Реферат по математике на тему: Геометрия Лобачевского

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

лицей N1 имени академика Б.Н.Петрова

Геометрия Лобачевского

Реферат ученика 10 Б класса

Фейгина Андрея

Преподаватель: Мищенко М.В.

Смоленск, 2014

СОДЕРЖАНИЕ

1 Введение        3

2 Геометрия до Евклида        4

3 Евклид и его геометрия        7

4 Проблема пятого постулата        10

5.Попытки доказать пятый постулат         12

6 Открытие неевклидовой геометрии        16

7 Биография Николая Ивановича Лобачевского        17

8 Геометрия Лобачевского        19

9 Доказательство независимости 5 постулата        22

10 Геометрия Лобачевского в реальном мире        25

11 Примеры поверхностей Лобачевского…………………………………... 27

12 Заключение…………………………………………………………………… 29

ВВЕДЕНИЕ

На уроках геометрии в 7-м классе я познакомился с аксиомой параллельности прямых.

В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Позже, углубленно изучая геометрию, я узнал, что эта аксиома верна только для геометрии Евклида в пространстве, которое тоже называется Евклидовым. И, что существуют другие геометрии и другие пространства, где эта аксиома не выполняется. Одну из таких геометрий придумал наш соотечественник Николай Иванович Лобачевский.

Целью моей работы является знакомство с геометрией Лобачевского, изучение аксиоматического подхода в построении любой теории, систематизация полученных знаний, изучение доказательства пятого постулата, рассмотрение локальных  поверхностей с постоянной отрицательной кривизной, на которых верна геометрия Лобачевского

В своей работе я хочу показать, что кроме геометрии, которую изучают в школе, существует ещё одна – «Воображаемая геометрия», которая существенно отличается от евклидовой. Отличия я постараюсь отразить в работе.

Я выбрал данную тему потому, что геометрия Лобачевского помогает совершенно по-другому взглянуть на окружающий мир. Чтобы ее понять, необходимо обладать фантазией и пространственным воображением.

Вначале геометрия Лобачевского считалась непригодной к практическому применению, так как пространство, в котором мы живем, не соответствует пространству, описываемому этой геометрией. Однако законы, выведенные Лобачевским, вскоре нашли практическое применение.

Геометрия до Евклида

Возникновение и развитие геометрических представлений обычно относят к древневосточным цивилизациям – Египет, Вавилон, Индия, Китай в связи с развитием земледелия. Говорить о геометрии как науке на этой стадии нельзя – это была эпоха предварительного накопления геометрических сведений.

Во II тысячелетии до н.э. египтяне умели точно вычислять площадь треугольника, площадь круга и объем четырехугольной усеченной пирамиды. В Вавилоне во II тыс. до н.э. была известна так называемая теорема Пифагора.

В математике Древнего Востока нет доказательств, только правила: "Делай так-то".

В VII в. до н.э. благодаря торговле геометрические знания достигли Греции. Исследователями древней Греции были впервые сформулированы основные положения науки о законах правильного мышления.

Постепенно выделялись немногие первоначальные предложения, которые получены из опыта и должны быть положены в основу геометрии без логического доказательства. Было заложено начало созданию аксиоматического метода изложения геометрии.

В развитии геометрии в Греции можно выделить три периода:

1. (VII – VI в. до н. э.) Основателем и представителем ("отцом" греческой математики) является Фалес Милетский (640–548 гг. до н.э.). Ему приписывают доказательстваследующих теорем:

– угол, вписанный в полуокружность, прямой.

– вертикальные углы равны.

– углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой.

и др.

2. (VI – V в. до н. э.) – Пифагор и его школа. Пифагору предписывают доказательство следующих предложений:

– сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам;

– плоскость можно покрыть правильными треугольниками, четырехугольниками и шестиугольниками;

– известная теорема Пифагора;

– открытие геометрического способа решения квадратных уравнений;

– открытие пяти типов правильных многогранников;

– существование несоизмеримых отрезков (считается самым важным открытием школы Пифагора. До этого считалось, что отношение двух любых отрезков может быть выражено рациональным числом).

3. (IV в. до н. э.) Философские школы в Афинах Платона и Аристотеля. С этими школами связывают два основных достижения:

– выработку принципов научного построения геометрической системы, расчленение ее предложений на аксиомы, теоремы и определения;

– разработку определенных методов и форм доказательства: анализ, синтез, доказательство от противного, дедукция (из общих истин получаем частные выводы).

