Исследовательская работа "Оптико- геометрические иллюзии"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
ГОРОД ОКРУЖНОГО ЗНАЧЕНИЯ НИЖНЕВАРТОВСК
МУНИЦИПАЛЬНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ
СРЕДНЯЯ ШКОЛА №14

ФЕСТИВАЛЬ
УЧЕНИЧЕСКИХ
ПРОЕКТОВ

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА

«ОПТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИЛЛЮЗИИ»

Автор: Халиуллина Эльвира,

ученица 10 «А» класса

Руководитель: Тимралиева Найля Салиховна,
учитель математики высшей категории

                                                      Нижневартовск

2011

Оглавление

Краткая аннотация………………………………………………………………….2

Введение…………………………………………………….………………………3

Цели и задачи………………………………………………………………………..4

1. Определение иллюзии……………………………………………….……5
2. История изучения иллюзии.………………………………………………6
3. Виды иллюзий……………………………………………..………………7
4. Теория возникновения иллюзий…………………………………………12
5. Применение иллюзии……………………………………………………..14

• Совет №1……..……………………………………………………14
• Совет №2……………..…………………………………………….15

Вывод……………………………………………………………………………….17

Список использованной литературы……………………………………………...18

Приложение ………………………………………………………………………19

Рецензия…………………………………………………………………………….25

Проектная работа

Оптико-геометрические иллюзии

Халиуллина Эльвира Фоа

Аннотация

Я, Халиуллина Эльвира выбрала тему «Оптико-геометрические иллюзии» потому что в жизни встречается много интересных явлений. Решила изучить виды иллюзий и поближе ознакомиться на практике, изучить применение иллюзий, значение их в геометрии. Цель моей работы узнать, что такое иллюзия  и где она применяется.

Введение.

С самими иллюзиями нам приходится сталкиваться чуть ли не каждый день, но вряд ли мы их вообще замечаем или расцениваем как иллюзии.

Почему иллюзии так интересны? Почему так много художников используют их в своих произведениях? Возможно, потому что они показывают не то, что нарисовано на самом деле

Действительно, разве мы задумываемся над тем, что изображение на экране в кино, либо в телевизоре это ряд сменяющихся кадров, сливающихся  в  движущуюся картинку только благодаря особенностям наших глаз? Или, глядя в зеркало, вспоминаем, что видим в нем мнимые изображения предметов, да и самих себя?

Большинство обманов зрения,  зависит от того, что мы не только смотрим, но и бессознательно при этом рассуждаем. "Мы смотрим, не глазами, а мозгом", - говорят физиологи. Вы охотно согласитесь с этим, когда познакомитесь с иллюзиями, где воображение смотрящего сознательно участвует в процессе зрения.

Задачи проекта:

 выявить из-за чего возникают зрительные иллюзии;

рассмотреть использование зрительных иллюзий;

            узнать, что такое иллюзия;

           рассмотреть виды иллюзий и понять их;

Самим сделать иллюзию

 Формулировка проблемы.

Для проверки гипотезы необходимо ответить на вопросы:

какова природа зрительных иллюзий;

   какие зрительные иллюзии влияют на мозг человека;

   где можно применить полученные знания?

 Выдвижение гипотезы.

Зрительные иллюзии можно объяснить с помощью законов геометрии.

Определение иллюзии

Что же такое иллюзия? Иллюзия – обман чувств, нечто кажущиеся. Ошибочное восприятие предметов явлений. Зрительные иллюзии разнообразны по своему характеру и по причинам, лежащим в их основе.

История изучения зрительных иллюзий

Работа в рамках первого направления дала возможность получить научные знания о природе зрительных иллюзий, истории их изучения, использование иллюзий, влияние на человека.

Систематическое изучение зрительных иллюзий началось примерно с середины 19 века. В основе этих зрительных иллюзий лежит то обстоятельство, что на формирование видимого образа данного объекта всегда в большей или меньшей мере влияют объекты, располагающиеся по соседству с ним в поле зрения. Это свойство нашего зрения было замечено очень давно. В частности, было обнаружено, что на воспринимаемую длину, кривизну и ориентацию линий большое влияние оказывают размеры фигур, в которые они включены, а также наличие прилегающих или пересекающих линий. Многие из придуманных в то время геометрических зрительных иллюзий стали классическими.

