Польза вневписанных окружностей

Октябрьский район

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение города

Новосибирска « Лицей №185»

секция математики

9 класс

Белозерова Мария Сергеевна

Польза вневписанных окружностей

Руководитель:

Белина Людмила Ивановна,

учитель математики,

высшая квалификационная категория

конт. тел. 89137894132

Новосибирск.  2013

Тезисы исследовательской работы по теме

 «Польза вневписанных окружностей»

В данной работе рассматриваются:

• определение вневписанной окружности,
• теоремы:

- о центре вневписанной окружности;

- о длине отрезка от вершины треугольника до точки касания;

- о площади треугольника; о радиусах вневписанных окружностей;

- о положении точки касания вневписанной окружности со стороной

  треугольника, вершиной треугольника и точка касания вписанной

  окружности;

- о сумме радиусов вписанной окружности;

- о сумме попарных произведений радиусов вневписанных окружностей;

- о произведении радиусов вневписанных окружностей.

Выполнены задачи:

- на построение треугольника по двум углам и периметру;

- по стороне, прилежащему углу и сумме двух других сторон.

- по нахождению боковой стороны равнобедренного треугольника по

  сумме данных периметров отсеченных касательными, проведенными к

 вписанной в треугольник окружности, треугольников и основанию;

- на нахождение периметра отсеченного треугольника.

Доказана теорема Геродота при помощи свойств вневписанной

окружности.

Содержание

• Введение.
• Определение.
• Теоремы:

1. Центр вневписанной окружности.
2. Длина отрезка от вершины угла до точки касания с вневписанной окружностью на продолжении стороны этого угла.
3. Площадь равнобедренного треугольника через радиус вневписанной окружности, полупериметр треугольника и сторона, касающаяся окружности.
4. Взаимное расположение вершины треугольника, точек касания вневписанной и вписанной окружности.
5. Сумма величин, обратных радиусам вневписанной окружности.
6. Площадь треугольника через радиусы вневписанных окружностей.
7. Диаметр описанной окружности.
8. Радиус вневписанной окружности через полупериметр и тангенс угла.
9. Полупериметр треугольника через радиусы вневписанных окружностей.
10.  Произведение радиусов вневписанных окружностей.
11.  Величина обратная высоте треугольника.

• Решение задач.

1. Задача на построение треугольника по двум углам и периметру.
2. Задача по нахождению боковой стороны равнобедренного треугольника по сумме данных периметров отсеченных касательными, проведенными к вписанной в треугольник окружности, треугольников и основанию.
3. Задача на нахождение периметра отсеченного треугольника.
4. Построение треугольнику по данному углу, прилежащей стороне и сумме двух других сторон.
5. Доказательство теоремы Герона.

• Заключение.
• Список использованной литературы.

Введение

Цель данной работы - изучить вневписанную окружность, как вспомогательный объект в решении задач.

Задачи:

•        Рассмотреть определение вневписанной окружности;

•        Разобрать основные теоремы о вневписанной окружности и следствия из них;

•        Закрепить полученные знания на практике.

В большей части заданий термин «вневписанная окружность» не фигурирует, а появляется как вспомогательная фигура, именно поэтому объект данного исследования помогает решать различные геометрические задачи.

Данная работа выходит за рамки школьной программы и будет полезна учащимся, интересующимся математикой, или для учащихся специализированных классов.

Определение

Вневписанная окружность  – окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. У любого треугольника существует три вневписанных окружности.

Существование и единственность вневписанной окружности обусловлено тем, что биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими двумя, пересекаются в одной точке, которая и является центром такой окружности.

Рассмотрим теоремы о вневписанных окружностях.

Теоремы

Теорема 1.

Биссектриса внутреннего угла треугольника и биссектрисы двух внешних углов, не смежных с первым, пересекаются в одной точке.

Дано:                                      

ΔАВС

Окр. (О, R)

Доказать:

АО∩ВО∩СО=О

Доказательство:

1. Пусть биссектрисы внешних углов В и С пересекаются в точке О.
2. Биссектрисы равноудалены от сторон угла. Из этого следует, что расстояния от прямых ВС и АС равны (ON), аналогично равны расстояния от прямых ВС и АВ (ОМ).
3. Тогда очевидно, что точка О равноудалена от сторон Ас и АВ, т.е. лежит на биссектрисе ∠ВАС.

Доказано.

Следствие 1.

ON=OM=OH, значит точки N, М, Н лежат на одной окружности с центром в точке О.

Теорема 2.

Длина отрезка от вершины угла до точки касания с вневписанной окружностью на продолжении стороны этого угла равна полупериметру треугольника.

