"Математика на клетчатой бумаге"

Введение.

«Решение задач – практическое искусство, подобное

плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

научиться ему можно, только подражая хорошим

образцам и постоянно практикуясь»

Д. Пойя

     Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады – школьные, городские, дистанционные, международные. Мы рассмотрели множество разноплановых заданий и выделили группу задач, подход к решению которых нам показался интересным и оригинальным. Это задачи на клетчатой бумаге. У нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге.

     Мы приступили к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Мы научились вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке, встретились с совсем новыми, необычными «расстояниями», узнали, как раскраска клеточек помогает решать многие задачи, познакомились поближе с задачами на разрезание и, наконец, научились играть в увлекательные игры на листке бумаги в клетку.

     Однако чёткой классификации и структурирования задач на клетчатой бумаге по методам и способам решения мы не встретили. Возможно, потому, что большинство таких задач считается «занимательными», и не так уж много авторов посвятило этой теме свои изыскания. Очень вероятно, потому, что для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

Мы определили:

Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге

Предмет исследования: многообразие задач на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов.

Основная цель исследования заключается в расширении знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:

• Подобрать необходимую литературу
• Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
• Проанализировать и систематизировать полученную информацию
• Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге
• Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

Гипотеза: возможно, многообразие задач на бумаге в клеточку, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении. Предположим, что при более внимательном исследовании задач на клетчатой бумаге, мы убедимся в их востребованности, оригинальности, полезности.

Задачи на бумаге в клетку помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале.

При решении задач на клетчатой бумаге нам будут нужны смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

2. Задачи на нахождение площади многоугольника

Формула Пика

Сюжет будет разворачиваться на обычном листке клетчатой бумаги.

Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах (рис. 1) и найдем его площадь. Искать её можно по-разному. Например, можно разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площадь и сложить.

Рис. 1

Но тут нас ждёт много хлопот. Давайте «схитрим»: вычислим площадь заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш многоугольник до прямоугольника АВСD, и вычтем её из площади прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, и её площадь вычисляется без усилий.

Итак, хотя многоугольник и выглядел достаточно просто, для вычисления его площади нам пришлось потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо?

Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.

Рис. 2         

     Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (рис. 2).

Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна

S = В + + 4 · = В + - 1 .

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S = В + - 1 .

Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки!

Это и есть формула Пика.

Задача 1. Проверить формулу Пика для многоугольника на рисунке 1.

Решение.

В = 14, Г = 8. По формуле Пика: S = В + - 1 .

S = 14 + 8/2 – 1 = 17

Ответ: 17 кв. ед.

Можно убедиться в том, что формула Пика верна для всех рассмотренных примеров.

Оказывается, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для него верна формула Пика.

Рис. 3

Попробуйте вычислить площади многоугольников с рисунка 3, используя формулу Пика. Правда ведь, легко получается!

Рассмотрим ещё некоторые задачи на клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см

Задача 2.[12] Найдите площадь прямоугольника АВСD (рис.4).

Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 8, Г = 6

S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)

Ответ: 10 см².

Рис. 4

Задача 3. Найдите площадь параллелограмма АВСD (рис.5)

Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 6, Г = 6

S = 6 + 6/2 – 1 = 8 (см²)

Ответ: 8 см².

Рис. 5

Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.

Задача 8.[13] Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (рис. 10)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1

В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

Рис. 10                                 1 см² - 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

        Ответ: 420 000 м²

  Задача 5. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (рис. 6). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение. По формуле Пика: S = В +  - 1 .

 В = 12,    Г = 6

 S = 12 + 6/2 – 1 = 14 (см²). Ответ: 14

3. Задачи на разрезание

С этими задачами, очевидно, столкнулся ещё первобытный человек, когда пытался раскроить шкуру убитого зверя, чтобы сшить себе одежду. Известно, что решения многих простых задач на разрезание были найдены ещё древними греками. Первый письменный источник с подобными задачами относится к Х веку – это фрагменты трактата персидского астронома Абул-Вефа, жившего в Багдаде. Профессиональные математики всерьёз занялись задачами на разрезание ближе к середине XIX века.