Виды иллюзий:

1. Зрительные искажения

Некоторые простые рисунки мы видим искаженными. Эти искажения могут быть довольно большими. Часть рисунка может казаться на 20% длиннее или короче; прямая линия может настолько искривляться, что трудно поверить, что она действительно прямая. В сущности, все мы видим эти искажения, причем в одном и том же направлении в каждом подобном рисунке. Обнаружено, что то же явление наблюдается и у животных. Это показано в экспериментах, в которых животные обучались выбирать, скажем, более длинную из двух линий. Затем под влиянием иллюзии животные будут выбирать линию, кажущуюся длиннее и нам, хотя фактически она той же самой длины, что и сравниваемая с ней линия. Этот результат был получен у голубей и у рыб. Все это говорит о том, что существует какой-то общий фактор, лежащий в основе этих иллюзий.

Иллюзия Дж. Фрейзера.Концентрические круги выглядят спиралями. Но проведите мышкой по окружности и вы вернетесь в ту же точку.

Иллюзия Перельмана. Буквы на самом деле параллельны друг другу

2. Восприятие размера

Иллюзии часто приводят к совершенно неверным количественным оценкам реальных геометрических величин. Оказывается, что можно ошибиться на 25 % и больше, если глазомерные оценки не проверить линейкой.

Глазомерные оценки геометрических реальных величин очень сильно зависят от характера фона изображения. Это относится к длинам, площадям, радиусам кривизны. Можно показать также, что сказанное справедливо и в отношении углов, форм и так далее.

Иллюзия Понцо. Верхний отрезок кажется крупнее, поскольку мозг интерпретирует сходящиеся линии как перспективу (как две параллельные линии, сходящиеся на расстоянии). Поэтому мы думаем, что верхний отрезок расположен дальше, и полагаем, что его размер больше. Кроме сходящихся линий силу эффекту добавляет уменьшающееся расстояние между промежуточными горизонтальными отрезками.

3. Цвет и контраст

Когда на сетчатке глаза возникает изображение, состоящее из светлых и темных областей, мы наблюдаем загадочные эффекты. Свет от ярко освещенных участков как бы перетекает на темные участки. Цвета, которых нет на самом деле, начинают «всплывать».

Решётка Геринга. На пересечениях всех белых полос, за исключением того пересечения,
на котором вы фиксируете взгляд в данный момент, видны маленькие серые пятна. 

4. Иллюзии движения

Самые впечатляющие и самые труднообъяснимые. Смотрите на неподвижные объекты и они начинают двигаться. Одно и тоже вращающееся изображение  может вращаться в разные стороны, или даже совершать колебательные движения Неподвижное изображение кажется движущимся, из-за выбора формы и цветовой гаммы. Ведущую роль здесь играет периферическое зрение. Попробуйте поднести палец к виску. Вы не будете его видеть. Но стоит пошевелить пальцем, и движение будет замечено, хотя зрительная система и не сможет распознать, что же там мелькает.

Акиоши Китаока «Невероятные змеи». Когда вы смотрите на его "Невероятных змей", круги начинают медленно вращаться, а узор с ромбами становится пластичным и подвижным. Китаока экспериментально подобрал цвета фрагментов и их последовательность, при которых иллюзия наиболее сильна: "черный - синий, белый - желтый" или "черный - зеленый, белый - красный". Именно к таким комбинациям периферическое зрение максимально чувствительно. Изменение порядка чередования цветов задает разное направление движения. Вы можете остановить движение только одним способом: прищурившись, намертво зафиксировать взгляд на точке в центре какого-нибудь круга и не мигать. Помогает не всем, и ненадолго

5. Эффект последействия

Иллюзия Мак-Кея. Классический рисунок, вызывающий неприятные ощущения.
Если после рассмотрения этого рисунка перевести взгляд на пустую стену, возникает эффект последействия, похожий на движущиеся зерна риса.

Иллюзия Германна-Геринга. Эффект физиологического нистагма. Если пристально смотреть черную точку, стараясь не отводить от нее глаза, то спустя примерно 30 секунд черные и белые части изображения начнут колебаться. Если перевести после этого взгляд на белую точку, то можно увидеть набор белых квадратов на черном фоне (т.е. последовательный образ), наложенный на настоящий рисунок. Этот последовательный образ будет все время смещаться по рисунку, как бы вы ни старались удержать его на месте.

6.Распознание образов

Для оптического распознавания образов можно применить метод перебора вида объекта под различными углами, масштабами, смещениями и т. д. Для букв нужно перебирать шрифт, свойства шрифта и т. д.

Второй подход — найти контур объекта и исследовать его свойства (связность, наличие углов и т. д.)

