α + угол β + угол 1 = (90°·2) + 45°= 225°.

Ответ:225о

Задача 3.

Дано:
сфера(R;О),
сфера разбита на 8 частей (равных) тремя ортогональными прямыми; каждая часть является сферическим треугольником.

Найти:
Сумму углов ABC.

Решение:

Так как стороны треугольника ортогональны, углы треугольника по 90° => сумма углов ΔABC = 90°· 3 = 270°.

Ответ: 270°.

4. Поверхности различной кривизны

 Риман развил более общую точку зрения, позволяющую говорить о геометрических свойствах, меняющихся от точки к точке. Вслед за Гауссом Риман развил теорию координат на поверхности – вроде сферических широты и долготы, но, в данном случае, локальных (действующих в малой области, по соседству с какой-либо точкой); с помощью таких координат можно выяснить геометрические свойства в локальной области. Рассмотрим, например, поверхность сложной формы. На ней есть места, где она выпукла, и там локальные геометрические свойства похожи на сферу. Есть места, где поверхность по одним направлениям выгнута в одну сторону, а по другим в другую; там локальные геометрические свойства похожи на псевдосферу. Наконец, есть и «плоские» точки.

Риман выяснил, что важным параметром, определяющим характер локальной геометрии, является кривизна. У сферы (и вообще, у выпуклых поверхностей) кривизна положительна, у псевдосферы отрицательна. У сферы кривизна везде одна и и так же, но на поверхности более сложной формы она может меняться от точки к точке – не только по знаку, но и по модулю. У плоскости, а также цилиндра и конуса, которые можно свернуть из плоского листа, кривизна равна 0. Псевдосфера – это единственная поверхность постоянной отрицательной кривизны. Вы можете выяснить, какой знак кривизны у данной поверхности в той или другой точке, если приложите в этом месте бумажку, постаравшись это сделать как можно плотнее: если бумажка ляжет плотно, кривизна нулевая; если на ней появятся складки и морщины – кривизна положительная, если бумажка начнет рваться – кривизна отрицательная.

Посмотрим на примере, какие точки на поверхности вращения имеют положительную, а какие отрицательную кривизну?

И эллиптическая, и гиперболическая геометрии представляют собой геометрии поверхностей постоянной кривизны. Это означает, что кривизна везде одна и та же, объекты не претерпевают искажений при переходе из одной точки в другую. Неевклидова геометрия более общего типа, обычно называемая римановой геометрией, это такая геометрия, в которой кривизна может меняться от точки к точке любым заданным образом.

5. Геометрия Вселенной.Что есть истина?

Геометрия Евклида, Лобачевского и Римана являются частным случаями общей геометрии Римана для многомерных искривлённых пространств.

Так какая же из них отражают геометрию Вселенной?

1. В начале 19в. многие астрономы предполагали, что Вселенная безгранична  и содержит бесконечное число солнц. Пространство считалось евклидовым. Прямые линии уходили в бесконечность во всех направлениях. Если бы космический корабль отправился в путь в любом направлении и двигался по прямой линии, то его путешествие длилось бы бесконечно долго, причём он никогда не достиг бы границы. Эта точка зрения восходит к древним грекам. Они любили говорить, что, если воин будет бросать своё копьё всё дальше и дальше, в пространство, он никогда не сможет достичь конца; если же такой конец вообразить себе, то воин смог бы стать там и метнуть своё копьё дальше!

Во времена Ньютона физики представляли себе мировоепространство как огромное «вместилище», заполненноеразличныминебеснымителами, между которыми действуютсилывзаимногопритяжения. Пространство обладает лишь чисто геометрическими свойствами, например, протяженностью, объемом и т. п. Взаимодействие же тел, силы, действующие между ними, не имеют к свойствам самого пространства никакого отношения, геометрия евклидова.

«Причину… свойствсилытяготения, — писал сам Ньютон в одном из своих трудов, — я до сих пор не мог вывести из явления, гипотез же я не измышляю».

        2. Первый шаг к более глубокому пониманию проблемы был сделан великим русским математиком Н. И. Лобачевским, который показал, что геометрия окружающего нас мира может быть совсем не такой простой и очевидной, как это представлялось раньше.

