Круги Эйлера

Слайд 1

Слайд 2

Очень многие факты в геометрии, алгебре и комбинаторике, доказанные Эйлером, в том числе и задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, часто предлагаются в математических олимпиадах , но в школьной программе не отводятся часы на изучение данной темы. Актуальность работы состоит в том, что задачи имеют практический характер. Задачи развивают логическое мышление, заставляют задумываться, подходить к решению какой либо проблемы с разных сторон, выбирать из множества способов решения наиболее простой, легкий путь. Актуальность

Слайд 3

Цель исследования: Знакомство с новым методом решения задач и изучение материала, применяемого на уроках математики и внеурочных занятиях, где можно использовать круги Эйлера как один из приемов решения задач.

Слайд 4

- Изучить биографию одного из величайших ученых-математиков Леонарда Эйлера ; - Изучить теоретические основы понятия «Круги Эйлера»; - Решить задачи вышеназванным методом; Задачи исследования:

Слайд 5

Биография Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года в семье пастора, жившеи ̆ в швейцарском городке Базеле. Начальное обучение Эйлер получил под руководством отца, который готовил его к духовной карьере. С детства увлекался математикой . В 13 лет Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета . В 17 лет был удостоен учёнои ̆ степени магистра . В 19-лет Эйлер был включен в число кандидатов на должность профессора физики .

Слайд 6

Эйлер активно трудился до последних дней. 7 сентября после обеда, проведённого в кругу семьи, беседуя с астрономом А. И. Лекселем о недавно открытои ̆ планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг. Похоронен на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге. Умирая, он оставил много рукописей, которые Петербургская академия публиковала в течение последующих 47 лет.

Слайд 7

Великий ученый Леонард Эйлер занимает одно из первых мест в истории мировой науки. Полное собрание его трудов составляет 72 тома, более 850 научных работ. Этот тихий и скромный человек, полностью ослепший, много работал, совершив великое множество научных открытий. С точки зрения математики, XVIII век — это век Эйлера. Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и др. дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру».

Слайд 8

– геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между множествами. Впервые он использовал их в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что круги очень подходят для того, чтобы «облегчить наши размышления.» Наряду с кругами в подобных задачах применяют прямоугольники и другие фигуры.

Слайд 9

В математике множеством называют совокупность, набор каких-либо предметов (объектов). Предметы, составляющие множество, называются его элементами. Множества обычно обозначаются большими буквами латинского алфавита: А, В, С,… . Термин «множество» употребляется независимо от того, много или мало в этом множестве элементов, Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ø

Слайд 10

Покажем, например, С помощью диаграммы Эйлера, что множество А является подмножеством множества В: С помощью такой диаграммы становиться наглядным, например, такое утверждение: если А принадлежит В, а В принадлежит С, то А принадлежит С.

Слайд 11

Пересечением двух множеств А и В называют множество, состоящее из всех общих элементов множеств А и В, т. е. Из всех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. А В А ∩ В

Слайд 12

Объединением С двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А или множеству В. Обозначают это так: С = А U В. Иными словами, в объединение входят все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств. А U В

Слайд 13

Разность множеств Разностью А\В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В. A B

Слайд 14

1. ВНИМАТЕЛЬНО ИЗУЧИ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ 2. ПОСТРОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ 3. РАССТАВЬ ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ 4. НАЙДИ НЕДОСТАЮЩИЕ ДАННЫЕ 5. ПРОВЕРЬ РЕШЕНИЕ АЛГОРИТМ

Слайд 15

СОКРОВИЩА ФЛИНТА Одноногий Сильвер со своей шайкой обнаружил клад, спрятанный самим Флинтом. Пираты были крайне нетерпеливы – всем хотелось скорее получить свою долю. 52 – достались настоящие пиастры, а 30 пиратов получили фальшивые. 12 – достались и фальшивые и настоящие. Сколько всего пиратов нашло сокровища? РЕШЕНИЕ 52-12=40 30-12=18 ИТОГО : 40+12+18=70 12 Н-40 Ф-18 70

Слайд 16

" Обитаемый остров" и "Стиляги" Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»? Решение Чертим два множества таким образом: 15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров». 11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги». 6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств. Получаем: Ответ. 5 человек смотрели только «Стиляги».

Слайд 17

«Мир музыки» В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры? Решение Изобразим эти множества на кругах Эйлера. Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры

Слайд 18

Гарри Поттер, Рон и Гермиона На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал Рон? Решение Учитывая условия задачи, чертеж будет таков: Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно, 26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал Рон. Ответ. 8 книг прочитал Рон. 5 8

Слайд 19

«Пионерский лагерь» В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом? Решение Изобразим множества следующим образом: 70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек. Ответ. 5 человек заняты только спортом.

Слайд 20

Спортивный класс В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта? Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта? Решение. Воспользуемся кругами Эйлера. Ответ. Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта человека. Увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

Слайд 21

Пусть большой круг изображает всех учащихся класса, а три меньших круга Б , Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов. Тогда фигура Z , общая часть кругов Б , Х и Ф , изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта. Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним лишь видом спорта - баскетболом занимаются 16 - (4 + z + 3) = 9 - z ; одним лишь хоккеем 17 - (4 + z + 5) = 8 - z ; одним лишь футболом 18 - (3 + z + 5) = 10 - z . Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочкам: 3 + (9 - z ) + (8 - z ) + (10 - z ) + 4 + 3 + 5 + z = 38, z = 2. Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта. Складывая числа 9 - z , 8 - z и 10 - z , где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

Слайд 22

Выводы Применение кругов Эйлера позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Слайд 23

"Чем нагляднее метод, тем очевиднее решение"

Слайд 24

Благодарим за внимание !