Еще один подход — использовать искусственные нейронные сети. Этот метод требует либо большого количества примеров задачи распознавания (с правильными ответами), либо специальной структуры нейронной сети, учитывающей специфику данной задачи.

 Если не знать, что изображено на этих рисунках, то увидеть рисунок практически невозможно. Однако, если известно, что нарисовано, то увидеть рисунок очень легко.

Мерлин Монро

7. Двойственные изображения

Двойственные изображения - изображения, допускающие различные соотношения "фигуры" и "фона" в зависимости от имеющихся у субъекта представлений. Выделенный предмет (фигура) становится объектом восприятия, а все, что его окружает, отходит к фону восприятия.

Дон Кихот

8.Соотношение фигуры и фона

Простейшее формирование восприятия заключается в разделении зрительных ощущений на объект — фигуру, расположенный на фоне. Выделение фигуры из фона и удержание объекта восприятия включает психофизиологические механизмы. Клетки головного мозга, получающие визуальную информацию, при взгляде на фигуру реагируют более активно, чем при взгляде на фон.(Lamme 1995). Фигура всегда выдвинута вперед, фон — отодвинут назад, фигура богаче фона содержанием, ярче фона. И мыслит человек о фигуре, а не о фоне. Однако их роль и место в восприятии определяется личностными, социальными факторами. Поэтому становится возможным явление обратимой фигуры, когда, например, при длительном восприятии, фигура и фон меняются местами.

Закон близости. Те части зрительного образа, которые находятся вблизи друг от друга, имеют тенденцию восприниматься как целое. Так, чем ближе друг к другу расположены две фигуры, тем больше тенденция к их перцептивной группировке.

Закон сходства. Согласно М. Вертгеймеру, при прочих равных условиях, если несколько одинаковых раздражителей предъявлены совместно, существует тенденция при восприятии данной формы объединять сходные элементы в группы. Мы группируем фигуры, похожие между собой.

Закон замкнутости утверждает, что при прочих равных условиях элементы, образующие замкнутую фигуру или целое, будут организовываться вместе или группироваться, а недостающие детали некоторой фигуры – дополняться.

Закон хорошего продолжения. Когда прямая или кривая линия продолжается от любой точки, не меняя значительно своей кривизны, можно сказать, что она имеет плавное продолжение (переход). Согласно закону хорошего продолжения, части зрительного образа группируются так, чтобы нарушения плавных линий были минимальными.

Закон прегнантности (хорошей формы). Последователи гештальтпсихологии были убеждены, что все принципы группировки являются проявлением тенденции перцептивной организации быть «хорошей», «простой», «стабильной», «внутренне непротиворечивой», «симметричной» или, если использовать немецкое слово, введенное гештальтпсихологами и включающее все эти понятия, «прегнантной».

Классический пример соотношения фигуры и фона. В зависимости от области концентрации внимания можно увидеть и вазу, и два повернутых друг к другу лица.

9. Кажущиеся фигуры

Эффект стремления к замкнутому контурую. Наш мозг «достраивает» недостающие линии.

ТреугольникКаниша. Равностороннего треугольника, на самом деле, нет. Он только кажется.

Эффект стремления к замкнутому контуру. Фигура на  рисунке воспринимается как куб, а на нижнем лишь как набор отдельных кусков.

10. Восприятие глубины

Неадекватное отражение воспринимаемого предмета и его свойств. В настоящее время наиболее изученными являются иллюзорные эффекты, наблюдаемые при зрительном восприятии двухмерных контурных изображений. Мозг бессознательно видит рисунки только одно-выпуклые (одно-вогнутые). Восприятие зависит от направления внешнего освещения.

 лестница Шроедера - "чистый" пример иллюзии глубины. Эта фигура может быть воспринята как лестница, по которой можно было подниматься справа налево, или как вид лестницы снизу. Любая попытка изменить положение линий фигуры разрушит иллюзию. Иллюзия может быть усилена, если на ней расположить, например, фигуры людей.

набор параллелограммов - этот простой рисунок напоминает линию кубиков, показанных то снаружи то изнутри. С другой стороны этот рисунок напоминает линию кубиков, показанных то сверху, то снизу. Но очень трудно воспринять этот рисунок как просто набор параллелограммов.

Закрасим некоторые области черным. Черные параллелограммы могут выглядеть так, как будто мы на них смотрим или снизу или сверху. Попробуйте, если сможете, увидеть эту картину по-другому, как будто на один параллелограмм мы смотрим снизу, а на другой сверху, чередуя их.

