«Подлинная история паука и мухи»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УДМУРТСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №16» г. ИЖЕВСКА

Исследовательская работа по геометрии

Подлинная история паука и мухи

Секция: математика

Выполнила:  Коробейникова Анастасия                                  Руководитель: Логинова Нина

                        Андреевна                                                                                                 Васильевна

                        ученица 9б класса  МБОУ СОШ №16                                 учитель математики

Ижевск - 2012

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение…………………………………………………………………………..3

2. Внутри параллелепипеда………………………………………………………. .4

3. Вольная интерпретация……………………………………………………….....6

4. Из угла в угол……………………………………………………………………..7

5. Круговой путь…………………………………………………………………….9

6. Петля, дуга, окружность………………………………………………………...12

7. На цилиндрической поверхности………………………………………………14

8. Заключение……………………………………………………………………….16

9. Список литературы………………………………………………………………17

1. ВВЕДЕНИЕ

В книгах по занимательной математике нередки геометрические задачи, в которых упоминаются насекомые (например, пауки, мухи, пчелы). Должно быть, это связано не только с желанием авторов заинтересовать читателя неожиданным сюжетом, но и с тем, что крошечные создания очень подходят на роль «подвижных точек»: они могут легко перемещаться в пространстве, описывая на поверхности фигур причудливые линии. Уже одного этого достаточно, чтобы привлечь внимание геометра.

Среди задач на изучение траекторий самой известной является задача о пауке и мухе. В ней хищнику-пауку надо отыскать путь к своей жертве, неподвижно сидящей в указанной точке поверхности многогранника или другого тела. Причем не какой-нибудь, а самый короткий путь, быстрее всего ведущий к цели.

Примечательно, что каждый автор, будь то собиратель головоломок или признанный мастер этого жанра, предложил собственную версию задачи о пауке и мухе, сохранив и заложенную в ней идею, и общий подход к решению. Любопытно сравнить вариации на тему этой красивой задачи, придуманные известными авторами, а заодно и посмотреть, в каких направлениях развивался ими классический сюжет и какие новые интересные исследования мог бы породить. Этому и посвящена моя работа.

2. ВНУТРИ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

Задача 1 (из книги Г.Э. Дьюдени «200 знаменитых головоломок мира»).

Внутри прямоугольной комнаты, имеющей 30 футов в длину и по 12 футов в ширину и высоту, на середине одной из торцовых стен в 1 футе от потолка сидит паук (точка А). Муха сидит на середине противоположной стены в 1 футе от пола (точка В, рис. 1). Каков кратчайший путь, каким паук может добраться до неподвижной мухи?

Решение.

Наверняка можно утверждать только то, что путь паука проходит как минимум по трем граням параллелепипеда и представляет собой ломаную. Чтобы понять, как её звенья располагаются на внутренней поверхности многогранника, посмотрим, как может выглядеть путь паука на развертке. Из всех возможных случаев выделим четыре наиболее благоприятных (рис. 2).

Вычислим длину отрезка АВ в каждом случае.

Рис. 2, а: АВ= 42 фута.

Рис. 2, б: АВфута, т.к. АВ=10+42

Рис. 2, в: АВ=40 футов, т.к. АВ=24+32

Рис. 2, г: АВ40,72 фута, т.к. АВ=17+37

Итак, кратчайший путь имеет длину 40 футов и пролегает сразу через пять граней параллелепипеда (или три стены, потолок и пол комнаты).

Выходит, пауку придется передвигаться по замысловатой пространственной ломаной.

Впрочем, «за кадром» остался еще один важный вопрос, не прозвучавший в задаче Дьюдени. Это вопрос о количестве её решений. Будет ли решение в каждом случае единственным или имеется несколько ломаных минимальной длины, проходящих через разные тройки (четверки, пятерки) граней данного многогранника? На последнее предположение наталкивает симметрия параллелепипеда, а также центрально-симметричное расположение паука и мухи, выбранное автором, конечно, не случайно.

3. В СТИЛЕ ВОЛЬНОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ

До сих пор мы обсуждали некоторые вопросы, естественно возникающие по мере изучения описанной в задаче 1 ситуации. Если хотите, «углублялись» в ситуацию, не выходя при этом за рамки задачи, а лишь расширяя их в двух возможных направлениях.

А ведь головоломку Дьюдени легко видоизменить, варьируя лишь исходные данные. Скажем, задать иное начальное положение паука и мухи: посадить их в противоположных углах комнаты, разместить на полу и на потолке и т.п.

Можно указать новые числовые данные: размеры комнаты или расстояния паука и мухи от потолка и пола. Наконец, вместо прямоугольного параллелепипеда рассмотреть другие пространственные фигуры, в том числе тела вращения, скажем цилиндр. Ведь исследовать передвижения паука по цилиндрической поверхности не менее интересно, чем наблюдать за его перемещениями по многограннику!

А чтобы помочь пауку найти кратчайшую дорогу к цели, можно воспользоваться проверенным способом: развернуть поверхность на плоскость, начертить отрезок с концами в начальной и конечной точке пути, затем свернуть поверхность, придав ей первоначальную форму. Тогда на ней будет видна искомая траектория – некоторая кривая или ломаная.