Таким образом, до III в. до н. э. геометрия в Греции накопила обильный фактический материал, назрела необходимость в его систематизации. Эта задача наиболее полное и совершенное разрешение получила в созданных Евклидом "Началах". Начался новый период развития геометрии.

Можно также отметить следующих исследователей:

Демокрит (470–370 гг. до н.э.) открыл теоремы об объемах пирамиды и конуса.

Евдокс (~410–356 гг до н.э.) – создатель геометрической теории пропорций, заменявшей грекам теорию иррациональных чисел. Он же нашел способ нахождения объема пирамиды, конуса и шара.

Менехм (~380–320 гг до н.э.) – ученик Евдокса. Открыл конические сечения, которые затем обстоятельно изучил Аполлоний. Кроме того, Менехм опубликовал два способа решения классической задачи об удвоении куба: пересечением двух парабол или пересечением параболы и гиперболы.

Архимед (287–212 до н.э.) – открытие правил для вычисления площади поверхности шара и некоторых других фигур, объемов ряда тел. Он нашел приближение для числа π и многое другое

Общие вопросы аксиоматики

Основным методом в современной математике является аксиоматический метод. Его суть:

1. Перечисляются основные понятия (основные объекты: t1, t2, …, tn; основные отношения: τ1, τ2, …, τk).

2. Формулируются аксиомы, в которых сообщаются некоторые свойства основных понятий, необходимые для построения теории. Совокупность Т = {t1, …, tn; τ  … τ k; A1, …, Am} называется аксиоматической теорией (АТ).

3. Все понятия, не являющиеся основными, определяются через ранее введенные основные понятия.

4. Все предложения, не являющиеся аксиомами, доказываются на основе аксиом, определений и ранее доказанных предложений.

Всякий конкретный набор предметов, которым приписывается роль объектов данной системы аксиом (множества, играющие роль основных объектов, и отношения), называют реализацией или интерпретацией этих аксиом.

Множество объектов, реализующих данную систему аксиом, называют моделью той логической схемы, которая определена аксиомами.

Основные требования к системе аксиом (СА)

– непротиворечивость – свойство АТ, состоящее в том, что в этой теории нельзя получить противоречие, т.е. доказать некоторое предложение и вместе с тем его отрицание (внутренняя непротиворечивость). Проблемами внутренней непротиворечивости СА занимается математическая логика.

– независимость (аксиома называется независимой от остальных аксиом АТ, если она не может быть выведена из них в этой АТ).

– полнота (система аксиом называется полной, если не существует такого предложения аксиомы, которое удовлетворяло бы двум условиям одновременно):

1) Аксиома не зависит от данной системы аксиом (ΣТ)

2) (ΣТА) – непротиворечива, где ТА = {А, А1, А2, ..., Аm}

Евклид и его геометрия

Евклидова геометрия, представляет собой геометрическую теорию, основанную на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.). Евклидова геометрия — привычная геометрия, изучаемая в школе. Обычно относится к двум или трём измерениям, хотя можно говорить о многомерном евклидовом пространстве. Евклидова геометрия названа в честь древнегреческого математика Евклида.

О жизни Евклида (около 365 г. до нашей эры — 300 г. до нашей эры) почти ничего не известно. До нас дошли только отдельные легенды о нем. Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему легкий путь к математике. «К геометрии нет царской дороги», — ответил ему ученый.

Евклид – ученик школы Платона, при царе Птолемее I преподавал математику в Александрии – столице Древнего Египта. Из работ, написанных Евклидом, главным произведением являются "Начала".

В «Началах» собраны все геометрические сведения, полученные трудами десятков математиков античности, живших до Евклида. Этот труд, состоящий из тридцати томов, на два тысячелетия стал единственным учебником, по которому можно было изучить геометрию. И «Начала» прекрасно описывают пространство, в котором мы живем, благодаря чему эту геометрию (как и пространство) назвали Евклидовой.

Дошедшие до нас рукописи «Начал» Евклида имеют ряд существенных отличий друг от друга, накопившихся в ходе многовекового редактирования. Датский филолог Гейберг в 1883—1888гг реконструировал «Начала», проанализировав все сохранившиеся древние тексты. Издание Гейберга легло в основу всех последующих переизданий «Начал», включая русские переводы.

«Начала» в издании  Гейберга состоят из 13 книг, построенных по единой логической схеме.