11. Невозможные фигуры.

Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве.

На самом деле все невозможные фигуры могут существовать в реальном мире. Так, все объекты, нарисованные на бумаге, являются проекциями трёхмерных объектов, следовательно, можно создать такой трёхмерный объект, который при проецировании на плоскость будет выглядеть невозможным. При взгляде на такой объект из определённой точки он также будет выглядеть невозможным, но при обзоре с любой другой точки эффект невозможности будет теряться

«Водопад» Эшера. В этой работе Эшера изображен парадокс — падающая вода водопада управляет колесом, которое направляет воду на вершину водопада. Водопад имеет структуру «невозможного» треугольника Пенроуза: литография была создана по мотивам статьи в «Британском журнале психологии».

Конструкция составлена из трёх перекладин, положенных друг на друга под прямым углом. Водопад на литографии работает как вечный двигатель. Кажется также, что обе башни одинаковы; на самом деле та, что справа, на этаж ниже левой башни.

Невозможный ящик - не может быть сделан из древесины. И все же мы видим здесь фотографию невозможного ящика сделанного из дерева. Это - обман. Одна из планок ящика, которая, как кажется, проходит позади другой, на самом деле является двумя отдельными планками с разрывом, одна ближе, а другая дальше, чем пересекающая планка. Такая фигура видна только с единственной точки зрения. Если бы мы смотрели на реальную конструкцию, то при помощи нашего стереоскопического зрения мы бы увидели уловку, за счет которой фигура становится невозможной. Если бы мы сменили точку зрения, то эта уловка стала бы еще заметнее. Именно поэтому при демонстрации невозможных фигур на выставках и в музеях вы вынуждены смотреть на них сквозь маленькое отверстие одним глазом.

12. Перевернутые картинки

Вид оптической иллюзии, в которой от направления взгляда зависит характер воспринимаемого объекта. Одной из таких иллюзий является «уткозаяц»: изображение может трактоваться и как изображение утки, и как изображение зайца.

Теория возникновения иллюзий.

1. Глазодвигательная теория. Эта теория предполагает, что те детали рисунка, которые вызывают иллюзию, заставляют глаза смотреть в «неправильное» место.

При иллюзии стрелы считается, что глаза посредством наконечников уводятся от линии в сторону, благодаря чему длина линий воспринимается неверно; или—альтернативная теория,— что глаза отвлекаются на внутреннюю часть рисунка. Однако это неверно. Изображение стрел можно зафиксировать на сетчатке с помощью специального оптического стабилизирующего устройства (или еще проще — при рассматривании последовательного образа рисунка, который остается после яркой вспышки фотографической лампы), тогда движения глаз не могут перемещать изображение по сетчатке, тем не менее иллюзия сохраняется и не слабеет. Глазодвигательная теория иногда формулируется в несколько иной форме, может быть, с целью преодолеть эти трудности. В этом варианте теории предполагается, что искажения вызывают не действительные движения глаз, а тенденция совершать глазные движения. Мы можем с уверенностью отказаться от этих объяснений по следующим соображениям. Глаза могут двигаться или иметь тенденцию к движению в данный момент лишь в одном направлении, между тем как искажения рисунка могут происходить в одно и то же время в любом числе направлений. Рассмотрим пару стрел на рис. 9,4. Первая стрела удлиняется, а вторая укорачивается в одно и то же время. Каким образом движения глаз - или тенденция к движениям — могли бы быть причиной этого явления, если они могут происходить лишь в одном направлении в данный отрезок времени? Доказательства в пользу глазодвигательной теории отсутствуют.

2. Теория ограниченной остроты зрения. Иллюзия стрелы анализируется следующим образом. Если бы острота зрения была так низка, что при рассматривании стрел мы не могли бы ясно видеть углы наконечников, то следовало бы ожидать, что стрела с расходящимися концами наконечников будет восприниматься как более длинная, а со сходящимися концами—как более короткая, чем они есть в действительности. Этот эффект можно продемонстрировать при помощи куска кальки, наложенного на рисунок, чтобы затруднить его рассматривание, но тогда мы увидим лишь небольшое изменение длины стрел. Однако эта теория может быть отвергнута, поскольку влияние этого фактора слишком незначительно. Кроме того, эта теория не применима к другим рисункам.

