Сумма и их геометрические построения

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА  № 47

ГОРОДСКОГО ОКРУГА ТОЛЬЯТТИ

 Х городская научно-практическая конференция школьников

«Первые шаги в науку»

Возрастная категория: «Юниор»

Секция: математика

Название работы:

«Суммы и их геометрические построения»

Автор работы:

Малышева Диана Даниловна

г.о. Тольятти, МБУ средняя школа № 47, 5 «А» класс

Научный руководитель:

Дьячкова Светлана Николаевна

учитель математики высшей категории,  почетный работник общего образования РФ

Тольятти, 2014

Введение

Проблемный вопрос: Можно ли суммы натуральных чисел представить геометрически?

Актуальность исследования: Одна из отличительных особенностей человека от животного – наличие абстрактного мышления. Например, цирковая собака считала, необходимо чтобы перед ней была либо картинка, либо услышала то, что ей подсказало сколько раз лаять. Для этого нужно много репетировать.

Человек же может оперировать и тем, что не видит. Главное здесь является опыт. Например, в начальной школе мы научились складывать числа. И сначала нам необходимо, чтобы были они записаны. Но постепенно, мы научились складывать устно, благодаря своей памяти. Затем перед нами была поставлена задача складывать числа, в которых десятки, сотни и больше слагаемых, многие из которых не написаны. Мы познакомились с алгебраическими способами сложения. Но ни в одной книге мы не увидели, как сумму чисел нескольких слагаемых можно представить зрительно с помощью картинок, ведь именно с наглядными картинками яблок, птичек, палочек мы начинали складывать числа и зрительно представлять сумму. В своей работе мы представили некоторые геометрические построения сумм.

Цель: показать геометрические построения сумм нескольких натуральных чисел как одни способов решения задач. 

Предмет исследования: суммы натуральных чисел

Объект исследования:  геометрический способ решения задач на нахождения сумм натуральных чисел.

Гипотеза: суммы нескольких слагаемых в натуральных числах можно находить геометрическими построениями.

Задачи исследования:

1. Рассмотреть различные способы нахождения сумм нескольких слагаемых в натуральных числах, имеющиеся в известной литературе на примере одной задачи.
2. Проверить любую ли сумму первых n – нечетных и четных чисел можно вычислить с помощью нахождения площади четырехугольников и представить в виде точек.
3. Рассмотреть на конкретных примерах, применим ли этот геометрический метод для нахождения суммы слагаемых взятых не с первого числа.
4. Провести обучающий урок для ребят нашего класса.

Методы исследования:  мысленное моделирование, сравнение, измерение, эксперимент

Основное содержание

Суммы и их геометрические построения

1. Различные способы нахождения сумм нескольких слагаемых в натуральных числах, имеющиеся в известной литературе на примере одной задачи.

На уроке математике наш учитель предложил решить следующую задачу  из сборника «Поисковые задачи по математике (4-5) классы» А.Я. Крысина, В.Н. Руденко, Ю.М. Колягина, А.В. Соколовой, А.С. Шепетова (М.: Просвещение, 1979):

• Найдите сумму первых десяти нечетных чисел и сумму первых десяти четных чисел. Сравните эти суммы.

Решение:

1 способ - вычисление.

Для начала я составила суммы всех чисел нечетных

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100

А затем суммы четных, так как их мало. 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110

Сравним 100‹110

2 способ - алгебраический

Рассказал учитель: Если каждое четное число представимо в виде формулы 2n, а нечетное в виде формулы 2n-1, то сумма четных чисел в данном случае на 10 больше суммы всех нечетных чисел.

3 способ- арифметический. Мы заметили, что при сложении  1+19=20, 3+17=20, 5+15=20, 7+13=20, 9+11=20. А таких пар пять. Тогда решение сводится к решению выражения:

(1+19)*5=100

Аналогично при нахождении суммы первых десяти  четных слагаемых получаем (2+20)*5=110

Далее сравниваем 100 и 110.