I – VI посвящены планиметрии;

(В книгах I, III, IV даны свойства треугольников, теория параллельных прямых, теорема Пифагора, свойства окружностей, вписанных и описанных многоугольников. Во II книге в геометрической форме даны основные геометрические тождества. В V изложена теория отношений по Евдоксу, VI – теория подобия фигур.)

VII – IX – арифметике в геометрическом изложении;

Х – несоизмеримым величинам;

XI–XIII – стереометрии (XIII посвящена правильным многогранникам).

Многое из того, что уже было известно, не изложено в "Началах", например, теории конических сечений и кривых высших порядков в "Началах" не были представлены.

Каждая из книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т. д.), которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа основных положений, принимаемых без доказательства, строится вся система геометрии.

Примеры определений из "Начал" (книга I):

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия есть длина без ширины.

3. Границы линии суть точки.

4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.

5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6. Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.

7. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой невстречаются.

Примеры постулатов

Постулаты содержат в себе допущение.

Допустим:

1. От всякой точки до другой точки можно было провести прямую линию.

2. Ограниченную прямую можно продолжать неограниченно.

3. Из каждой точки, как из центра, можно было произвольным радиусом описать окружность.

Требуется:

4. Чтобы все прямые углы были равны друг другу.

5. (V постулат) И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-хпрямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых.

Примеры аксиом

1. Равные порознь третьему равны между собой.

2. И если к равным прибавим равные, то получим равные.

...

5. И если удвоим равные, то получим равные.

6. И половины равных равны между собой.

7. И совмещающиеся равны.

8. И целое больше части.

9. И две прямые не могут заключить пространства.

Некоторые недостатки системы Евклида были замечены уже в древности. В частности, список геометрических постулатов был расширен, например, Архимедом, добавившим аксиому (называемую аксиомой Архимеда), играющую существенную роль в теории измерений.

Кроме того, было замечено, что IV постулат является лишним, так как равенство прямых углов может быть доказано.

Проблема пятого постулата

При исследовании "Начал" Евклида делались попытки уточнить основные положения геометрии. Но очень немногие ставили задачу пополнения списка аксиом или постулатов. Напротив, их количество (в большинстве случаев) пытались уменьшить.

В этих исследованиях особое место занимают исследования, связанные с V постулатом Евклида.

V постулат: Требуется, чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-хпрямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых (рисунок 1).

Рисунок 1

Многие теоремы Евклида (например, «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны») выражают гораздо более простые факты, чем пятый постулат. К тому же проверить на эксперименте пятый постулат довольно сложно. Достаточно сказать, что если на рис. 1 расстояние |АВ| считать равным 1 м, а угол β отличается от прямого на одну угловую секунду, то можно подсчитать, что прямые l1 и l2 пересекаются на расстоянии свыше 200 км от прямой АВ

В современных источниках обычно приводится другая формулировка постулата о параллельных, эквивалентная V постулату, ее часто называют постулат Плейфера.

Постулат Пфейфера

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной (рис.2)

Рисунок 2

Вообще у V постулата имеется огромное количество эквивалентных формулировок, многие из которых сами по себе кажутся довольно очевидными. Некоторые эквиваленты V постулата:

• Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной (постулат Плейфера).
• Существует прямоугольник (хотя бы один), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые.
• Существуют подобные, но не равные треугольники (аксиома Валлиса, 1693). И здесь достаточно, чтобы существовала хотя бы одна пара таких треугольников.
• Любую фигуру можно пропорционально увеличить.
• Существует треугольник сколь угодно большой площади.
• Прямая, проходящая через точку внутри угла, пересекает по крайней мере одну его сторону (аксиома Иоганна Фридриха Лоренца, 1791).
• Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны (одно из предположений Лежандра, 1800).
• Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую – сближаются.
• Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся. Вариант: перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой непременно пересекаются. Утверждение известно как постулат Лежандра, хотя это формулировка встречалась ещё в XIII веке у ат-Туси.
• Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют прямую,
• Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в туже сторону, без пересечения) расходиться (принцип Омара Хайями, аксиома Роберта Симсона, 1756).
• Сумма углов одинакова у всех треугольников.
• Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым.
• Две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу (аксиома Остроградского, 1855).
• Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.
• Через любые три точки можно провести либо прямую, либо окружность.
• Вариант: для всякого невырожденного треугольника существует описанная окружность (аксиома Фаркаша Бойяи).
• Справедлива теорема Пифагора
• Отношение длины окружности к её диаметру является константой, то есть одинаково для любой окружности. Вариант: отношение длины окружности к её диаметру равно числу Пи (хотя бы у одной окружности).