3. Теория нарушения работы зрительной системы. Эта теория утверждает, что определенные формы вызывают нарушение перцептивной системы. Она принадлежит к числу тех, увы, слишком распространенных в психологии «теорий», которые представляют собой не более чем довольно необоснованное утверждение того, что мы хотели бы объяснить. Эта теория не дает и намека на то, почему перцептивная система должна приходить в расстройство под влиянием именно таких, а не иных форм, или почему это нарушение должно приводить к искажению рисунков только в определенных направлениях. Чтобы быть полезным, объяснение должно соотнести исследуемые явления с другими явлениями, однако данная теория иллюзий ни с чем их не соотносит и таким образом ничего не дает нам для их понимания. Мы можем отбросить эту теорию просто потому, что она даже и не приступает к объяснению иллюзий.

4. Теория сопереживания. Эту теорию предложил Теодор Липпе. Она исходит из идеи американского психолога Р. X. Вудвортса. Идея заключается в том, что наблюдатель отождествляет себя с частью рисунка (или, скажем, с колонной строения) и эмоционально включает себя в ситуацию, так что его зрительное восприятие искажается, поскольку эмоции могут нарушать интеллектуальную оценку. В случае иллюзии стрелы следует предположить, что стрела с расходящимися концами наконечников эмоционально вызывает ощущение растяжения, и мы воспринимаем ее удлиненной.

Безусловно, очень толстая колонна, поддерживающая узкий карниз здания, кажется некрасивой; возможно, наблюдатель в воображении ставит себя на место этой колонны подобно тому, как Геркулес снял тяжесть неба с плеч Атласа, прежде чем превратить его в камень. Кариатиды греческих храмов являются воплощением (и довольно буквальным) этой идеи в архитектуре. Однако, несмотря на непосредственное отношение к эстетике, эти рассуждения вряд ли можно всерьез принять за теорию иллюзий. Рисунок стрелы, например, вызывает искажение восприятия при любом настроении и продолжает вызывать ту же иллюзию и тогда, когда всякие эмоциональные переживания исчезают из-за однообразия впечатлений. Возможно, что сильные эмоции влияют на восприятие, но все, кроме тех, кто защищает эту теорию, считают, что эти рисунки лишены какого-либо эмоционального содержания. Более серьезное возражение состоит в том, что искажения зрительного восприятия в сущности одни и те же у всех наблюдателей, хотя их эмоциональные состояния весьма различны

5. Теория структурности или «хороших форм». Идея«структурности» является центральной в работах немецких гештальтпсихология по восприятию. «Структурный» рисунок — это такой рисунок, который создает образ несколькими выразительными линиями, хотя многого в нем и недостает. Предполагается, что иллюзии существуют благодаря «структурности», увеличивающей расстояние между теми деталями рисунка, которые кажутся не связанными друг с другом, и сокращающей расстояние между другими деталями, которые воспринимаются как принадлежащие одному и тому же объекту.

Использование иллюзий в повседневной жизни.

В своей работе мы попытались доказать существование зрительных иллюзий, рассмотрели использование её в разное время и в разных областях жизнедеятельности человека. А можно ли использовать зрительные иллюзии в современной жизни?

Совет №1.

Если вы собрались делать ремонт, то оптические иллюзии помогут    вам в этом.

Под оптическими иллюзиями понимаются те изменения в зрительном восприятии размеров помещения, которые возникают под воздействием психологических явлений, контраста, зрительной памяти, т.е. помещение зрительно можно углубить, сузить, расширить, повысить или понизить. Цвет и фактура основных элементов интерьера, размещение светильников и учет направления световых потоков позволяют сохранить или откорректировать имеющиеся пространство с помощью зрительных иллюзий. Для достижения названных эффектов необходимо знать некоторые основные положения (Приложение№3) .Приведем некоторые из них. Например, при использовании оптических иллюзий для зрительной корректировки пространства значительный эффект дает направленное применение осветительной системы (изменение яркости отдельных участков ограждающих поверхностей, использование направленных световых потоков), см. табл.

Использование вертикалей в декоре стен зрительно увеличивает высоту помещения. Интерьер, показанный на рис.14, с использованием вертикалей в декоре кажется выше интерьера на рис.15 с горизонтальным и диагональным членением плоскостей.

Белые предметы на темном фоне зрительно «раздвигают» пространство, расширяя и удлиняя его. Клетчатые, полосатые, заполненные рапортным рисунком участки кажутся больше, чем одинаковые с ними по размеру однотонные.

