Занимательные задачи в России через века и годы

Занимательные задачи в России через века и годы

Научно – исследовательская работа                            

                       Шелепановой Александры Николаевны

          г Оленегорск МОУ ООШ №21, 5А класс

                  Научный руководитель

       Болотняя Вера Александровна.

Оленегорск 2013

Содержание работы

Введение

На уроках математики мы иногда встречаемся с так называемыми «занимательными задачами», для решения которых необходимо прибегнуть не только к арифметическим расчетам, но и к логическим рассуждениям.

Начало своё занимательные задачи берут еще с древних рукописных книг. Сегодня такого плана задания включены в школьные учебники для того, чтобы разнообразить деятельность учеников и подготовить детей к нестандартным ситуациям, зачастую встречающимся в повседневной жизни. Вышесказанное характеризует актуальность выбранной темы исследования: Занимательные задачи в России через века и годы.

В рассуждениях мы столкнулись с проблемой: Находят ли занимательные задачи древности отклик в современных учебниках? В ответ на это была выдвинута следующая гипотеза: Если проанализировать занимательные задачи различных времен, то можно проследить за развитием математической мысли в России.

Целью исследовательской работы является выявление взаимосвязи занимательных задач древних времен и наших дней.

Для достижения цели необходимо выполнить следующие задачи:

- отбор и анализ материала, касающегося математической мысли в России;

- рассмотрение и сопоставление занимательных задач из источников различных лет;

- изучение способов решения некоторых старинных задач.

Объектом исследования является развитие математической мысли в России с древних времен до наших дней. В качестве предмета выступают занимательные задачи.

К методам исследования можно отнести:

- отбор и изучение литературы;

- решение, сравнение, анализ занимательных задач разных лет;

- уточнение сделанных выводов.

Глава 1.  Занимательные задачи в России с древних времен по наши дни.

В первой главе раскрывается суть термина «занимательные задачи», проводится краткое исследование их возникновения и изменения в математической литературе разных лет.

1. Общие сведения о занимательных задачах в математике

В русской математической литературе и учебниках всегда большое внимание уделялось занимательным задачам, так как считалось, что элемент занимательности облегчает обучение. К занимательным задачам принято относить задачи с интересным содержанием или интересными способами решения, математические игры, задачи, касающиеся интересных свойств чисел и геометрических тел [3;1].

2.1. Занимательные задачи в России с древних времен

Из первых известных письменных источников мы узнаем о том, что математические знания на Руси были распространены уже в X—XI веках.

Они были связаны с практическими нуждами людей: летоисчислением, вычислением поголовья и стоимости стада, определением прибыли от сбора урожая и т. д.        

В XVI—XVII веках в России начинает появляться и распространяться рукописная математическая литература (этого требуют межевание и измерение земель, система податного обложения, градостроительство и военное дело, развивающиеся торговые отношения внутри страны и торговля с другими государствами). В настоящее время известно значительное количество математических рукописей XVII века. В основном они предназначались для купцов, торговцев, чиновников, ремесленников, землемеров и носили сугубо практический характер. Материал их распределялся по «статьям», содержащим указания, как надо поступать при решении тех или иных задач. Правила пояснялись разнообразными примерами и задачами. Некоторые из этих задач интересны либо своей формулировкой, либо способом решения. Многие из них перешли в учебники по арифметике и алгебре XVIII века, некоторые сохранились и до нашего времени [3;6].

Рукописи XVI—XVII веков сыграли большую роль в распространении математических и практических знаний. Они явились той основой, на которой создавалась учебная литература XVIII века.

