Пифагор и его теорема

Слайд 1

Слайд 2

Содержание Кто такой Пифагор История теоремы Применение теоремы Заключение Литература

Слайд 3

Задачи: изучить материал о Пифагоре и его теореме; сформулировать вывод о значимости теоремы Пифагора для познания окружающего мира.

Слайд 4

Пифагор Самосский (6 в. до н. э.), древнегреческий философ, религиозный и политический деятель, основатель пифагореизма, математик. Пифагору приписывается изучение свойств целых чисел и пропорций, доказательство теоремы Пифагора и др. Родился где-то между 600 и 590 гг.до н.э. и жил около ста лет. Кто такой Пифагор?

Слайд 5

Рождение Пифагора Отец Пифагора - Мнесарх - резчик по драгоценным камням. Мнесарх «славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы, но стяжал скорее славу, чем богатство». Пифия сказала Мнесарху , что его жена носит в себе дитя и что у них родится сын, который превзойдет всех людей в красоте и мудрости и который много потрудится в жизни на благо человечества. Когда родилось дитя в городе Сидоне на острове Самос , оно оказалось, как и говорил оракул, мальчиком. Мнесарх и Пифиада назвали его Пифагором, потому что они верили в то, что ему предсказано оракулом.

Слайд 6

Пифагор много времени посвятил странствиям, успев побывать в многих странах. Учение Пифагора говорит о том, что он был превосходно знаком с содержанием восточных и западных эзотерических школ. Хотя данные о его путешествиях расходятся меж собой, историки согласны в том, что он посетил много стран и учился у многих учителей. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и живописи. Именно в музыке он нашел доказательство своему знаменитому тезису «Все есть число». 20-летним юношей Пифагор отправляется в Египет. Но попасть туда было трудно. И пока он живет на острове Лесбос , знакомится с философом Ферекидом и учится у него медицине, астрологии, предсказанию затмений, тайнам чисел. С Лесбоса его путь сначала лежит в Милет – к знаменитому Фалесу, основателю первой в истории философской школы. Здесь Пифагор приобретает много важных знаний. Странствия Пифагора

Слайд 7

И вот, наконец, Пифагор в Египте. Сначала он учится в школе писцов. Дальнейшее образование получает у египетских жрецов. И чтобы проникнуть в «святая святых» - египетские храмы –принимает посвящение в сан жреца. У жрецов он заимствовал всякого рода мистики, пристрастие к таинствам, к священнодействиям, к магии чисел и т.д. По окончании обучения у жрецов Пифагор волею судеб оказался втянутым в военные действия между персами и египтянами. Пифагор попадает в плен. Даже находясь в плену, Пифагор не переставал учиться. Он встречался с персидскими магами, приобщился к восточной астрологии и мистике, познакомился с учением халдейских мудрецов (астрономия, астрология, медицина, арифметика). Через несколько лет ему удалось бежать из плена. Он решает вернуться на родину, чтобы приобщить к знаниям свой народ. Однако в Греции произошли изменения. Лучшие умы, спасаясь от персидского ига, перебрались в Южную Италию и основали города – колонии: Сиракузы, Агригент , Кротон. В Кротоне и обосновался Пифагор. Жители Кротона единодушно избирают мудрого старца цензором нравов, своеобразным духовным отцом города. Странствия Пифагора (продолжение)

Слайд 8

После возвращения из своих странствий Пифагор основал школу или, как ее часто называют, университет в Кротоне, дорийской колонии в Южной Италии. Сначала в Кротоне на него смотрели искоса, но через некоторое время власть имущие в этом городе уже искали его совета в делах огромной важности. Он собрал вокруг себя небольшую группу преданных учеников, которых посвятил в глубокую мудрость, ему открытую, а также в основы оккультной математики, музыки, астрономии, которые рассматривались им как треугольное основание для всех искусств и наук. Пифагор и его последователи - пифагорейцы – образовали тайный союз. Они узнавали друг друга по звездчатому пятиугольнику – пентаграмме. Определяющий тезис системы учения Пифагора – убеждение в нерасторжимой связи природы, человека и космоса, и в равенстве всех людей перед лицом вечности и природы. Университет Пифагора

Слайд 9

Смерть Пифагора Среди желавших принять посвящение был один, которому Пифагор отказал в этом, и тогда тот решил уничтожить как человека, так и его учение. Через ложные слухи этот человек возбудил в простых людях недовольство философом. Без всякого предупреждения банда убийц ворвалась в небольшую группу строений, где обитали великий учитель и его ученики, подожгли здания и убили Пифагора. Относительно того, как умер Пифагор, общего мнения нет. Некоторые говорят, что он был убит собственными учениками; другие говорят, что он бежал из Кротона с небольшой группой последователей и, попав в засаду, сгорел в подожженном доме. Еще одна версия говорит о том, что в горящем доме ученики образовали мост из тел, живыми войдя в огонь, для того, чтобы их учитель прошел по нему и спасся, и только впоследствии Пифагор умер от разрыва сердца, скорбя по поводу кажущейся тщетности своих усилий по просвещению и служению человечеству.