Данный способ мы встречали в сборниках Я. И. Перельмана «Живая математика» (М: Просвещение, 1994), Н.П. Кострикиной «Задачи повышенной трудности в курсе математики 4-5 классов» М: «Просвещение», 1996.

4 способ – К. Ф. Гаусса. Мы его встретили в книге И.Ж. Ибатуллина «Математические олимпиады: теория и практика. Учебное пособие.» (М: БИНОМ, 2013)

Этот метод прост, и его можно применять для быстрого устного вычисления.

1+3+5+…+19

+       19+17+15+…1_

      20+20+20+…+20=20*10/2=100

Аналогично для нахождения  четной суммы слагаемых получаем 110.

5 способ – геометрический.

С помощью координатного луча.

Мы заметили, что если сумму нескольких слагаемых в записи представлять с помощью многоточия, то трудно сосчитать и увидеть количество слагаемых, не выписывая их все. Это можно сделать с помощью координатного луча и промежутка на нем [1;19).

        х

   1    3   5  7   9  11 13 17  19

Таким образом, в каждом промежутке длиной 2 нас интересует только одно число. Поэтому если сумму длин всех слагаемых указанных в промежутке (19-1) разделить на 2, то мы узнаем количество всех слагаемых в записи 1+3+5+7+9+11+13+15+17.

 А чтобы узнать полностью количество слагаемых в исходной сумме, необходимо к этому числу прибавить 1. Ведь числа 19 не было в данном промежутке. 10.

        С помощью построения четырехугольников и их площади.

При работе над дистанционной олимпиадой ДООМ Геометрия вокруг нас», нашей команде было предложено решить задачу:

    Представить числа 1,3,5  в виде точек, так чтобы получился квадрат. Найдите его площадь.

Наше решение. S=9 ед.2

Мы заметили и если сложить 1+3+5=9.

2. Обоснование, что любую ли сумму первых n – нечетных и четных чисел можно вычислить с помощью нахождения площади четырехугольников и представить в виде точек.

Тогда возник вопрос любую ли сумму первых n – нечетных чисел можно вычислить с помощью нахождения площади квадрата и представить в виде точек?

Ответ: Да, мы это увидели опытным путем.

На примере нашей первой задачи.  Найдите сумму первых десяти нечетных чисел и сумму первых десяти четных чисел. Сравните эти суммы.

S=102=100 ед.2- это сумма первых десяти нечетных чисел. Sn=n2

Рисунок выполнили для работы в программе Paint.

А как представить геометрически сумму четных слагаемых и найти ее через площадь геометрической фигуры,  какой?

Мы заметили

Ни с помощью квадрата ни с помощью прямоугольника известным нам фигурам это не получается постоянно две точки выходят за края. На уроке «Наглядная геометрия» мы изучили новый четырехугольник – Трапеция. Тогда сумму первых десяти четных слагаемых можно вычислить по формуле S=((2+20)* (20/2))/2. Sn=((2+2n)*(2n/2))/2

В сборнике «Поисковые задачи по математике (4-5) классы» А.Я. Крысина, В.Н. Руденко, Ю.М. Колягина, А.В. Соколовой, А.С. Шепетова (М.: Просвещение, 1079) мы нашли такие задачи:

№ 87. Найдите сумму первых пяти нечетных чисел.

1 способ- алгебраический (метод К. Гауса) 1+3+5+7+9=10*5/2=25

 2 способ – геометрический.S=52=25

№ 88. Найти сумму первых двадцати натуральных чисел.

1 способ- алгебраический. 1+2+3+…+20=(1+20)*10=210.

2 способ – геометрический. S=(1+3+5+...+19)+(2+4+..+20)=102+((2+20)*20/2)/2=100+110=210

№ 89. Найти сумму первых ста натуральных чисел.

1 способ- алгебраический (метод К. Гауса)

     1+2+3+…99+100=101*100/2=5050.

