Золотое сечение
Это работа, которую мой ученик сделал на следующий день после урока "Последовательности".
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 zolotoe_sechenie.ppt | 1.58 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
С этой историей косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила: «Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.» Все начиналось с кроликов…
Все начиналось с кроликов… Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц- 1+1=2; на 4-й- 2+1=3 пары( ибо из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара); на 5-й месяц- 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц- 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и так далее. 5 4 3 2 1 Месяцы
Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр: Сразу заметна последовательность, в которой n – номер месяца, а F ( n) – число пар кроликов на n- ом месяце, причем каждый член этой последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Такая последовательность получила название «Ряд Фибоначчи». Все начиналось с кроликов… Месяцы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n Число пар 1 1 2 3 5 8 13 21 34 F
Действительно, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-м месяце через F , то: F (1)=1, F (2)=1, F (3)=2, F (4)=3, F (5)=5, F (6)=8, F (7)=13, F (8)=21 и так далее, причем образование этих чисел регулируется общим законом: F (n)= F (n-1)+ F (n-2), при всех n>2, ведь число пар кроликов на n-м месяце равно числу F (n-1) пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом F (n-2) пар кроликов, родившихся на (n-2)-ом месяце (ибо лишь эти пары кроликов дают потомство). Все начиналось с кроликов…
А в чем «секрет»? А «секрет» поможет увидеть таблица, в которой дано отношение крайних членов и полученный результат: Ряд Фибоначчи 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 F(n)/F ( n-1) _ 1 2 1,5 1,666667 1,6 1,625 1,615385 1,619048 1,617647 1,618182 1,617978 F ( n)/F(n+1) 1 0,5 0,666667 0,6 0,625 0,615385 0,619048 0,617647 0,618182 0,617978 0,618056 _
Обозначим за Ф и ф отношения: Ф ~ F(n)/F ( n-1) ~ 1.618… ф ~ F К (n)/F ( n + 1) ~ 0.618… Отсюда вытекает, что: 1/Ф= F ( n-1) / F(n) = F(n)/F ( n + 1) = ф, То есть ф =1/Ф Число Ф стремится к своему конечному значению, которое становится точнее с каждым большим значением n . Попытаемся найти его. А в чем «секрет»?
Для каждого числа ряда Фибоначчи имеем: Ф ~ F(n)/F ( n-1) Для нахождения точного Ф возьмем такое большое F(n) , что: Ф= F(n)/F ( n-1) = F(n -1 )/F ( n -2 ) → Для каждого числа ряда Фибоначчи: F (n)= F (n-1)+ F (n-2), Обозначим а= F (n-2), в= F (n-1), с= F (n) и составим систему: с=а+в; откуда но так как а Ф=(1+√5)/2 Ф=(1+√5)/2, значит ф =(√5 - 1)/2 Интересные свойства чисел Ф и ф : 1. ф =1/Ф 2. ф =Ф-1 3. Ф+1=Ф*Ф 4. ф +2=Ф*Ф плюс еще множество производных Ряд Фибоначчи – сам по себе он не был открыт Фибоначчи, но многое время был известен под именем Золотого сечения. Фибоначчи лишь напомнил свою последовательность человечеству. Следовательно: Ф и ф – два коэффициента Золотого сечения. А что такое ряд Фибоначчи, Ф и ф ? Золотое сечение? Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему: с/в=в/а или а/в=в/с Как мы уже определили, Ф=с/в=в/а, ф =а/в=в/с А Ф на практике? А Е В D С Построим отрезок АВ Перпендикулярно АВ проведем отрезок АС так, что АС=АВ/2 Соединим точки С и В На отрезке СВ отложим отрезок С D , равный АС На АВ отложим отрезок ЕВ, равный D В Точка Е делит отрезок АВ на такие части, что АВ/ЕВ=ЕВ/АЕ=Ф Следовательно, отрезок АВ разделен в пропорции золотого сечения А ф на практике? А В С Построим квадрат с противоположными вершинами А и В Отложим отрезок АВ на продолжении стороны квадрата и поставим точку С Достроим квадрат до прямоугольника с основанием АС Через точку С проведем диагональ Проведем отрезок АВ, но только до пересечения с диагональю Получившийся прямоугольник (отношение сторон = 5/8 ~ ф ) является идеальным для построения композиций, если его части помещены в образованных треугольниках. Жак Луи Давид «Клятва Горациев» Карл Брюллов «Последний день Помпей» Истинно Золотое сечение Спираль нашей Галактики "Млечный Путь" вращается по часовой стрелке. На этом рисунке показано, как мы её видим изнутри - вращение в обратном направлении. Кривизна рукавов нашей Галактики, в которые закручены миллиарды звёзд, определяется именно коэффициентом Золотого сечения Φ. Его значения в степенях, пропорциональных 1/4, представляют собой величины радиусов одного витка спирали Галактики, следующие друг за другом через 45 ○ от произвольно выбранного начала, где значение радиуса равно единице Истинно Золотое сечение Таким образом, спираль нашей Галактики построена по спирали математика Леонардо Фибоначчи, в основе которой лежит ряд Фибоначчи Истинно Золотое сечение По закону подобия, спираль нашей Галактики должна лежать в основе природных спиралей. Например, жилая камера моллюска наутилуса в его спиральной раковине занимает такое же место, как наша Солнечная система в Галактике «Млечный Путь». Неудивительно, что пропорции Золотого сечения Φ и ф определяют строение живых организмов, а числа последовательности Фибоначчи лежат в основе многих процессов в природе. Истинно Золотое сечение Для примера: пропорции частей тела человека, пропорции животных и растений соответствуют Золотому сечению. Истинно Золотое сечение
Три загадки Солнца
Несчастный Андрей
Что общего у травы и собаки?
Л. Нечаев. Про желтые груши и красные уши
Хризантема и Луковица