Сделаем небольшую классификацию таких задач [15]. Все их сюжеты можно условно поделить на следующие виды и подвиды:

* Дробление – требуется разрезать данную фигуру:

• на заданное число равных между собой, или, как говорят математики, - конгруэнтных частей (фигур);
• на заданное число конгруэнтных и подобных ей фигур (такие фигуры получили название «делящихся»);
• определённым количеством прямых на максимально возможное число частей, не обязательно равных.

Возможны и другие вариации условий разрезания, так как фантазия человека не имеет ограничений.

 * Квадрирование – разрезание фигуры на возможно меньшее число частей, из которых затем можно сложить квадрат.

* Трансформирование – требуется разрезать одну фигуру так, чтобы их её частей можно было сложить вторую заданную фигуру (не квадрат).

В отдельный подвид можно выделить очень популярные задачи на разрезание шахматной доски, которые отличаются от остальных задач на разрезание тем, что на доске есть раскраска квадратов, и это накладывает дополнительные требования при поиске решения.

Учитывая большое общее количество задач на разрезание, мы в этой работе будем рассматривать задачи на клетчатой бумаге на дробление и задачи, связанные с шахматной доской. А остальные постараемся изучить при дальнейшем исследовании по этой теме.

Следует учесть, что термин «разрезание» не всегда надо понимать буквально: при решении приведённых далее задач достаточно на чертеже данной фигуры обозначить линии разреза карандашом. Но смысл разрезания предполагает ещё и выход из плоскости и переворачивание фигуры любой её стороной из двух существующих.

В качестве примеров рассмотрим несколько типичных задач на разрезание, которые встречаются во многих сборниках занимательных задач и одну менее известную задачу на делящиеся фигуры, которая представляет собой небольшое исследование.

Задача 1. Можно ли разрезать квадрат 6×6 на полоски 1×4 ?

Решение. Используем раскраску, показанную на рис. 1. Любая полоска 1×4, положенная на такую доску, покроет ровно одну чёрную клетку. Следовательно, если бы мы разрезали квадрат на полоски, то чёрных клеток оказалось бы столько же, сколько полосок. Но число полосок должно быть равно (6 · 6) : 4 = 9, а чёрных клеток на этом рисунке 8! Значит разрезание невозможно.

Рис. 1

Задача 2. Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат не две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. (Способы разрезания квадрата на две части будем считать различными, если части квадрата, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе). Сколько всего разрезаний имеет задача?

Указание. Найти несколько решений этой задачи не так уж сложно. На рисунке некоторые из них показаны, причем решения б) и в) одинаковы, так полученные в них фигур можно совместить наложением (если повернуть квадрат в) на 90 градусов).

Но найти все решения и ни одно решение не потерять уже труднее. Заметим, что ломаная, делящая квадрат на две равные части симметрична относительно центра квадрата. Это наблюдение позволяет шаг за шагом рисовать ломаную с двух концов. Например, если начало ломаной в точке А, то конец ее будет в точке В. Убедитесь, что для данной задачи начало и конец ломаной можно нарисовать двумя способами.

При построении ломаной, чтобы не потерять какое-либо решение, можно придерживаться такого правила. Если следующее звено ломаной можно нарисовать двумя способами, то сначала нужно заготовить второй такой же рисунок и выполнить этот шаг на одном рисунке первым, а на другом вторым способом. Аналогично нужно поступать, когда способов не два, а три. Указанный порядок действий помогает найти все решения.

Задача 3. Прямоугольник 3×5 содержит 15 клеток и центральная клетка удалена. Найдите пять способов разрезания прямоугольника на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток.

Задача имеет следующие

решения:

4. Расстояние в «клетчатом» городе

С понятием расстояния мы сталкиваемся ежедневно. «Каково расстояние от дома до школы?», «Сколько километров от Москвы до Петербурга?» - эти вопросы никого не удивят. Зная расстояние, мы можем прикинуть, долго ли добираться от одного места до другого. Все мы умеем вычислять расстояние между двумя точками на координатной прямой, с помощью теоремы Пифагора мы можем вычислить расстояние между двумя точками на координатной плоскости.

А теперь возьмём хорошо знакомый нам листок клетчатой бумаги и представим себе, что это – город, линии сетки – улицы. Давайте прогуляемся по этому городу, ходя только по улицам (порядки в этом городе очень строгие). Длину клетки будем считать равной 1. Как нам быстрее всего попасть с перекрёстка А на перекрёсток Б (рис. 1)?

