Координатный и векторный методы решения задач

Слайд 1

Слайд 2

Вступление Векторный и координатный методы часто применяются в решении различных стереометрических и планиметрических задач. Многие задачи про куб, прямоугольный параллелепипед, пирамиду, тетраэдр решаются данным методом. В задачах на отношение отрезков, площадей, объемов используется единственность разложения любого вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам; в метрические задачах - свойства скалярного произведения векторов.

Слайд 3

Содержание работы Координатный метод в пространстве: Декартова прямоугольная система координат. Декартовы прямоугольные координаты точки. Задание фигур уравнениями и неравенствами. Уравнение плоскости . Расстояние от точки до плоскости. Уравнение сферы. Прямая в пространстве в координатах. Взаимное расположение прямой и плоскости в координатах. Векторный метод в стереометрии (комбинированные задачи): Конус. Сфера и трехгранный угол. Сфера и куб.

Слайд 4

Координатный метод в пространстве Декартова прямоугольная система координат в пространстве

Слайд 5

Некоторые теоретические сведения

Слайд 6

Продолжение решения Задача:

Слайд 8

Декартовы прямоугольные координаты точки

Слайд 10

Задание фигур уравнениями и неравенствами. Уравнение плоскости . Расстояние от точки до плоскости. Для составления уравнения сферы достаточно знать или найти координаты ее центра и радиус. Для составления общего уравнения плоскости достаточно знать или найти координаты любой ее точки и координаты любого вектора , перпендикулярного к этой плоскости (вектор нормали к плоскости), при этом в качестве вектора нормали выбирается тот , координаты которого наиболее удобны при вычислениях, возникающих при составлении уравнения.

Слайд 13

Уравнение сферы Сфера (поверхность шара) задается уравнением: Задача:

Слайд 14

Найти геометрическое место точек, удаленных от плоскости x+2y-2z-5=0 на расстояние, равное 2.

Слайд 15

Прямая в пространстве в координатах. Взаимное расположение прямой и плоскости в координатах.

Слайд 16

Найти координаты точки, равноудаленной от всех вершин тетраэдра, РАВС , заданных координатами: А(0 ;0;0), B(8;0;0), C(0;-2;0), P(0;0;-6) .

Слайд 17

Векторный метод в стереометрии Стереометрические задачи, основанные на применении векторов, встречаются достаточно часто и в ЕГЭ по математике, и во вступительных экзаменах в различные вузы, на олимпиадах и конкурсах. Задача:

Слайд 18

Конусы Три прямых круговых конуса с углом ª при вершине осевого сечения имеют общую вершину и попарно касаются друг друга. Найдите углы между образующими, по которым касаются эти конусы. Заметим, что оси симметрии двух касающихся конусов и образующая, по которой они касаются, лежат в одной плоскости (это следствие того, что плоскость, задаваемая двумя осями ОА и ОВ, является плоскостью симметрии для каждого их двух конусов).

Слайд 19

Задачи со сферой. Сфера и трехгранный угол (сфера, касающаяся ребер тетраэдра или треугольной пирамиды). Продолжение решения

Слайд 21

Задачи со сферой. Сфера, описанная вокруг тетраэдра или треугольной пирамиды. Продолжение решения

Слайд 23

Задачи со сферой. Сфера и куб. Задача:

Слайд 24

Выводы Координатный и векторный методы удобно применять в решении задач, в которых трудно построить расстояние от точки до прямой или от точки до плоскости, и в задачах с многогранниками, к которым естественно привязать прямоугольную систему координат (куб, параллелепипед, пирамида). Использование данных методов позволяет найти нужную величину с наименьшими затратами времени и найти оригинальное решение для сложных задач (например, в которых вокруг многогранника или трехгранного угла описана сфера или шар).

Слайд 25

Спасибо за внимание! Использованная литература