Совет №2

 ( дизайнеру и модельеру одежды) 

Формируя определенное зрительное восприятие фигуры, современный дизайнер использует различные способы и приемы. С одной стороны, он может придать фигуре определенный визуальный эффект (т.е. сделать полную фигуру стройнее, отвлечь внимание от проблемной зоны и т.д.) с помощью конструктивных и модельных линий. В этом случае широко используется свойство вертикальных линий (рельефов, декоративных швов и т.д.) и особое внимание уделяется моделированию воротников и выреза горловины, расположению мелких деталей (карманов, пат и т.д.). С другой стороны, того же эффекта можно достичь за счет использования свойств рисунка ткани (например, вертикальные полосы придают фигуре стройность, крупная клетка расширяет). В этом случае конструктивные линии уходят на второй план.

Зрительные иллюзии не только позволяют фигуре выглядеть более или менее идеально, но и обеспечивают определенное эстетическое восприятие художественного образа модели. В своей работе мы рассмотрели основные зрительные иллюзии, которые необходимо знать при моделировании одежды (Приложение№4)

 Иллюзия полосатой ткани

Выбирая расположение полос на полосатой ткани (вертикальное или горизонтальное), можно, например, придать полной фигуре стройность, учитывая ширину, частоту и ритмичность полос. При сложном расположении полос (например, под углом) важно учесть, что углы, образуемые встречными полосами, направленными острием вверх, сокращают ширину бедер полной фигуры. Углы, направленные острием вниз, наоборот, зрительно расширяют бедра, даже если сделать вертикальную вставку посередине.

Вывод.

Таким образом, наше исследование показало  сколь широка и многогранна деятельность человека, столь и различны требования, предъявляемые к форме и содержанию изображений. Одни из них должны производить на глаз человека такое же впечатление, какое производит и сам изображаемый предмет, иначе говоря, изображение должно обладать достаточной наглядностью. В другом случае изображение должно быть, в первую очередь, геометрически равноценно оригиналу, оно должно давать полную геометрическую и размерную характеристику изображаемого предмета.

 Таким образом, гипотеза нашего исследования подтверждена.

• Зрительные иллюзии существуют и их можно объяснить с помощью геометрии;
• Оптические иллюзии использовались, и будут использоваться человеком в повседневной жизни.

Список используемой литературы

http://www.psy.msu.ru/illusion/distortion.html 

http://www.netlore.ru/samye-interesnye-opticheskie-illyuzii 

http://www.abc-people.com/illusion/

http://www.syntone.ru/library/illusions/

http://ru.wikipedia.org/wiki/Иллюзии

Приложение

С точки зрения геометрии линейная перспектива - это способ изображения фигур, основанный на применении центрального проектирования. Рассмотрим задачу построения перспективного изображения фигуры, которое называется центральной проекцией (от лат. projectio-бросание вперед)3.        

Пусть выбрана плоскость проекций , на которой строится изображение, и задан центр проекции - точка 0, ей не принадлежащая. Тогда произвольная точка М фигуры будет проецироваться в точку М' пересечения прямой ОМ с плоскостью л. Ясно, что при разных положениях л получатся различные изображения одной и той же фигуры.

В живописи плоскость проекций (полотно картины) обычно находится между центром проекции (глазом художника) и объектом, так что точка М' оказывается между точками 0 и М. При этом плоскость л перпендикулярна предметной плоскости , на которой располагаются изображаемые объекты.

Итак, каждому художнику, пишущему в реалистической манере, приходится решать геометрическую задачу на построение центральной проекции объектов на картинную плоскость. Очевидно, что точки основания картины (лежащие на линии пересечения плоскостей  и л) проецируются в себя.

На рисунке 1 показано, как получается изображение произвольной точки М плоскости  (цифры 1—4 указывают порядок проведения прямых).

рис. 1

Если точка К не лежит в предметной плоскости, то сначала из нее опускают перпендикуляр на  (на рис. 1 это отрезок КМ), затем для его основания (точки М) выполняют построения 1—3. Наконец, проводят прямую КО, пересечение которой с плоскостью л и есть изображение точки К.

Вообще построение центральной проекции фигуры - задача не из простых. Она рассматривается в одном из разделов прикладной математики - начертательной геометрии изучающей пространственные фигуры при помощи построения их изображений на плоскостях проекций. Начертательная геометрия широко применяется в инженерном деле, строительной практике, в архитектуре и живописи (Приложение №1)

В этой части своей работы мы постараемся по возможности доказать некоторые из них.

Рассмотрим несколько примеров зрительных иллюзий, связанных с геометрическими фигурами. На рисунке 2 представлена Т-образная фигура, состоящая из двух отрезков. Сравните «на глаз» их длины. Вам кажется, что вертикальный отрезок длиннее горизонтального? На самом деле они равны, в чем легко убедиться, воспользовавшись циркулем или линейкой.