Слайд 10

«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора» Иоганн Кеплер Теорема Пифагора Без преувеличения можно сказать, что это самая известная теорема геометрии, ибо о ней знает подавляющее большинство населения планеты, хотя доказать ее способна лишь очень незначительная его часть.

Слайд 11

Общепринятой считается следующая: « В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Формулировка времен Пифагора: « Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах». Формулировка теоремы

Слайд 12

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство. История математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет немецкого ученого и сатирика Альберта Шамиссо:

Слайд 13

Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков. Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя ,вслед. Они не в силах свету помешать , А могут лишь закрыв глаза дрожать От страха, что вселил в них Пифагор. Лирическая формулировка теоремы

Слайд 14

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур Аддитивные доказательства (основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе Доказательства методом достроения Алгебраический метод доказательства И т.д. Способы доказательства теоремы

Слайд 15

Дано: прямоугольный треугольник с катетами a , b и гипотенузой с. Доказать: Доказательство: достроим треугольник до квадрата со стороной a+b Доказательство с достроением

Слайд 16

Среди многочисленных доказательств теоремы Пифагора методом разложения есть и два таких, что их с полным правом можно назвать шедеврами, настолько они красивы и просты до гениальности. Первое (рис.1) принадлежит иранскому математику ан-Найризи (конец IX - начало Х века), комментатору Евклида, а второе (рис.2) — лондонскому биржевому маклеру и астроному-любителю Генри Перигэлу , опубликовавшему его в 1873 году. На этих рисунках тоже все настолько ясно, что указание Бхаскары и здесь остается в силе. Доказательство теоремы методом разложения Рис. 1 Рис.2

Слайд 17

Большая часть доказательств теоремы Пифагора выполнена геометрическими методами, среди которых значительное место занимает метод разложения. Сущность метода разложения заключается в том, что квадрат, построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты, построенные на катетах, с другой, складываются из равных частей. Простейший пример применения этого метода имеем при доказательстве теоремы Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника (см. рис.). Из этого рисунка все так понятно, что комментировать его не требуется. Как писал в подобных случаях индийский математик XII века Бхаскара : «Смотри!» Ученики придумали название для этого доказательства теоремы: «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Геометрическое доказательство теоремы

Слайд 18

Теорема не теряет смысла, если квадраты заменить любыми другими правильными многоугольниками или полукругами.

Слайд 19

Если на сторонах треугольника построены полукруги по одну сторону гипотенузы, то площадь полученных луночек равна площади данного треугольника.

Слайд 20

Теорему называли «мостом ослов», так как слабые ученики, заучивающие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Или «бегство убогих» , так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. "Dons asinorum" "elefuga"

Слайд 21

В некоторых списках «Начал» Евклида теорема Пифагора называлась теоремой Нимфы, «теорема – бабочка», по-видимому из-за сходства чертежа с бабочкой, поскольку словом «нимфа» греки называли бабочек. Нимфами греки называли еще и невест, а также некоторых богинь. При переводе с греческого арабский переводчик, вероятно, не обратил внимания на чертеж и перевел слово «нимфа» не как «бабочка», а как «невеста». Так и появилось ласковое название знаменитой теоремы – « Теорема Невесты». «Нимфа» - бабочка, невеста

Слайд 22

Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей »

Слайд 23

Не подлежит, однако, сомнению, что эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т. е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. Да и поныне сельские строители и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике. Применение теоремы до Пифагора

Слайд 24

Применение в строительстве Окно В романской архитектуре часто встречается мотив представленный на рисунке. Если Ь по-прежнему обозначает, ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b /2 и r = b /4. Радиусу внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b /4+ p , один катет равен b /4, а другой b /2- p . По теореме Пифагора имеем: ( b /4+ p )=( b /4)+( b /4- p ) или b /16+ b * p /2+ p = b /16+ b /4- b * p + p , откуда b * p /2= b /4- b * p . Разделив на b и приводя подобные члены, получим: (3/2) р = b /4,р= b /6. В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (Ь) для наружных дуг и половине ширины (Ь/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. Ь/2 и, следовательно, радиус равен Ь/4. Тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений.

Слайд 25

Применение в мобильной связи В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например, радиусе R =200 км, если известно, что радиус Земли равен 6380 км). Решение: Пусть АВ=х , BC = R =200 км, ОС= r =6380 км. ОВ=ОА+АВ, следовательно: ОВ= r +х. Используя теорему Пифагора, получим ответ 2,3 км.

Слайд 26

Теорема Пифагора – одна из самых главных теорем геометрии. Из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем. Сама же теорема Пифагора замечательна тем, что она проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное практическое значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу. Значение теоремы

Слайд 27

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – известно более полутора сотен (по другим источникам, более пятисот), но стремление к преумножению их числа сохранилось. Поэтому теорема Пифагора занесена в «Книгу рекордов Гиннеса». Вывод

Слайд 28

Литература Акимова С. Занимательная математика Санкт-Петербург.: « Тригон », 1997г Абремский Б.А. Пусть цифры оживут . Семипалатинск, 1988г Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: «Просвещение», 1981г Еленьский Ш. По следам Пифагора, М., 1992г Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1992г Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин.- 3-е изд., испр . и доп. - М.: Педагогика-Пресс, 1997. Интернет ресурсы