2 способ – геометрический. Определим сколько нечетных слагаемых

S=502+((2+100)*100/2)/2=2500+102*25=2500+2550.

3. Некоторые примеры, для нахождения суммы слагаемых взятых не с первого числа геометрическим методом.

В книге И.Ж. Ибатуллина «Математические олимпиады: теория и практика. Учебное пособие» (М: БИНОМ, 2013) мы нашли такие задачи:

№ 182. Вычислите 13+17+21+…+81.

И нам стало интересно, а применим ли геометрический метод для нахождения суммы слагаемых взятых не с первого числа?

Ответ нашли опытным путем.

1 способ- алгебраический (метод К. Гауса)

13+17+21+…+81=(13+81)*18/2=846

2  способ – геометрический.

В этой задачи очень трудно было найти количество слагаемых всего. Для это можно использовать координатный луч [13;81) с промежутком длиною 4, тогда слагаемых в сумме (81-13)/(17-13)+1=18.. Длина промежутка четное число.

А можно ли с помощью площадей известных нам четырёхугольников решить данную задачу? Попробуем. Для это решим вспомогательную задачу: Найти сумму 3+7+11.

 Выполним рисунок в программе Paint.

Трапеция.

S= (3+11)/2*3=21

Вернемся к нашей задаче S= (13+81)/2*18=846.

№ 183. Вычислите 2+5+8+…92.

1 способ- алгебраический (метод К. Гауса)

2+5+8+…92=(2+92)*31/2=1457

2 способ – геометрический. Длина промежутка нечетное число.

В этой задачи очень трудно было найти количество слагаемых всего. Для это можно использовать координатный луч [2;92) с промежутком длиною 3, тогда слагаемых в сумме (92-2)/(5-2)+1=31.

Сначала решим вспомогательную задачу: Найти сумму чисел 2+5+8.

Выполним рисунок в программе Paint.

Заметили, что получился прямоугольник S=3*4=12 и прибавим три единицы, получим 15.

Если взять сумму 2+5+8+11=4*5+3*2=26. То есть длина есть количество слагаемых в сумме, а ширина на единицу больше

В нашей задаче.

S=31*32 +3*155=1457.

4. Результаты ребят нашего класса.

Далее мы предложили ребятам решить следующие примеры из этого же сборника, различными способами.

№ 192. Вычислите 3+5+7+…+47.

№ 193. Вычислите 1+4+7+…97+100.

№ 195. Вычислите 5+9+13+…+89.

Вот результаты.

В 5 «А» классе обучается 22 человека.

Вывод.

Гипотеза подтвердилась.  Сумму нескольких натуральных чисел можно научиться виртуозно складывать с помощью алгебраического метода ( метод К. Гаусса) Например, найти сумму: 13+17+21+…+81=(13+81)*18/2=846, а также и с помощью геометрического метода- с помощью координатного луча для любых сумм. В этой задачи очень трудно было найти количество слагаемых всего. Для это можно использовать координатный луч [13;81) с промежутком длиною 4, тогда слагаемых в сумме (81-13)/(17-13)+1=18. Длина промежутка четное число. Заметили, что  в суммах n-первых слагаемых – сумму можно находить  по правилу  нахождения площадей четырехугольников, например сумму первых десяти нечетных чисел, можно найти по формуле Sn=n2, а сумму первых десяти четных по формуле Sn=((2+2n)*(2n/2))/2.  Но и можно как мы заметили для развития абстрактного мышления представлять суммы в виде точек (геометрических фигур).  Показали, что применим геометрический метод для нахождения суммы слагаемых взятых не с первого числа. Например, вычислите 13+17+21+…+81= S= (13+81)/2*18=846.- вычислена с помощью формулы нахождения площади трапеции.

В дальнейшем перед собой ставлю задачу, рассмотреть суммы нескольких слагаемых, когда слагаемые представлены не в натуральных числа, например, дроби. Сейчас мы начали изучать данную тему «Обыкновенные дроби».