Попытки доказать V постулат

Большинство ученых ставило своей задачей доказать его на основании остальных постулатов как теорему. Было предложено множество различных доказательств V постулата, но все они были ошибочны, так как авторы обычно опирались на какое-нибудь геометрическое утверждение, которое являлось аналогом V постулата.

Вот неполный перечень учёных, занимавшихся доказательством V постулата:

1. Древнегреческие математики Птолемей (II в.), Прокл (V в.) (доказательство Прокла основано на предположении о конечности расстояния между двумя параллельными),
2. Ибн аль-Хайсам из Ирака (конец X — начало XI вв.) (Ибн аль-Хайсам пытался доказать V постулат, исходя из предположения, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию),
3. иранский математик Омар Хайям (2-я половина XI — начало XII вв.),
4. азербайджанский математик Насирэддин Туси (XIII в.) (Хайям и Насирэддин при доказательстве V постулата исходили из предположения, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения),
5. немецкий математик Х. Клавиус (1574),
6. итальянские математики  П. Катальди (впервые в 1603 году напечатавший работу, целиком посвященную вопросу о параллельных),Дж. Борелли (1658), Дж. Витале (1680),
7. английский математик Дж. Валлис (1663, опубликовано в 1693) (Валлис основывает доказательство V постулата на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная, но не равная фигура).
8. Итальянский математик Дж. Саккери (1733) сделал попытку доказать V постулат от противного.
   В основе его рассуждений лежит четырехугольник с двумя прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами. Саккери пытался доказать, что если у оставшихся двух углов один прямой, а второй больше или меньше прямого угла, то придем к противоречию.

Гипотезу тупого угла он отверг сразу. Легко показать, что в этом случае вообще все прямые пересекаются, а тогда можно заключить, что V постулат Евклида справедлив – ведь он как раз и утверждает, что при некоторых условиях прямые пересекаются. Отсюда делается вывод, что «гипотеза тупого угла всегда целиком ложна, так как она сама себя разрушает». -

 «Гипотеза острого угла»: он допускает, что она верна, и, одно за другим, доказывает целый ряд следствий. Наконец, Саккери доказывает, что в «ложной геометрии» любые две прямые или пересекаются, или имеют общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они удаляются друг от друга, или же удаляются друг от друга с одной стороны и неограниченно сближаются с другой. В этом месте Саккери делает неожиданный вывод: «гипотеза острого угла совершенно ложна, так как противоречит природе прямой линии».Однако, он продолжает исследование – рассматривает эквидистанту — геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от прямой; в отличие от своих предшественников, Саккери понимает, что в рассматриваемом случае это вовсе не прямая. Однако, вычисляя длину её дуги, Саккери допускает ошибку и приходит к реальному противоречию, после чего заканчивает исследование. К сожалению, работа Саккери, изданная посмертно, не обратила на себя того внимания математиков, которого заслуживала, и только спустя 150 лет (1889) его соотечественник Бельтрами обнаружил его труд и оценил его историческое значение. В своих исследованиях Саккери получил утверждения, похожие на теоремы геометрии Лобачевского.

9. Немецкий математик И. Ламберт (около 1766, опубликовано в 1786) предпринял аналогичные исследования, однако он не повторил ошибки Саккери, а признал своё бессилие обнаружить в построенной им системе логическое противоречие.

Четырёхугольник Ламберта (четырёхугольник, в котором при трёх вершинах прямые углы)

Из трёх возможных предположений о величине четвёртого угла: либо угол прямой, либо угол тупой, либо угол острый; первая гипотеза является утверждением, эквивалентным постулату Евклида о параллельных; вторая приводит к противоречию с другими аксиомами и постулатами Евклида. Относительно третьей гипотезы Ламберт сделал предположение, что она выполняется на некоторой мнимой сфере.

Среди геометров 18 века Ламберт ближе всех подошел к решению проблемы V постулата. Ламберт первым обнаружил, что «геометрия тупого угла» реализуется на сфере, если под прямыми понимать большие круги. Он, как и Саккери, вывел из «гипотезы острого угла» множество следствий, причём продвинулся гораздо дальше Саккери; в частности, он обнаружил, что дополнение суммы углов треугольника до 180° пропорционально площади треугольника.