Дано:

ΔАВС

Окр. (О, R)

ON⊥ВN

ОМ⊥СМ

ОН⊥ВС

Доказать:

AN=рΔАВС

Доказательство:

1. Пусть M и N – точки касания окружности с прямыми АВ и ВС.
2. Тогда CM=CH,

BH=BN,

РΔАВС=АС+АВ+ВС=АС+СН+ВН+АВ=АС+СN+АВ+ВМ=АN+АМ.

3. Т.к. АN=АМ, то

p =АN.

Доказано.

Теорема 3.

Площадь равнобедренного треугольника равна произведению радиуса вневписанной окружности на разницу полупериметра и стороны, касающейся окружности.

Дано:

ΔАВС

Окр. (О, R)

АВ=ВС=АС

ON⊥AN

OM⊥AM

Доказать:

SΔABC = ON(p-CB)

Доказательство:

1. S∆ACO=AO ∙ CH =  ∙  ∙ AC ∙ sinA = ON ∙ AC, аналогично S∆ABO = ON ∙ AB, S∆OCB = ON ∙ CB
2. SΔABC=SΔOCA+SΔOBA-SΔOCB=ON ⋅AB+ON ⋅AB-ON ⋅ CB = ON (AC+AB- CB) = ON(p-CB)

Доказано.

Следствие 2.

Радиусы вневписанных окружностей можно вычислить по формуле: ra=, rb=, rc=.

Теорема 4.

Вершина треугольника, точка касания вневписанной окружности и точка касания вписанной окружности лежат на одной прямой.

Дано:

ΔАВС

Окр.(O;R)

Доказать:

А∩АH

К∩АH

Н∩АH

Доказательство:

1. Пусть прямая АК пересекает ВС в некоторой точке.
2. Проведем через точку К прямуюЕD так, чтобы ED||ВС.
3. Окружность, вписанная в ΔАВС, является вневписанной для ΔАЕD. Но ΔАВС и ΔАЕDгомотетичны.
4. Значит, окружность, вневписанная в ΔАВС, будет касаться ВС в точке Х. Таким образом, точка Х совпадает с Н.
5. Из этого следует, что точки А, К и Н лежат на одной точке.

Доказано.

Теорема 5.

Сумма величин, обратным радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности.

Дано:

ΔАВС

Окр.(О;r)

Окр.(A;ra)

Окр.(С;rс)

Окр.(В;rb)

Доказать:

=++

Доказательство:

1. Т.к. ra=, rb=, rc=, то =, =, =, формула для радиуса вписанной окружности r=.
2. Складывая формулы получаем .

Доказано.

Теорема 6.

Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения радиусов вневписанных окружностей около данного треугольника и радиуса вписанной окружности.

Дано:

ΔАВС

Окр.(О, ra)

Окр.(Q, rb)

Окр.(W, rс)

Доказать:

Доказательство:

1. Перемножим формулы S=rp, S=ra(p-a), S=rb(p-b), S=rc(p-c), и по формуле Герона:
2. S4=r⋅p⋅ra(p-a)rb(p-b)rc(p-c)=r⋅ra⋅rb⋅rc⋅S2 → S2=r⋅ra⋅rb⋅rc→ S=.

Доказано.

Теорема 7.

Сумма радиусов вневписанных окружностей минус радиус вписанной окружности равна удвоенному диаметру описанной окружности.

Дано:

ΔАВС

Окр.(О, ra)

Окр.(Q, rb)

Окр.(W, rс)

Окр.(E, r)

Доказать:

ra+rb+rc– r=4R

Доказательство:

1. Выразим радиусы вневписанных и вписанной окружности через стороны, площадь и полупериметр треугольника:

r = , R = , ra = , rb = , rc = .

2. Получаем

ra + rb + rc – r =  +  +  -  = S ∙  = S ∙  =  = 4R.

Доказано.

Теорема 8.

Радиус вневписанной окружности, касающейся сторон данного внутреннего угла  треугольника, равен произведению полупериметра на тангенс половины этого угла.

Дано:

∆АВС

Окр.(О;ra)

Доказать:

ra=p∙tg

Доказательство:

В прямоугольном ∆АОС1ra и p – длины катетов,∠ОАС1 равен , поэтому ra=p∙tg.

Доказано.

Теорема 9.

Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника.

Дано:

∆АВС

Окр.(O;ra)

Окр.(Q;rb)

Окр.(W;rc)

Доказать:

rarb+rbrc+rcra=p2

Доказательство:

1. По доказанным ранее формулам ra=, rb=, rc=, r=:

rarb+rbrc+rcra=++=S2 = S2 = S2.

2. По формуле Герона

(p-a)(p-b)(p-c)=,

3. rarb+rbrc+rcra=S2= p2.

Доказано.

Теорема 10.

Произведения радиусов вневписанных окружностей  равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра.

Доказать:

ra ∙ rb ∙ rc = rp2

Доказательство:

1. Из формул для радиусов вневписанных окружностей и по формуле Герона:

ra= , rb= , rc= , S =

2. Получаем

ra ∙ rb ∙ rc===Sp.