А вот пример иллюзии другого рода. На рисунке 4 изображен каркасный  куб. С какой стороны вы на него смотрите: сверху или снизу? А может быть сбоку? При длительном наблюдении происходит удивительная трансформация: кажется, что грани куба все время меняют свое положение! При этом взгляд фиксируется то на одной, то на другой грани.

рис. 4

Иллюзия с кубом также имеет объяснение. Дело в том, что любое изображение может быть истолковано разными способами, однако зрительная система человека отдает предпочтение наиболее привычной и вероятной интерпретации. А вот для представленного на рисунке 4 изображения куба равновероятны сразу несколько таких интерпретаций, поскольку оно не содержит точных признаков того, какие точки находятся ближе (выше) других. Поэтому наша зрительная система и колеблется в выборе решения: видимые образы периодически сменяют друг друга.  

Опыт№1

Возьмем монету и сравним её размеры «на глаз» сначала с расстояния 50см, а затем 1м. Видим, что монета кажется меньше во втором случаи в 2 раза, значит, при приближении монеты на 25 см-размер её должен увеличивается в 2 раза?

Доказательство

Физик объяснил бы это так: угол, под которым виден предмет, уменьшается по мере удаления последнего от глаза, и изображение предмета на сетчатке занимает все меньше места (рис. 5)  

рис.5

Такой ответ нас не совсем устроил. Во-первых, почему, чем дальше от глаза находится предмет, тем меньше угол, под которым он виден? Во-вторых, почему при этом уменьшается размер изображения предмета на сетчатке? Ответы на эти вопросы мы нашли с помощью геометрии.

На рисунке 6  АВ и АС - изображения на сетчатке одного и того же предмета высотой h, удаленного от глаза на расстояния S и L соответственно^[1]*. Опираясь на определение тангенса острого угла, нетрудно доказать, что если S > L, то: 1)  и  2)

    рис.6

Неравенство      следует из того, что

Известно, что  при малых значениях . Поскольку углы, с которыми мы имеем дело, невелики, то можно считать, что  и

Итак,   откуда

Вернёмся к опыту. И опыт, и предыдущие рассуждения подсказывают, что углы, под которыми видна монета, должны отличаться, как и расстояния, на которые она удалена от глаза, в два раза.

Действительно,  поскольку   а по условию  то

Таким образом, удаляя монету от глаза с расстояния 50 см на 1 м, мы уменьшаем угол зрения  (а значит, и размер изображения на сетчатке) в два раза, поэтому она и кажется нам вдвое меньшего размера. Ответ на другой вопрос теперь очевиден: та же монета с расстояния 25 см будет казаться вдвое больше. Более того, при изменении расстояния в любое другое число раз результат будет аналогичным,

Вывод: величина угла зрения обратно пропорциональна расстоянию до предмета.

Опыт №2  

Рассмотрим фрагмент висящей на стене картины. Почему, чем ближе мы подходим к ней, тем больше начинаем различать такие подробности, которые не замечали раньше.

Доказательство. Чем большие угол зрения, тем крупнее изображение каждой детали на сетчатке глаза; оно «захватывает» все больше нервных окончаний, благодаря чему мы начинаем различать в предмете такие подробности, которые не замечали раньше.

Вывод: хотите разглядеть фрагмент висящей на стене картины или мелкий шрифт на странице книги - попробуйте увеличить угол зрения, подойдя к холсту поближе (приблизив текст к глазам). А если объект наблюдения слишком мал или его детали плохо различимы невооруженным глазом, следует воспользоваться лупой или другим оптическим прибором, который позволяет увидеть объект под большим углом.

Опыт №3

Рассмотрим две «убегающие» от нас параллельные линии (трамвайные или железнодорожные). Они кажутся сходящимися в некоторой точке горизонта. При этом сама точка представляется нам бесконечно удаленной и недосягаемой. Зрение словно пытается убедить нас в том, что вопреки законам геометрии параллельные прямые пересекаются.

Рис.7

Доказательство: эта иллюзия объясняется рассмотренной нами выше особенностью зрительного восприятия. Объект (шпала), находящийся на различных расстояниях от наблюдателя, виден под разными углами зрения и по мере удаления вдоль параллельных прямых (рельсов) его угловой размер уменьшается, что приводит к видимому уменьшению расстояния между линиями (в данном случае оно определяется величиной шпалы). Очевидно, когда угол зрения достигает некоторой "критической" величины, глаз перестает различать удаляющийся объект как тело, имеющее размеры, и прямые «сливаются» для него в одну точку.