Ламберт не нашёл противоречия в гипотезе острого угла и пришёл к заключению, что все попытки доказать V постулат безнадёжны. Он не высказал каких-либо сомнений в ложности «геометрии острого угла», однако, Ламберт размышлял о возможной физической реальности неевклидовой геометрии и о последствиях этого для науки:

10. Французский математик А. Лежандр; одно из его доказательств (1800) основано на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла, то есть, как и все его предшественники, он заменил постулат другим допущением.

Словом, стремление доказать пятый постулат сравнивают с исступленным желанием найти «философский камень» в средние века или с бесчисленными попытками создать «вечный двигатель». Геометров не устраивало «темное пятно» в «Началах» Эвклида, а решения не находилось.

В первой половине XIX века по пути, проложенному Саккери, пошли К. Ф. Гаусс, Я. Бойяи, Н. И. Лобачевский и Ф. К. Швайкарт. Но цель у них была уже иная — не разоблачить неевклидову геометрию как невозможную, а, наоборот, построить альтернативную геометрию и выяснить её возможную роль в реальном мире.

Открытие неевклидовой геометрии

Первым был Швайкарт. В 1818 году он отправил Гауссу письмо с серьёзным анализом основ неевклидовой геометрии, однако воздержался от вынесения своих взглядов на публичное обсуждение. Гаусс тоже не решился опубликовать работу на эту тему, но его черновые заметки и несколько писем однозначно подтверждают глубокое понимание неевклидовой геометрии. Гениальный Гаусс, к мнениям которого все прислушивались, не рискнул опубликовать свои результаты по неевклидовой геометрии, опасаясь быть непонятым.

Интересно, что Гаусса и Лобачевского учил в молодости один и тот же учитель — Мартин Бартельс, который, впрочем, сам неевклидовой геометрией не занимался.

Известный математик Фаркаш Бойяи, всю жизнь работавший над теорией параллельных, считал, что решение этой проблемы выше сил человеческих, но его сын Янош Бойяи (1802-1860) не внял предостережениям отца и независимо от Гаусса пришел к тем же идеям. В приложении (Appendix) к книге своего отца, вышедшей в 1832 г, Янош Бойяи дал самостоятельное изложение неевклидовой геометрии.

К этому открытию независимо от Гаусса пришел и наш соотечественник профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский. Он построил новую геометрию, которую часто называют геометрией Лобачевского - Бойяи .

Первый набросок новой теории — доклад «Сжатое изложение начал геометрии» Лобачевский сделал 11 (23) февраля 1826 года, дата этого выступления считается днём рождения неевклидовой геометрии.

Первое значительное открытие Лобачевского состояло в доказательстве независимости пятого постулата геометрии Евклида от других положений этой геометрии. Важнейший вывод «воображаемой» геометрии гласит следующее: потому-то и невозможно доказать пятый постулат Евклида, что наряду с евклидовой геометрией может существовать иная, где этот постулат не имеет силы.

Вторым открытием была уже сама логически непротиворечивая система новой геометрии. На свою геометрию он смотрел именно как на теорию, а не как на гипотезу.

Биография Николая Ивановича

Лобачевского.

1729 – 1856

Николай  Иванович Лобачевский родился в 1760г в семье чиновника геодезического департамента.

В 1802 году поступил в Казанскую гимназию, в 1807 был зачислен в Казанский университет. С 1814 г. Лобачевский преподает в университете. В течение нескольких лет он избирался деканом физико-математического факультета. С 1827 г. начинается 19-летний период его непрерывного ректорства.

На днях исполнилось 88 лет с того дня (11 февраля 1826) как Лобачевский сделал  доклад «Сжатое изложение начал геометрии» на заседании ученого совета, дата этого выступления считается днём рождения неевклидовой геометрии.

В 1830г. в «Казанском вестнике» выходит работа «О началах геометрии». Это сочинение стало первой в мировой литературе серьёзной публикацией по неевклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского.

Однако научные идеи Лобачевского не были поняты современниками.

В 1835—1838 Лобачевский опубликовал в «Учёных записках» статьи о «воображаемой геометрии», а затем вышла наиболее полная из его работ «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных».