Ну, а теперь перейдем к «вольным интерпретациям» знаменитой задачи, предложенным в разное время несколькими авторами – классиками занимательной математики.

4. ИЗ УГЛА В УГОЛ

Задача 2 (из книги Е.И. Игнатьева «В царстве смекалки»).

На потолке в углу С комнаты сидит паук, а на полу в противоположном углу К спит муха (рис. 3). Какой путь должен избрать паук, чтобы добраться до мухи по кратчайшему расстоянию?

                                                                          Рис. 3

Как видим, паук и муха переместились в вершины параллелепипеда, служащего моделью комнаты, однако по-прежнему расположены симметрично относительно его центра. А это, наряду с симметрией самого многогранника, позволяет упростить решение: вместо шести рёбер – АВ, АD, BE, FG, EG, DF, которые может пересечь траектория паука, достаточно рассмотреть три последние.

Решение.

Возможные кратчайшие пути, пересекающие ребра FG, EG, и DF, показанные на рис. 4 и 5.

                                                                              Рис. 4

                                              Рис. 5

Пусть длина, ширина и высота комнаты равны а, b, c соответственно. Найдем длины отрезков СК, С1К и С2К:

СК=(a +b)+c= a+b+c+2ab

С1К=(a +c)+b= a+ b+c+2ac

С2К=(b +c)+a= a+ b+c+2bc

Выражения отличаются только последним слагаемым. Произведения 2ab, 2bc, 2ac могут принимать различные значения при разных значениях a, b, и c. Иначе говоря, длина кратчайшего пути зависит от размеров комнаты и при определённом их соотношении любой из трех отрезков СК, С1К, С2К может служить траекторией паука. Разделив 2ab, 2ac и 2bc на 2abc, получим дроби 1/с, 1/b, 1/a.

Возможны три случая. Если a>b и a>с, от наименьшей является дробь 1/a, соответствующая последнему выражению, тогда кратчайшим будет путь С2К. Если b>a и b>c, то самым коротким будет путь С1К. Если c>a и с>b, то пауку следует выбрать путь СК. Итак, маршрут минимальной длины должен пересекать самое длинное из ребер FG, EG, DF.

5. КРУГОВОЙ ПУТЬ

В книге Г. Штейнгауза «Математический калейдоскоп» история паука и мухи разыгрывается уже на поверхности куба. Как и в задаче Дьюдени, хищник и его жертва сидят на противоположных гранях многогранника, однако их исходное положение не привязано к каким-то определённым точкам, а может быть произвольным. Если паук и муха находятся в точках P и M соответственно, то кратчайший путь паука на развёртке многогранника будет пролегать по отрезку PM (рис. 7).

                                                        Рис. 7

Однако самого автора, кажется, больше занимает другой вопрос: как будет выглядеть путь мухи, если она захочет обойти все грани куба, дабы удостовериться в отсутствии паука и как можно скорее вернуться на прежнее место? Оказывается, круговой путь мухи на развёртке куба также пролегает по прямой и, как ясно из рис. 8, его длина будет одной и той же, из какой бы точки ни начала движение муха.

                                                           Рис. 8

                                                    Рис. 9

Штейнгауз указывает и другие любопытные свойства кратчайших круговых дорог на поверхности куба. Например, такое: всякое семейство параллельных дорог покрывает ровно половину поверхности многогранника (рис. 9), а всего таких семейств насчитывается четыре. Упоминает он и о том, что у мухи всегда имеются на выбор две кратчайшие дороги. Через каждую точку М на поверхности куба проходят сразу две плоские простые замкнутые ломаные одинаковой длины из шести звеньев каждая, причем их звенья, проходящие через точку М, пересекаются под прямым углом (рис. 10).

                                                        Рис. 10

Траектория мухи, представляющая собой шестиугольник, и сама по себе является интересным объектом для изучения. С одной стороны, получившуюся фигуру можно исследовать как выпуклый многоугольник, весьма богатый свойствами, а с другой – рассмотреть как сечение плоскостью, пересекающей все его грани. Это позволит, в частности, понять, как вычислить длину кратчайшего кругового пути на поверхности куба и как построить этот путь на заданном изображении многогранника.

Решение задачи на построение кратчайшего кругового пути мухи, приведенное на рис. 10, станет очевидным, если заметить, что траектория на развертке куба параллельна диагоналям его граней (см. рис. 8 и 9). Значит, каждая сторона шестиугольника будет изображаться как отрезок, параллельный одной из диагоналей той грани куба, в плоскости которой он лежит. Так что достаточно знать, в какой точке сидит муха. А если к тому же будет известно, параллельно какой из двух диагоналей квадрата поползет насекомое, мы получим единственное  возможное решение.

6. ПЕТЛЯ, ДУГА, ОКРУЖНОСТЬ

Автор «Математического калейдоскопа» рассматривает также задачу на отыскание кратчайшего пути бдительной мухи, пролегающего по конической поверхности. Интуиция подсказывает, что насекомое должно двигаться по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости основания конуса (рис. 11).