Перестройка государственной, общественной и культурной жизни страны, начатая Петром I, подняла и вопросы образования. Требовались специалисты для создания новой регулярной армии, для постройки торгового и военного флота, для развития промышленности и т. д. Для подготовки таких кадров, для распространения в стране математических знаний нужны были учебники. В 1703 году такой учебник был издан типографским способом необычайно большим по тем временам тиражом — в количестве 2400 экземпляров. Назывался он «Арифметика, сиречь наука числительная...» [7]. Автором его был выдающийся педагог - математик  — Леонтий Филиппович Магницкий. Взяв за основу имевшуюся рукописную математическую литературу, он создал книгу, которая на протяжении 50 лет была основным учебником по математике для почти всех учебных заведений России. Она сыграла большую роль в распространении математических знаний, в подготовке кадров для государственных учреждений страны [3;7].

«Арифметика»— одна из самых замечательных русских книг — являлась энциклопедией математических знаний того времени. Понимая роль заинтересованности в обучении, Магницкий приводит много задач с остроумным содержанием, занятными формулировками, интересными способами решения. К некоторым задачам приводятся рисунки. Занимательным задачам он посвящает целый раздел «Об утешных некиих действах чрез арифметику употребляемых».

В 1725 году в Петербурге открылась Академия наук с университетом и гимназией. Вначале для работы в Академии были приглашены ученые из-за границы. Среди них приехал в Россию двадцатилетний швейцарец Леонард Эйлер, будущий великий математик. Его педагогическая деятельность способствовала формированию русских национальных научных кадров. Отметим здесь учебники Эйлера по элементарной математике: «Руководство к арифметике, для употребления в гимназии при Императорской Академии наук» (1738—1740 гг.) и «Универсальная арифметика» (1768—1769 гг.). Материал в этих книгах изложен очень ясно, доходчиво, сопровождается большим количеством различных увлекательных задач и примеров.

Книги Магницкого и Эйлера послужили основой для многих учебников других авторов: Н.Г. Курганова, Д. С. Аничкова, С. К. Котельникова, С. Я. Румовского и др. Кроме отдельных учебников, появляются и целые курсы математики. Так, например, в 1787— 1790 гг. вышел «Курс чистой математики» Е. Д. Войтяховского, состоящий из пяти книг (Арифметика, Алгебра, Геометрия, Тригонометрия и Фортификация), предназначенный для учеников основанной им в Москве Математической школы. Книги эти пользовались большой популярностью и неоднократно переиздавались [6].

Если в русской рукописной литературе XVII века и в книгах начала и середины XVIII века занимательные задачи были рассеяны среди учебных задач, то уже в конце XVIII века этим задачам посвящаются отдельные издания. Такой, например, является книга «Детский гостинец, или четыреста девяносто девять загадок с ответами в стихах и прозе, взятых как из древней, так и новейшей истории и из всех царств природы и собранных одним другом детей для их употребления и приятного препровождения времени». Эта небольшая книжка вышла в Москве в 1794 году и содержала различные занимательные вопросы, загадки, пословицы и небольшие истории.

Немного позднее вышла книга И. Буттера "Занимательные и увеселительные задачи и загадки" (1831), содержавшая более сотни задач и головоломок.  В 1884 году вышли две книги Василия Обреимова - "Математические софизмы" и "Тройная головоломка". В самом начале прошлого века два московских преподавателя из университета и реального училища Д. Горячев и А. Воронец выпустили книгу "Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики" (1903). Она неплохо составлена методически и не устарела. Учитель из Казани П. Кильдюшевский адресовал свою книгу "Юным математикам" (1911) непосредственно школьникам. Задачи в ней интересны, но к ним почти нет ни решений, ни ответов. Определенную лепту в пропаганду нестандартных задач внес издававшийся в те же годы "Журнал элементарной математики" под редакцией профессора В. Ермакова. 

Выдающаяся роль в приобщении к математике посредством занимательных приемов принадлежит педагогам А. Лямину, Н. Аменицкому, И. Сахарову, Е. Игнатьеву, С. Рачинскому, работавшим в России в конце XIX - начале ХХ века. Их брошюры и книги пользовались неизменным успехом у учителей, родителей, учащихся и, как правило, переиздавались. Некоторые задачи в них были заимствованы из зарубежных источников, однако  большая их часть оригинальна.

