Применение свойств функций для решения уравнений и неравенств.

Слайд 1

Слайд 2

Свойства Использование ОДЗ 1 Ограниченность функций 2 Монотонность 3 Неотрицательность 4 Использование числовых неравенств 5 Четность и нечетность 6 Использование свойств синуса и косинуса 7 Применение производной 8

Слайд 3

Использование ОДЗ Стандартный метод Использование ОДЗ Ответ : x=1 Ответ : x=1 Пример :

Слайд 4

Пример : x 3 -3 x 3 -3 Ответ : Найдем область допустимых значений переменной : Использование ОДЗ

Слайд 5

Применение числовых неравенств. Иногда применение того или иного числового неравенства к одной из частей уравнения(неравенства) позволяет заменить его равносильной системой уравнений.

Слайд 6

Применение числовых неравенств. Пример :

Слайд 7

Применение числовых неравенств. Пример :

Слайд 8

Ограниченность функций Функция называется ограниченной , если существуют два числа А и В, такие, что для любого аргумента Х выполняется неравенство Функция f ограничена снизу, если для любого выполняется неравенство , где а – некоторое число. Функция f ограничена сверху, если для любого выполняется неравенство , где b – некоторое число.

Слайд 9

Ограниченность функций Теорема Пусть множество М есть общая часть (пересечение) областей существования функций и и пусть для любого справедливы неравенства и , где А – некоторое число. Тогда уравнение равносильно системе уравнений

Слайд 10

Ограниченность функций Стандартный метод Использование ограниченности функций Обе части уравнения определены для всех х. Ответ : Нет решений Пример :

Слайд 11

Пусть Пусть Пусть x=-1 Ответ : x=-1 Пример : Ограниченность функций

Слайд 12

Монотонность Теорема Если одна из функций убывает, а другая возрастает на промежутке Х , то уравнение либо имеет один корень и тогда можно найти его подбором, либо не имеет корней. Монотонная функция каждое свое значение принимает при одном значении аргумента. Монотонная функция на множестве Х — это функция, возрастающая или убывающая на множестве Х. .

Слайд 13

Монотонность Область определения уравнения – отрезок Стандартный метод Использование монотонности Нет необходимости возводить обе части уравнения в 12 степень. Достаточно заметить, что - корень уравнения и других корней нет, поскольку правая часть уравнения – убывающая, а левая – возрастающая функция. Ответ : x=2 Пример :

Слайд 14

Использование монотонности Стандартный метод Зададим : 1 корень Очевидно : х=-1 Ответ : x=-1 Пример : Монотонность

Слайд 15

Спасибо за внимание.