Но это не так. На самом деле муха опишет на поверхности конуса петлю, которая имеет излом в исходной точке М (рис. 11). Если бумажную модель конической поверхности разрезать по образующей, проходящей через точку М, и разложить на столе, то развертка будет иметь форму кругового сектора.

                                          Рис. 11

Возможны два случая. Если угол сектора меньше 180 , кратчайший путь мухи на развертке будет пролегать по отрезку ММ1, а вовсе не по дуге с концами в точках М и М1, соответствующей окружности    (рис. 12, а). Если же угол сектора равен или больше 180  , мухе придется подняться по отрезку образующей на вершину S конуса, осмотреться по сторонам и спуститься обратно тем же путем (рис. 12, б).

                      Рис. 12

Заметим, что если вместо конической поверхности рассмотреть сферу (которую, кстати, нельзя развернуть и разложить на плоскости без искажения длин кривых), то кратчайший круговой путь насекомого пройдет по большой окружности. А вот в задаче о пауке и мухе кратчайший путь паука на сфере должен пролегать по меньшей из двух дуг большой окружности, проходящей через точки P и M., и он будет определен однозначно (рис. 13).

                          Рис. 13

7. НА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Вернемся к истории хищника и его жертвы. Для полноты картины следует посмотреть, как развивались бы в ней события, случись они на цилиндрической поверхности. Конечно, авторы, писавшие в жанре занимательной математики, не оставили их без внимания. Перед нами – одно из продолжений истории о пауке и мухе.

Задача 3  (из книги Ч.Б.Таусенда  «Звездные головоломки»)

По стеклянному цилиндру высотой 4 дюйма и с длиной окружности 6 дюймов ползет паук. Сейчас он находится на расстоянии 1 дюйма от нижнего края цилиндра (точка Р). Напротив, на внутренней стороне, всего в одном дюйме от верхнего края, сидит муха (точка М, рис. 14). Пауку нужно отыскать кратчайший путь, чтобы добраться и сцапать жертву. Что это за путь и сколько всего дюймов придется проползти пауку?

  Рис.14                                                                               Рис.15

Решение

Представим,  что нам удалось разрезать цилиндрическую поверхность по некоторой образующей и разложить на плоскости. Получился прямоугольник размером 6х4 дюйма. И хотя благодаря прозрачности материала мы видим обе отмеченные точки, одна из них, пусть это будет точка Р, находится на обратной стороне развертки (рис. 15). Чтобы добраться до мухи, паук сначала должен переползти через ближайший край цилиндра на его внутреннюю поверхность. Но в какой именно точке? По сути это и есть главный вопрос и ключ к решению.

Поскольку путь паука на развертке состоит из двух отрезков, не лежащих на одной прямой, т.е. является ломаной, исходная задача сводится к другой хорошо известной со времен древних греков задаче о нахождении на заданной прямой такой точки, сумма расстояний от которой до двух данных точек, лежащих в одной полуплоскости относительно этой пря мой, минимальна.

А эта задача решается с помощью осевой симметрии: в данном случае достаточно построить точку Q, симметричную Р относительно нижней стороны развертки, и провести отрезок МQ, тогда точка N пересечения его с нижней стороной развертки – искомая. Итак, кратчайший путь паука пролегает по ломаной PNM (рис. 16), причем одно ее звено расположено на лицевой стороне развертки цилиндра, а другое – на оборотной.

Так чему же равна длина найденного пути? Из условия следует, что MR=3+1=4дюйма, RQ=6:2=3дюйма (рис.16), тогда MN+NP=MN+NQ=MQ= =5дюймов.

                                                      Рис. 16

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Остроумная выдумка математика, а быть может, и просто любителя математики, некогда придумавшего задачу о пауке и мухе, имела далеко идущие последствия. Её идея оказалась столь красива и плодотворна, а решения столь просты и изящны, что задача эта популярна и по сей день: разные её варианты можно встретить не только на страницах книг по занимательной математике, но и в задачниках по геометрии, и в школьных учебниках.

…А всё-таки интересно, выбирает ли паук на самом деле из всех возможных путей к жертве самый короткий? Способен ли он решить подобную задачу, четко ориентируясь в пространстве? А, собственно, почему бы и нет? Умеют же находить кратчайший путь к цели некоторые насекомые. Например, экспериментально было установлено, что если перед ульем поместить туннель, изогнутый под прямым углом, а в его конце поставить чашку с сиропом, то пчела из всех возможных выберет то, что соответствует кратчайшему пути от улья до чашки. А путь этот пролегает по гипотенузе треугольника, катетами которого служат отрезки туннеля. Впрочем, примеры проявления математического гения некоторых насекомых столь необычны и интересны, что заслуживают отдельного разговора.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Г.Э. Дьюдени. 200 знаменитых головоломок мира. – М.: Наука

2. Г. Штейнгауз. Математический калейдоскоп. – М.:Наука

3. Е.И. Игнатьев. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1979

4. Я.И. Перельман. Живая математика. – М.: Наука, 1974

5. Л.С.Атанасян. Геометрия 10-11. – М.: Просвещение, 2009

           6.Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе»,M.:

           Школьная пресса,  2008