Николай Аменицкий выпустил серию из двадцати брошюр по занимательной математике - "Научно-забавная библиотека для семьи и школы", а Иван Сахаров известен методическими разработками по астрономии, естествознанию, истории, литературе для детей. "Забавная арифметика" - их единственный совместный труд (1911). В нем почти 250 задач и вопросов, размещенных в трех главах - для детей младшего, среднего и старшего возрастов. Ко всем упражнениям приведены ответы [5]. 

Книги отечественных авторов выходили в XVIII - начале XX века практически одновременно с аналогичными зарубежными изданиями и по качеству не уступали им. 

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что так называемые «занимательные задачи» с давних времен применялись людьми для развития и совершенствования математических знаний. Во второй главе нами будут предоставлены решения таких задач как давних времен, так и современных.

Глава 2. Исследование занимательных задач различных времен

2.1 Описание и постановка исследования

Для подтверждения гипотезы, выдвинутой в главе 1, были решены некоторые  занимательные задачи различных времен и выделены основные тематические направления, которые исследовались далее.

2.1.1 Временные расчеты

Первый тип задач, с которым мы познакомились, касался расчетов лет, месяцев, дней недели, часов и т. д. Такие занимательные задачи мы объединили в группу « Временные расчеты». Вот некоторые из них:

Старинная задача XVIII век [3;55]

У одного старика спросили, сколько ему лет. Он ответил, что ему 100 лет, но дней рождений было только 25. Как такое могло быть?                                                                                                                                                            

Решение:

100:25=4 – значит,  у старика день рождения был раз в 4 года, а по календарю раз в 4 года бывает только 29 февраля.

Ответ: у старика день рождения был 29 февраля.

Современная задача XXI век [4; 65]

Парусник отправляется в плавание в полдень. Плавание будет продолжаться 100 часов. Назовите время и день его возвращения.

Решение:

100ч. = 4сут. 4ч.,   полдень : 12 ч.

12 + 4 = 16 (ч.)

Ответ парусник приплыл в пятницу в 16:00.

2.1.2. Поиск неизвестного

Следующие задачи отнесены к группе «Поиск неизвестного». Сейчас они обычно решаются с помощью уравнений. Но, оказывается, в «Арифметике» Магницкого Л. Ф. для их решения предлагалось воспользоваться «…правилом фальшивым и гадательным…» [26;]

Старинная задача «Ответ учителя», XVIII век [3;28]

Спросил некто учителя: «Скажи, сколько учеников в твоем классе, так как я хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько и четверть столько и твой сын, тогда будет у меня в классе 100 учеников». Сколько было учеников классе?

Решение I (старинное):

По правилу «фальшивому» или «гадательному» следовало решать задачу так:

Предположим, что в классе было 24 ученика. Если придет столько же, затем полстолько, еще четверть столько и 1 ученик, всего получится:

24+24+12+6+1=67, что не соответствует условию задачи.

Предположим, что в классе 32 ученика. Получим:

32+32+16+8+1=89, что противоречит условию.

Согласно «фальшивому» правилу, составим схему:

24                            33            

32                            11            

Следовательно, в классе было: 792 : 22 = 36 учеников.    

Решение II (современное):

Пусть х - четверть учеников в классе. Тогда 2х – половина и 4х – полное количество учеников. Считая, что 4х учеников было в классе, 1 ученик – сын, а станет 100 учеников, составим уравнение:

х+2х+4х+4х+1=100

11х=100-1

11х=99

х=99:11

х=9 - четверть

9*4=36

Ответ: в классе было 36 учеников.

Занимательная задача XXI век[4;34]

Было 9 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 3 части. Всего стало 15 листов. Сколько листов бумаги разрезали?