В 1837 году в Берлине вышла статья Лобачевского «Воображаемая геометрия» на французском языке, а в 1840 году Лобачевский опубликовал на немецком языке небольшую книгу «Геометрические исследования по теории параллельных», где содержится чёткое и систематическое изложение его основных идей.

В 1842 году по рекомендации Гаусса Лобачевский был избран членом-корреспондентом Гёттингенского королевского научного общества.Это избрание стало единственным прижизненным признанием научных заслуг Лобачевского.

Н. И. Лобачевский дослужился до высоких чинов, он был награжден большим числом орденов, но о его геометрии предпочитали не говорить.

Николай Иванович Лобачевский умер непризнанным.

Прошло еще не менее двадцати лет, прежде чем геометрия Лобачевского завоевала права гражданства в математике.

В честь Лобачевского названы:

1. Малая планета № 1858.
2. Кратер на обратной стороне Луны (9.9°N, 112,6°E).
3. Научная библиотека Казанского университета.
4. Улицы в Москве, Киеве, Казани, Липецке и др. городах.
5. Один из самолётов Аэрофлота.
6. Школа № 52 во Львове, Украина.
7. Лицей им. Н. И. Лобачевского при КГУ (Казань)

ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО

Рассмотрим основные понятия, на которых базируется изложение  геометрии Лобачевского. За основные объекты  приняты точка, прямая и отрезок. За основные отношения между этими объектами принимаются:

Точка принадлежит фигуре, в частности прямой;

Точка лежит между двумя точками для точек прямой.

Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка.

Лучом AB называется часть прямой, состоящая из всех ее точек, лежащих по ту же сторону от точки А, что и точка В. точка А называется вершиной луча.

Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла и двух различных лучей, исходящих из этой точки, - сторон угла.

Аксиоматика Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется на ее отрицание – аксиому параллельности Лобачевского.

Воображаемой геометрией Лобачевский  назвал ее потому, что она пока оставалась доступной лишь воображению, а не опыту.

Если вместо V постулата допустить, что для пары «точка—прямая» V постулат неверен, то полученная система аксиом будет описывать геометрию Лобачевского. Понятно, что в геометрии Лобачевского все эквивалентные V постулату Евклида утверждения неверны.

V постулат в Геометрии Лобачевского:  на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не менее двух прямых, не пересекающая данную (рисунок 3).

Рисунок 3Наглядное представление геометрии Лобачевского: через  точку M проходят две прямые, параллельные прямой D.

Параллельные и расходящиеся прямые

Лобачевский изменил само понимание параллельных линий. У Евклида непересекающиеся и параллельные — одно и то же, у Лобачевского: из всех, не пересекающих данную прямую АВ, лишь две прямые называются параллельными, при этом различают направление параллельности.

Параллельность прямых на евклидовой плоскости можно характеризовать и другими свойствами, например, наличием у них многих общих перпендикуляров или постоянством длин этих перпендикуляров.

На плоскости Лобачевского для двух непересекающихся прямых эти утверждения неверны. Здесь возможны два случая: прямые имеют общий перпендикуляр и прямые не имеют общего перпендикуляра

Рисунок 4

Поэтому постулат уточняется: если дана прямая АВ и не лежащая на ней точка М, то через точку М в плоскости МАВ можно провести две прямые, параллельные данной прямой АВ. Параллельными Лобачевский, следовательно, называет такие, которые отделяют непересекающие от пересекающих данную прямую АВ. Расстояние между прямой АВ и каждой из параллельных не остается постоянным — уменьшается в сторону параллелизма и увеличивается в противоположную сторону. Параллельные прямые могут близко подойти друг к другу, но они не могут пересечься.

Плоскость, в которой существуют такие параллельные, принято называть плоскостью Лобачевского. Эта плоскость вовсе не «плоская» в евклидовом смысле. В евклидовой плоскости угол параллельности неизменен и всегда равен 90°; в геометрии Лобачевского он может принимать все значения — от 0 до 90°. Следовательно, евклидова геометрия есть частный (предельный) случай геометрии Лобачевского, в которой угол параллельности переменный. Геометрически величина угла параллельности зависит от длины перпендикуляра MN; то есть если перпендикуляр уменьшается, угол параллельности увеличивается, постепенно приближаясь к 90°.