Список литературы.

1. Поисковые задачи по математике (4-5) классы. Пособие для учителя А.Я. Крысина, В.Н. Руденко, Ю.М. Колягина, А.В. Соколовой, А.С. Шепетова М.: Просвещение, 1979.
2.  Живая математика. Я. И. Перельман. М: Просвещение, 1994
3. Задачи повышенной трудности в курсе математики 4-5 классов. Пособие для учителя. Н.П. Кострикиной М: «Просвещение», 1996
4.  Математические олимпиады: теория и практика. Учебное пособие. И.Ж. Ибатуллина.  М: БИНОМ, 2013

Суммы и их геометрические построения

Автор работы: Малышева Диана Даниловна, г.о. Тольятти, МБУ средняя школа № 47, 5 «А» класс.

Научный руководитель: Дьячкова Светлана Николаевна, учитель математики высшей категории,  почетный работник общего образования РФ.

Проблемный вопрос: Можно ли суммы натуральных чисел представить геометрически?

Актуальность исследования: Одна из отличительных особенностей человека от животного – наличие абстрактного мышления. Человек же может оперировать и тем, что не видит. Главное здесь является опыт. Например, в начальной школе мы научились складывать числа. И сначала нам необходимо, чтобы были они записаны. Но постепенно, мы научились складывать устно, благодаря своей памяти. Мы познакомились с алгебраическими способами сложения. Но ни в одной книге мы не увидели, как сумму чисел нескольких слагаемых можно представить зрительно с помощью картинок. В своей работе мы представили некоторые геометрические построения сумм.

Цель: показать геометрические построения сумм нескольких натуральных чисел как одни способов решения задач. 

Предмет исследования: суммы натуральных чисел

Объект исследования:  геометрический способ решения задач на нахождения сумм натуральных чисел.

Гипотеза: суммы нескольких слагаемых в натуральных числах можно находить геометрическими построениями.

Задачи исследования:

1. Рассмотреть различные способы нахождения сумм нескольких слагаемых в натуральных числах, имеющиеся в известной литературе на примере одной задачи.
2. Проверить любую ли сумму первых n – нечетных и четных чисел можно вычислить с помощью нахождения площади четырехугольников и представить в виде точек.
3. Рассмотреть на конкретных примерах, применим ли этот геометрический метод для нахождения суммы слагаемых взятых не с первого числа.
4. Провести обучающий урок для ребят нашего класса

Гипотеза подтвердилась.  Сумму нескольких натуральных чисел можно научиться виртуозно складывать с помощью алгебраического метода ( метод К. Гаусса) Например, найти сумму: 13+17+21+…+81=(13+81)*18/2=846, а также и с помощью геометрического метода- с помощью координатного луча для любых сумм. В этой задачи очень трудно было найти количество слагаемых всего. Для это можно использовать координатный луч [13;81) с промежутком длиною 4, тогда слагаемых в сумме (81-13)/(17-13)+1=18. Длина промежутка четное число. Заметили, что  в суммах n-первых слагаемых – сумму можно находить  по правилу  нахождения площадей четырехугольников, например сумму первых десяти нечетных чисел, можно найти по формуле Sn=n2, а сумму первых десяти четных по формуле Sn=((2+2n)*(2n/2))/2.  Но и можно как мы заметили для развития абстрактного мышления представлять суммы в виде точек (геометрических фигур).  Показали, что применим геометрический метод для нахождения суммы слагаемых взятых не с первого числа. Например, вычислите 13+17+21+…+81= S= (13+81)/2*18=846.- вычислена с помощью формулы нахождения площади трапеции.

В дальнейшем перед собой ставлю задачу, рассмотреть суммы нескольких слагаемых, когда слагаемые представлены не в натуральных числа, например, дроби. Сейчас мы начали изучать данную тему «Обыкновенные дроби».