Решение:

15-9=6(л) – на столько стало больше;

3-1=2(л) – становилось больше при 1 разрезе;

6:2=3(л) – разрезали;

Ответ: разрезали 3 листа на 3 части.

2.1.3. Задачи на движение

Следующий тип задач, с которым можно встретиться как на страницах старинных задачников, так и в современных сборниках занимательных заданий, представляет собой задачи на движение.

Старинная задача XVII век [3; 15]

Идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет на встречу ему из другого города и в день проходит по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней встретятся путники?

Решение:

700:(30+40)=10 дней

Ответ: путники встретятся через 10дней.

Современная задача XXI век [2; 178]

Собака, почуяв приближение хозяина, побежала ему навстречу, когда он находился на расстоянии 150 м от дома. Через 10 с расстояние между ними сократилось до 50м. С какой скоростью шел хозяин, если скорость собаки на 8 м/с больше скорости хозяина?

Решение:

(150-50):10=10 (м/с)  – скорость сближения хозяина и собаки.

(10-8):2=1 (м/с) - скорость хозяина.

Ответ: хозяин шёл со скоростью 1м\с.

2.1.4. Денежные расчеты

Следующий рассмотренный тип задач был посвящен денежным расчетам. Так как в Древней Руси денежные единицы отличались от современных, для упрощения вычислений сделана таблица их соотношений.

Старинная задача XVIII век [3; 18]

Принес крестьянин на рынок продавать яйца. Подходит к нему торговец и спрашивает: «Сколько стоит десяток яиц?». Крестьянин ответил замысловато: «25 яиц без полушки стоят 5 полушек без 5 яиц». Сколько стоит десяток яиц?

Решение:

25+5(яиц) = 1+5(полушки)

30яиц = 6полушек

30:3 = 6:3

10 яиц = 2 полушки = 1 деньга

Ответ: десяток яиц стоит 1 деньгу.

Современная задача XXI век [4; 55]

Килограмм масла стоит 180 рублей, что составляет 90% стоимости килограмма мяса. Стоимость пакета молока составляет 20% стоимости килограмма мяса, или 4/5 стоимости десятка яиц. Сколько надо заплатить за 3 десятка яиц?

Решение:

180:90*100=180:9*10=200 (руб/кг) – мясо.

200:100*20=200:5=40 (руб/кг) – молоко.

40:4*5=50 (руб/дес) – яйца.

50*3=150 (руб/3 дес)

Ответ: 3 десятка яиц стоят 150 рублей.

2.2. Вывод

В разное время занимательные задачи носили практико – ориентированный характер, что объясняет те типы, которые были выделены в ходе исследования.

Что касается методов решения, то как старинные, так и современные задачи можно решить, прибегнув к помощи школьной математики и логических размышлений. Что касается «правил фальшивых и гадательных», то такие рассуждения сейчас не применяются, так как проще решить такие задания с помощью составления уравнения.

Заключение

При обращении к современной литературе, убедились в том, что занимательные задачи древности находят отклик в современных учебниках. Таким образом, проблема исследования была решена.

Изучив историю возникновения занимательных задач в России и заметив изменения, которые происходили с ними в течение времени, удостоверились в том, что таким образом можно проследить за развитием математической мысли в России. Следовательно, гипотеза нашла своё подтверждение.

Были реализованы следующие задачи:

- отбор и анализ материала, касающегося математической мысли в России;

- рассмотрение и сопоставление занимательных задач из источников различных лет;

- изучение способов решения некоторых старинных задач.

В результате, была достигнута цель исследовательской работы: выявлены взаимосвязи занимательных задач древних времен и наших дней.

Список литературы:

1. Виленкин Н. Я.  Математика. 5 класс : учеб. Для общеобразоват. Учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. – 26-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2009. – 280 с. : ил.

2. Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г., Математика. 5 класс. Часть 2. – Изд. 2-е, перераб. / Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. – М.: Издательство «Ювента», 2011. – 240 с.: ил.

3. Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К., Старинные занимательные задачи. – 2-е изд., испр. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1988. – 160 с.

4. Фарков А. В. Математические олимпиады. 5-6 классы: учебно-методическое пособие для учителей математики общеобразовательных школ. / А. В. Фарков. – М.: Издательство «Экзамен», 2006. – 189, (2) с. (Серия «Учебно-методический комплект»).

5. http://www.nkj.ru/archive/articles/2228/

6. school-collection.edu.ru

7. http://wiki.kgpi.ru/mediawiki/index.php

Приложение

Современная задача: [3;269]

Самый длинный день в Москве длится 1057 минут. Какова продолжительность самой короткой ночи в Москве?

Решение:

1057минут=17ч37мин

В сутках 24часа

24ч-17ч37мин=6ч23мин

Ответ: самая короткая ночь в Москве длится 6часов 37минут.

Старинная задача: [3;34]

 «Сколько лет твоему сыну?» - спросил один человек у своего приятеля. Приятель ответил: «Если к возрасту моего сына прибавить столько же да еще половину, то будет 10 лет». Сколько лет сыну?                                                  

Решение:

Обозначим за «х» половину возраста сына. Тогда полный возраст сына будет равен «2х». Составим уравнение:

х+2х+2х=10

 5х=10

 х=10:5

 х=2 - это половина

2*2=4 – возраст сына.

Ответ: его сыну 4 года.

Старинная задача: [2;70]

Средний из трех братьев старше младшего на 2 года, а возраст старшего брата превышает сумму лет двух остальных братьев на 4 года. Найди возраст каждого из братьев, если вместе им всем 96 лет.

Решение:

Пусть х лет – возраст младшего брата. Средний старше его на 2 года, ему (х+2) года, сумма лет двух братьев: (х+(х+2)) лет, что на 4 года меньше возраста старшего брата. Известно, что вместе братьям 96 лет.

Составим уравнение:

 х+(х+2)+(х+(х+2)+4)=96

 4х+8=96

4х=96-8

 4х=88

 х=88:4

 х=22

 22 года младшему брату

 22+2=24 года среднему брату

24+22+4=50  лет старшему брату.

Ответ: 22;24;50.

Старинная задача [2;57]

Дедка вдвое сильнее бабки, бабка втрое сильнее внучки, внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее кошки, кошка вшестеро сильнее мышки. Дедка, бабка, внучка, Жучка, кошка, мышка могут вытащить репку, а без мышки не могут. Сколько потребуется мышек, чтобы вытащить репку?

Решение:

1+1*6+1*6*5+1*6*5*4+1*6*5*4*3+1*6*5*4*3*2=1237

1+6+30+120+360+720=1237

Ответ: потребуется 1237 мышек.

Старинная задача: [3;15]

Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать во всякий день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему проходить в день по 54верст. На какой день второй человек догонит первого?

Решение:

40:(45-40)=8дней

Ответ: на 8 день второй человек догонит первого.

Старинная задача: [3;22]

Некто купил 96гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2алтына и 7полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2алтына без полушки. Сколько стоит покупка?

Решение: 96:2=48 2*3=6 48*2+(48*2+(48*7:4))=276копеек

Ответ: покупка гусей стоит 2рубля 76копеек.

Старинная задача [3; 48]

Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8бочек масла, то у него оставалось 20алтын. Когда же стал давать за 9бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег у этого человека?

Решение: (60+160)*8+60=(60+160)*9-160=1820копеек

Ответ: у этого человека было 18рублей 2гривны.

Современная задача [4;35]

Попрыгунья Стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть времени каждых суток танцевала, шестую часть – пела. Остальное время она готовилась к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?

Решение:

1сутки=24часа 1/3=8ч
1/2=12ч                                                                                                     1/6=4ч

24-12-8-4=0(ч)

Ответ: Стрекоза готовилась к зиме 0ч/сут.