Можно, например, пройти из А в С, а потом – из С в В. Можно было идти через D, а можно – и более замысловатым путём. Что же мы теперь назовём расстоянием от А до В? Конечно, длину кратчайшего пути: 4 + 3 = 7.

Рис. 1

А теперь представим себе, что у нас в запасе есть время проделать путь длиной 3. В каких узлах мы можем побывать, выйдя из А? (Или: из каких узлов можно добраться до А, пройдя путь не более 3?) Ответ на этот вопрос изображён на рисунке 2). Наверное, многие из вас сейчас вспомнили о круге на плоскости: ведь круг радиуса r с центром в точке А и есть множество всех точек плоскости, которые удалены от А не больше, чем на r. Но как не похож ромбик из точек с рисунка 2 на привычный Рис. 2                     круг!

Познакомимся поближе с расстоянием в «клетчатом» городе с помощью нескольких задач.

Задача 2. Какое наибольшее количество котов можно разместить в узлах сетки на территории квадрата 4×4, чтобы расстояние между любыми двумя из них было не менее 2 (иначе коты подерутся)?

Наверное, без особого труда сумеете поделить территорию квадрата между 13 котами (рис. 4). А вот 14 котов мирно ужиться на этой территории уже не смогут.

Рис. 4

5. Игры на клетчатой бумаге

1. Крестики – нолики

      Популярная игра в крестики – нолики состоит в следующем. Двое по очереди рисуют на листе клетчатой бумаги крестики и нолики. Первый игрок рисует крестики, второй – нолики. Выигрывает тот, кто первым поставит определённое количество своих знаков в ряд (по вертикали, горизонтали или диагонали). Следующая задача относится к этой игре.

Задача.[4] Докажите, что при игре в крестики – нолики второй игрок, как бы хорошо он ни играл, не может рассчитывать больше, чем на ничью, если его партнёр играет правильно.

2. Бридж-ит («перебрось мостик!»)

На рисунке показана доска для игры в бридж-ит. Участники игры по очереди проводят вертикальные или горизонтальные линии, соединяющие две соседние точки «своего» цвета: один игрок соединяет синими линиями синие точки, другой – чёрными линями чёрные точки. Линии противников нигде не должны пересекаться. Выигрывает тот, кто первым построит ломаную, соединяющую две противоположные стороны доски «своего» цвета. Так на рисунке выиграли «синие». В этой игре у начинающего игру есть выигрышная стратегия.

Когда вы вдоволь наиграетесь с друзьями в эту игру, можете либо придумать стратегию, либо прочитать о ней в книге М. Гарднера «Математические досуги»

3. Солитер [11]

Для игры в солитер нужны игровое поле-доска из 33 клеток и фишки, шашки или монетки. Игра начинается с того, что на все клетки доски, кроме центральной, расставляются фишки. Цель игры состоит в том, чтобы после ряда «прыжков» на доске осталась всего одна фишка. «Прыжок» означает следующее: фишка переносится на свободную клетку через любую соседнюю фишку, которая при этом снимается с доски, причём фишки могут прыгать влево, вправо, вверх и вниз (но не по диагонали!). Каждый ход обязательно должен быть прыжком через фишку. Если очередной ход невозможен, то игра заканчивается.

Прежде чем играть в солитер, можете решить несколько более простых задач из книги М. Гарднера «Математические досуги».

Список используемой литературы

1. Болотин И. Б., Добрышина Л. Ф. Смоленские математические олимпиады школьников (готовимся к ЕГЭ). Смол. гос. ун-т; Смоленск: СмолГУ, 2008.

2. Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ. Режим доступа: http://mmmf.msu.ru/archive/20082009/KanunnikovKuznetsov/2.html

3. Григорьева Г. И. Подготовка школьников к олимпиадам по математике: 5 – 6 классы. Метод. пособие. – М.: Глобус, 2009.

4. Дынкин Е. Б., Молчанов С. А., Розенталь А. Л. Математические соревнования. Арифметика и алгебра. – М.: Наука, 1970.

5. Екимова М. А. ,Кукин Г. П. Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, 2002. Режим доступа: http://www.math.ru/lib/files/pdf/kukin.pdf

6. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.