Вывод: существует предельное значение угла зрения - наименьшее значение, при котором глаз способен видеть раздельно две точки.

Опыт№4

 Сравним относительные размеры нескольких находящихся в поле зрения   предметов.

Если предметы удалены от глаз на одно и то же расстояние и расположены достаточно близко друг к другу, их сравнить легко. В этом случае мы редко ошибаемся в своей оценке: более высокий предмет виден под большим углом (рисунок 8), поэтому и кажется выше.

Рис. 8

Усложним задачу. Расположим предметы  на разном расстоянии от глаза, в том числе предметы разного размера (рис. 9). Тогда их видимые размеры кажутся одинаковыми.

Рис. 9

Выстроим, друг за другом по росту несколько матрешек, и посмотрим на них со стороны самой маленькой фигурки, а затем начнём медленно отходить назад, не изменяя при этом направления взгляда, то можно наблюдать, как матрешки будут постепенно «сливаться», загораживая друг друга. Наконец, на некотором расстоянии будет видна только одна из них - та, что расположена ближе остальных. Сместим фигурки в горизонтальных плос-костях, перпендикулярных направлению взгляда, таким образом, чтобы все они были полностью видны - матрешки  кажутся одного размера.

Аналогичный опыт можно провести с любыми имеющимися под рукой предметами, расположив их, на некотором расстоянии друг от друга, (причем наибольшего визуального эффекта можно достичь, если использовать предметы, схожие по форме: спичку и карандаш, орех и апельсин и т.п.). В таком случае достаточно сравнить их линейные размеры: высоты, диаметры и т.д. Результат будет таким же.

Вывод. А это означает, что независимо от формы предметов, наблюдаемое явление должно описываться «на языке математики» одним и тем же законом, в котором ключевую роль играют, вероятно, такие параметры, как линейный размер и расстояние до предмета.

Еще один наглядный пример, подтверждающий отмеченную закономерность, дает солнечное затмение, во время которого Луна полностью закрывает собой солнечный диск. В этот момент размеры обоих тел кажутся нам одинаковыми, поскольку Луна и Солнце видны с Земли под одним углом зрения. На основе последнего равенства можно не только сравнить расстояния, а также относительные размеры двух объектов, наблюдаемых под одним углом зрения, но и найти любую из входящих в него величин по трем остальным.

определим высоту столба (вышки, дерева и т.п,)

.     рис 10

Отойдем от столба на расстояние, на котором больший палец вытянутой вперед руки закроет его полностью, (то есть их видимые размеры станут одинаковыми), подсчитав при этом число сделанных шагов. Для взрослого человека среднее расстояние от глаза до большого пальца вытянутой руки составляет 60 см, длина самого пальца - 7 см, а длина шага - 65 см. По этим данным легко вычислить примерную высоту столба. Аналогично определяется расстояние до недоступного объекта по его известной высоте. Отметим, что описанный способ надежен для оценки сравнительно близких расстояний до нескольких сотен метров; чем меньше предмет и чем дальше он находится, тем выше погрешность измерений.

Вывод: С позиции геометрии, во всех приведенных примерах мы имеем дело с подобными фигурами или соответствующими отрезками, а именно высотами, различных по форме фигур; более того, в каждом случае мы сталкиваемся с преобразованием гомотетии, центр которой совпадает с глазом наблюдателя. Поэтому можно утверждать, что если два предмета видны под одним углом зрения, то их линейные размеры отличаются во столько же раз, во сколько раз отличаются расстояния до предметов (рис. 11):

рис 11

Рецензия

На исследовательскую работу по теме: «Оптико – геометрические иллюзии»

Халиуллиной Эльвиры Фоатовны

ученицы 10 класса «А», МОСШ №14 г. Нижневартовска

Исследовательская работа Халиуллиной Эльвиры на тему «Оптико – геометрические иллюзии »  посвящается раскрытию теоретического материала об иллюзии, о её видах, её применении. Практическая часть работы состоит в наблюдении иллюзии в окружающей среде и применении иллюзии в жизни людей.

Работа носит информационно-теоретический материал, содержит элементы исследования. Тема раскрыта достаточно. Все цели, поставленные в начале работы, достигнуты. Имеется мультимедийная  презентация.

Учитель математики МОСШ №14

Вакалова Н.Н.