Таким образом, в новой геометрии существует взаимозависимость величины угла и длины отрезка. Для точки М, находящейся от заданной прямой на расстоянии MN = a (рис. 4), Лобачевский определил формулу для угла параллельности  φ=П(a):

где k—  постоянная, определяющая фиксированный по величине отрезок. Она получила название радиуса кривизны пространства Лобачевского. Подобно сферической геометрии существует бесконечное множество пространств Лобачевского, различающихся величинойk.

Эта зависимость называется функцией Лобачевского. Величина константы kзависит от конкретных физических условий в данной части мирового пространства. Исключительно большая величина константы свидетельствует о том, что наше пространство обладает огромным радиусом кривизны и, следовательно, довольно малой, близкой к нулю, кривизной, то есть пространство в нашей части вселенной имеет плоский, евклидов характер.

В геометрии Лобачевского сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без использования пятого постулата. Например, вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны; из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр и др. Однако теоремы, где применяется аксиома параллельности, видоизменяются.

Приведём (в современных обозначениях) несколько фактов геометрии Лобачевского, отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.

• Теорема о сумме углов треугольника:  В геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180°. Разность между 180° и суммой углов треугольника положительна и называется дефектом (D) этого треугольника. Формула для площади треугольника S =k*D, то есть площадь связана с его дефектом. Самую большую площадь имеет треугольник с нулевыми углами, а его стороны имеют бесконечную длину (рисунок 5).

Рисунок 5

• Два неравных равносторонних треугольника имеют неравные углы.
• В геометрии Лобачевского не существует подобных фигур.
• Если углы одного треугольника равны соответственно углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
• Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону есть кривая линия, которая называется эквидистантой.
• Через точку, не лежащую на данной прямой проходит бесконечно много прямых, не пересекающихся с данной, среди них две параллельные прямые в смысле Лобачевского, при этом мы должны отличать ещё сторону параллельности
• Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они расходятся
• В геометрии Лобачевского существует зависимость между углами и длиной сторон треугольника.
• Длина окружности не пропорциональна ее радиусу, а растет быстрее.

Возможные расположения двух прямых на плоскости Лобачевского: две несовпадающие прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо являются расходящимися (рис 6) .

Рисунок 6

В заключение отметим, что Лобачевский с исчерпывающей полнотой развил все разделы своей неевклидовой геометрии, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.

Доказательство независимости пятого постулата (построение моделей)

Доказать непротиворечивость новой геометрии ни Лобачевский, ни Бойяи не сумели — тогда математика ещё не располагала необходимыми для этого средствами.  Только спустя 40 лет появились исследования Э. Бельтрами (1868), модель Клейна (1871) и модель Пуанкаре (1882), реализующие аксиоматику геометрии Лобачевского на базе евклидовой геометрии.

В 1871 году Клейн предложил первую полноценную модель плоскости Лобачевского.

Плоскостью служит внутренность круга, прямой — хорда круга без концов, а точкой — точка внутри круга. «Движением» назовём любое преобразование круга в самого себя, которое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку P, не лежащую на данной хорде а (то есть «прямой»), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд («прямых») (например, b, b').

Позже Пуанкаре, в связи с задачами теории функций комплексного переменного дал другую модель. За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами.

Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.

Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность — предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.

Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растёт быстрее.

Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия.

В 1868 году итальянский математик Э. Бельтрами исследовал поверхность c постоянной отрицательной кривизной, называемую псевдосферой и доказал, что на этой поверхности действует геометрия Лобачевского.

Псевдосфе́ра (рис 7 ) — поверхность, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной.

Рисунок 7 - Псевдосфера

Однако здесь даётся интерпретация геометрии только локально, то есть на куске, а не на всей плоскости Лобачевского.

Геометрия Лобачевского в реальном мире

Если геометрия Евклида является только частью геометрии  Лобачевского, то выходит, что наш мир – не мир Евклида. Почему же мы не замечаем разницы. Рассмотрим такое понятие как гауссова кривизна пространства. Если мы возьмем кривую поверхность, проведем к какой-то точке касательную, проведем в точку касания отрезок, перпендикулярный касательной плоскости, то мы получим нормаль. Проведя через нормаль плоскость, мы можем найти окружность, наиболее плотно прилегающую к поверхности. Так как мы можем провести сколько угодно плоскостей, то мы можем найти окружности с минимальным и максимальным радиусами. Используя определенные соотношения, можно определить кривизну пространства, которая может быть как положительная, так и отрицательная. На поверхностях с отрицательной кривизной и работает геометрия Лобачевского. Именно такую кривизну имеют графики интенсивности всех электромагнитных полей. Состояние поверхности плазмы также описывается геометрией Лобачевского.