Естественно возникает вопрос: если евклидова геометрия не единственная возможная геометрическая система, то вполне вероятно, что и геометрические свойства Вселенной могут выходить за рамки этой системы…

3. Следующий шаг к более глубокому пониманию строения Вселенной и внутренней природы тяготения был сделан в начале текущего столетия Альбертом Эйнштейном в его, так называемой общей теории относительности.

Основная идея этой теории состояла в том, что свойства пространства объявлялись неразрывно связанными со свойствами материи.

Однажды какой-то предприимчивый газетный репортер обратился к Эйнштейну с просьбой изложить суть его теории в одной фразе и так, чтобы это было понятно широкой публике. «Раньше полагали, — ответил на это Эйнштейн, — что если бы из Вселенной исчезла вся материя, то пространство и время сохранились бы; теория относительности утверждает, что вместе с материей исчезли бы также пространство и время».

Эйнштейн пришел к выводу, что силы тяготения непосредственно связаны с физическими свойствами самого пространства. Оказалось, что любое тело не просто существует в пространстве само по себе, но изменяет «вокруг себя» его геометрию. Пространство искривляется и световой луч в нем будет распространяться уже не по прямой, а по изогнутой линии.

Тяготение, согласно Эйнштейну, вовсе не является силой! Солнце не «притягивает» планеты. Земля не «притягивает» вниз падающее яблоко. Просто большое материальное тело, такое, как Солнце, приводит к искривлению пространства – времени в окружающей его области.

Чем ближе к Солнцу, тем больше кривизна. Иными словами, структура пространства – времени в окрестности больших материальных тел становится неевклидовой. В этом неевклидовом пространстве тела продолжают выбирать возможные наиболее прямые пути, но то, что является прямым в пространстве – времени, изображается кривой линией, когда проектируется на пространство.

Попробуем пояснить это с помощью хотя и несколько грубой, но зато наглядной аналогии. Представьте себе резиновую пленку, натянутую на обруч, и лежащий на ней маленький металлический шарик. Если толкнуть шарик, он покатится по поверхности пленки и «прочертит» прямую линию.

Поместим теперь в центре пленки большой металлический шар. Под его тяжестью пленка прогнется, поверхность ее искривится. Если теперь снова пустить по пленке маленький шарик, то па этот раз, благодаря наличию углубления, он опишет линию, искривленную в направлении большого шара.

Подобным же образом пространство – время искривляется в присутствии больших масс, таких, как Солнце. Это искривление и есть поле тяготения. Планета, движущаяся вокруг Солнца, движется по эллипсу не потому, что Солнце притягивает ее, а благодаря особым свойствам поля; в этом поле эллипс представляет собой наиболее прямой путь, по которому планета может двигаться в пространстве – времени.

Такой путь называется геодезической линией. На евклидовой плоскости, такой, как ровный лист бумаги, наиболее прямая линия между двумя точками есть прямая линия. Она является также кратчайшим расстоянием. На поверхности шара геодезическая линия между двумя точками есть дуга большого круга. Если натянуть веревку между этими точками, она отметит геодезическую линию. Последняя также представляет собой наиболее прямое и кратчайшее расстояние между двумя точками.

Следствием теории относительности явился в частности тот факт, что наше, как мы думали, трёхмерное пространство на самом деле таковым не является. А живём мы в четырёхмерном искривлённом пространстве-времени, которое описывается общей геометрией Римана. Тяготение на самом деле результат искривления пространства вблизи массивных тел. Следствием этого является замедление времени вблизи тяжёлых тел, кратчайшее расстояние между точками не прямая, а некоторая кривая и др.

Таковы выводы общей теории относительности. Но как проверить их на опыте? Само собой разумеется, что осуществить подобный эксперимент в лабораторных условиях практически невозможно. Ведь для того, чтобы отклонение светового луча оказалось достаточно заметным, на него необходимо воздействовать чрезвычайно большой тяготеющей массой.

К счастью, подобный эксперимент «ставит» сама природа. Известен случай: во время полного солнечного затмения учёные смогли зафиксировать искривление луча света от далёкой звезды, лежащей на одной прямой Земля-Луна-Солнце, хотя видеть эту звезду были не должны по классической физике Ньютона и геометрии Евклида.

Установлено достоверно замедление времени при скоростях, близких к скорости света. Параметры орбиты Меркурия, самой близкой к Солнцу планеты не укладывались в теорию тяготения Ньютона, а теория относительности смогла это объяснить искривлением пространства вблизи Солнца.