Доказано.

Следствие 1.

Площадь треугольника равна отношению произведения  всех трех радиусов  вневписанных окружностей  к полупериметру треугольника.

Доказать:

S =

Доказательство:

1. Т.к. rarbrc = rp2 = rp ∙ p = pS.
2. Значит S = .

Доказано.

Следствие 2.

Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности.

Доказать:

S =

Доказательство:

1. Т.к. S = , S = pr, то S2 =  ∙ pr = rarbrcr.
2. Значит S = .

Доказано.

Теорема 11.

Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна полу сумме величин, обратным радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух других сторон треугольника.

Доказать:

 = ( + )

Доказательство:

1. Т.к. rb= , rc= ,
2. То  +  =  +  =  =  =  =  = .
3.  = ( + )

Доказано.

Закрепление теории на практике

1 задача.

Постойте треугольник по периметру и двум углам.

Дано: Р = 12, ∠А =30°, ∠В = 45°.

Построение:

1. АК = р = 6.
2. ∠А
3. ОК⊥АК
4. Биссектриса А.
5. Окр. (О;R), R = ОК
6. ∠В1
7. ВС||В1F, при этом ВС – касательная.
8. ΔАВС – искомый.

Доказательство:

1. А = 30°, В = 45° по построению.
2. р = АК = АL = 6 по свойству вневписанных окружностей.
3. Р = АК + АL = 12.

Доказано.

2 задача.

В равнобедренный треугольник с основанием 12 вписана окружность, и к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три маленьких треугольника. Сумма периметров маленьких треугольников равна 48. Найти боковую сторону данного треугольника.

Дано:

∆АВС

АВ = ВС

АС = 12

Окр. (О; R) – вневписанная

LK, FN, PM – касательные

Р∆BNF + P∆LCK + P∆PMA = 48

Найти:

АВ

Решение:

1. Окр.(O; R) является вневписанной для ∆АРМ, ∆LCK, ∆FBN.
2. По свойству вневписанной окружности LG3 = LQ3, Q3K = KG1, G1M = MQ1, Q1P = PG2, G2F = FQ2, Q2N = NG3.
3. Значит P∆APM + P∆FBN + P∆LCK = АВ + АС + ВС.
4. Т.к. АВ = ВС, то Р = АС + 2АВ.
5. АВ = . АВ =  = 18.

Ответ: 18.

3 задача.

В треугольник со сторонами 6, 10 и 12 вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что она пересекает две большие стороны. Найти периметр отсеченного треугольника.

Дано:

∆АВС

Окр.(О;R) – вписанная

ВС = 6

АВ = 10

АС = 12

LK – касательная

Найти:

Р∆АКL

Решение:

1. Окр.(О;R) является вневписанной для ∆АКL.
2. Р = АG + АМ по свойству вневписанной окружности.
3. GC = CF, FB = MB.
4. Значит МВ + GС = ВС.
5. Р = АВ + АС – ВС

Р = 10 + 12 – 6 = 16.

Ответ: 16.

4 задача.

Построить треугольник, если дана сторона, прилежащий кней угол треугольника и сумма двух других сторон.

Дано:

АВ = 10

А = 60˚

АС +СВ = 34

Построение:

1.      А = 60˚
2. АК = АТ = р = (АС + ВС + АВ) / 2 = (34 + 10) / 2 = 22
3. НК     АК
4. НТ АК
5. Окр. (Н; R), R = НК = НТ
6. АВ = 10
7.      АВС – искомый

Доказательство:

1. АВ = 10, А = 60˚ по построению.
2. Через свойство вневписанной окружности АТ = АК = р = 22. Т.к. АВ = 10, то ВК = 12. По свойству вневписанной окружности ВК = ВL. То АС + LВ = 22 + 12 = 34.

Доказано.

Заключение

Рассмотрено определение вневписанной окружности. Рассмотренные свойства позволили установить связь между биссектрисой внутреннего и двух внешних углов, не смежных с первым, треугольника и центром вневписанной окружности, между длиной отрезка вершины до точки касания с вневписанной окружностью, между радиусами вневписанной окружности и площадью треугольника, между точкой касания вневписанной окружности, вписанной окружности и вершины треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника, между радиусами вневписанной и вписанной окружности.

Решены некоторые задачи на построение треугольника с помощью вневписанной окружности, а так же на нахождение неизвестных сторон треугольника.

В следующем году я планирую продолжить данную тему, решая все более сложные задачи, а так же рассмотреть свойства вневписанных окружностей для многоугольников.

Список использованной литературы

http://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolsev.htm

http://ppt4web.ru/geometrija/vnevpisannaja-okruzhnost.html

Журнал «Квант» №2, 2001год