Рисунок 9 - Поверхности с отрицательной (слева), нулевой (в центре) и положительной (справа) кривизной

Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов.

Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел».

Была установлена тесная связь геометрии Лобачевского с кинематикой специальной (частной) теории относительности. Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света

при делении на , то есть для скорости света, даёт

 — уравнение сферы в пространстве с координатами , ,  — составляющими скорости по осям х, у, z (в «пространстве скоростей»). Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, то есть для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.

Замечательное приложение геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается возможным, что при определённых условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Таким образом, предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.

Значение геометрии Лобачевского для космологии было выявлено А. А. Фридманом. В 1922 он нашел решение уравнения Эйнштейна, из которого следовало, что Вселенная расширяется с течением времени. Метрика, найденная А. А. Фридманом, дает при фиксированном времени пространство Лобачевского. Пространство скоростей специальной теории относительности является пространством Лобачевского. Геометрия Лобачевского с успехом используется при изучении столкновений элементарных частиц и при разработке др. вопросов ядерных исследований.

Создание геометрии Лобачевского  явилось важным этапом в развитии учения о возможных свойствах пространства. Особенное значение это имело для оснований математики, т. к. принципы современного аксиоматического метода вырабатывались в значительной степени благодаря появлению геометрии Лобачевского

Через некоторое время идеи Лобачевского были приняты математиками, и следующим этапом развития геометрии стала эллиптическая геометрия Римана. Риман исходил из того, что через точку, не лежащую на данной прямой, вообще нельзя провести прямую, не пересекающую данную.

В геометрии Римана:

• две прямые всегда пересекаются, параллельных прямых совсем нет;
• сумма углов прямолинейного треугольника больше 180°;
• прямая имеет конечную длину, плоскость – конечную площадь и др.

Частным случаем эллиптической геометрии Римана является сферическая геометрия Римана или геометрия не сфере.

Примеры поверхностей Лобачевского

Для  поверхности Лобачевского необходима постоянная отрицательная кривизна во всех её точках. Известно множество различных вариантов таких поверхностей:

Рисунок 10 -  Псевдосферические поверхности

В литературе описаны разнообразные псевдосферические поверхности вращения:

Рисунок  11-   Псевдосферические поверхности вращения

Многие поверхности постоянной отрицательной кривизны названы именами математиков, которые их исследовали и описали:

Рисуно12  Поверхность Дини (слева) и поверхность Бианки - Амслера (справа)

На приведённых рисунках видно, что поверхности постоянной отрицательной кривизны либо имеют край, либо замкнуты. 

Кривизна пространства проявляется в больших масштабах и вблизи массивных космических тел, а в повседневной жизни на нашей планете мы можем с успехом пользоваться геометрией Евклида с большой точностью, так как нелинейные поправки на кривизну пространства ничтожно малы.

Заключение.

Хотя Лобачевский доказал, что геометрия Евклида не является единственно возможной,  однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида.

В основе геометрии Евклида лежат понятия и аксиомы, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок развитию науки, способствовало более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.

Ученых издавна волновал вопрос – в каком мире мы живем? Какой геометрией он описывается? Сейчас вселенная расширяется, но если масса вещества всей вселенной превысит определенный порог, то расширение сменится сжатием, то есть пространство будет искривлено таким образом, что луч света, однажды покинув одну точку, вернется обратно, а это значит, мы живем в мире эллиптической геометрии Римана. Если массы не хватит, то вселенная будет расширяться неограниченно, а значит, мы живем в мире гиперболической геометрии Лобачевского

Я считаю, что я достиг цели, которую поставил в своей работе. Я получил представление о стройной теории – геометрии Лобачевского, при этом я получил навыки исследовательской деятельности, активно включился в процесс познания и творческой реализации.

Список литературы

Н.И. Лобачевский Полное собрание сочинений, том первый, Геометрические исследования по теории параллельных линий. О началах геометрии, под ред. В.Ф.Каган,1946.

Колесников М. Лобачевский. Серия «Жизнь замечательных людей». – М.: Молодая гвардия, 1965

Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского./. – М.: Наука, 1983.

Бобров С.П. Волшебный двурог./. М., Детская литература., 1967.

По материалам сайта http://ru.wikipedia.org