4. Так какая геометрия описывает это искривлённое пространство? Сферическая Римана, эллиптическая Лобачевского или какая-то другая? Всё зависит от модели Вселенной.

 Открытие красного смещения показало, что Вселенная во всяком случае не сжимается; космологи обратились к моделям расширяющейся Вселенной.

Конструировались всевозможные модели расширяющейся Вселенной. Советский ученый Александр Фридман и бельгийский аббат Жорж Леметр разработали две наиболее известные модели. В некоторых из этих моделей пространство предполагается замкнутым (положительная кривизна), в других – незамкнутым (отрицательная кривизна), в третьих вопрос о замкнутости пространства остается открытым.

Возможно, с появлением более мощных телескопов удастся решить вопрос о том, какова кривизна Вселенной – положительна, отрицательна или равна нулю. Телескоп позволяет видеть галактики лишь в определенном сферическом объеме. Если галактики распределены случайным образом и если пространство евклидово (нулевой кривизны), число галактик внутри подобной сферы должно быть всегда пропорционально кубу радиуса этой сферы. Другими словами, если построить телескоп, которым можно заглянуть в два раза дальше, чем любым телескопом до этого, то число видимых галактик должно увеличиться с n  до 8n . Если этот скачок окажется меньше, то это будет означать, что кривизна Вселенной положительна, если больше – отрицательна.

6. Выводы.

Итак, кроме привычной для нас Евклидовой геометрии, оказывается,  существуют и другие, неевклидовые.

Открытие новой неевклидовой геометрии совершило подлинный переворот в математических представлениях. Оно не только указало принципиально новые пути для развития самой математики, но и дало чрезвычайно важный толчок к новому пониманию роли математических и, в частности, геометрических методов в изучении окружающего нас мира. Изменило представление о геометрии Вселенной, помогло объяснить многие физические явления.

Сейчас считается, что вселенная расширяется, но если масса вещества всей вселенной превысит определенный порог, то расширение сменится сжатием, то есть пространство будет искривлено таким образом, что луч света, однажды покинув одну точку, вернется обратно, а это значит, мы живем в мире эллиптической геометрии Римана. Если массы не хватит, то вселенная будет расширяться неограниченно, а значит, мы живем в мире гиперболической геометрии Лобачевского.

Но всё это только предположения, так как проверить опытным путём в пределах Вселенной это практически невозможно. Но может быть, когда-нибудь, появятся более сильные приборы, позволяющие решить данную проблему. Или откроют новую геометрию, которая  более точно опишет структуру Вселенной? Это покажет только время.  Вопросов ещё очень много.

На сегодняшний день можно сказать только то, кривизна пространства проявляется в больших масштабах и вблизи массивных космических тел, а в повседневной жизни мы можем с успехом пользоваться геометрией Евклида и механикой Ньютона с большой точностью, так как нелинейные поправки на кривизну пространства ничтожны малы

Список источников:                

1. Аксёнова М.Д., Математика. Энциклопедия для детей. – М.: Аванта, 2003. – 693с.
2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 7—9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. — 20-е изд. — М. : Просвещение, 2010.— 384 с.
3. Гарднер М. , Теория относительности для миллионов. – М.: Атомиздат, 1967. – 193с.
4. Глейзер И.Г., История математики в школе IX-X классы. Пособие для учителей. –М.: Просвещение, 1983. –351с.
5. Лаптев Б.Л., Н.И. Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. - М. «Просвещение», 1970г.
6. Неевклидовы пространства и новые проблемы физики : Сб. ст., посвящ. 200-летию Н.И.Лобачевского / Д. Д. Иваненко . – М. : Белка, 1993 . – 71 с.
7. Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. А.П. Савин – М.: Педагогика, 1989. -  352с.
8. Юшкевич А.П., История математики в России. – М.: Наука, 1968. – 592с.
9. http://allkosmos.ru/rasshirenie-vselennoj-model-vselennoj/ (статьи о космосе)
10. http://www.bankreferatov.ru
11. http://www.refportal.ru
12. http://www.edu.ru
13. http://www.allbest.ru
14. http://www.themesoch.narod.ru/t_s
15. http://www.referat.online.ru
16. http://www.pautina.net