Исследовательская работа по математике на НПК "Решение задач на движение по реке рациональным способом"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 20 им. В.М.Елсукова»

НОУ «СОФИ»

Решение задач на движение по реке рациональным способом

Исследовательская работа.

Выполнили: Толкачева Виктория Павловна, 8 «Б»

Руководитель: Коханюк Галина Валерьевна

Учитель математики

Ленинск-Кузнецкий

2014

Содержание

Введение……………………………………………………………………………..

Глава 1 ……………………………………………………………………………

1. Необходимые математические понятия …………………………………

Глава II ……………………………………………………………………………

2.1. Решение задач на движение по реке табличным способом с составлением уравнения.

2.2. Выявление закономерности параметров движения по реке.

2.3. Применение соотношения параметров движения при решении задач на движение по реке рациональным способом.

Заключение …………………………………………………………………………

Список используемой литературы ……………………………………………….

Введение

При решении задач на движение катера по реке в 8 классе мы традиционно используем следующий алгоритм действий: составляем таблицу в столбцах которой указываем параметры движения, затем составляем квадратное уравнение и решаем его. Однако, нами было замечено, что некоторые задачи на движение по реке можно решать без составления уравнения в двух действиях, без учета скорости течения.

Целью данной работы является:

• Исследование соотношения параметров движения по реке
• Определение условий, при которых скорость течения реки не влияет на решение задачи и ею можно пренебречь
• Применение выявленной закономерности при решении задач на движение по реке.

Задачи:

• Сравнить решение задач на движение по реке разными способами
• Выявить закономерность соотношения параметров движения по реке
• Определить условия, при которых скоростью течения можно пренебречь и решать задачи в двух действиях.

Объект: задачи на определение скорости движения катера по реке.

Предмет: соотношение параметров движения катера по реке.

Гипотеза: при определенном соотношении параметров движения катера по реке скоростью течения можно пренебречь и средняя скорость движения катера равна его собственной скорости.

2. Необходимые физические величины и формулы.

Расстояние S

Собственная скорость катера  Vкат

Скорость течения реки  Vтеч

Время t

S=

t=

Глава II.

2.1.

Задача: Катер прошел 20 км по течению реки и 12 км против течения, затратив на весь путь 4 часа. Чему равна собственная скорость катера, если скорость течения равна 2 км/ч?

Решение:

Обозначим собственную скорость катера Vкат=х км/ч

Составим таблицу:

По условию на весь путь катер затратил 4 часа.

Составим уравнение:

+=4

Решим уравнение

ОДЗ х ≠-2; х≠+2        

20х-40+12х+24-4(х2-4)=0

32х-16-4х2+16=0

32х-4х2=0

4х(8-х)=0

х=0 или х=8

Vкат=8км/ч

Решим задачу по действиям, найдем среднюю скорость катера на всем пути:

1. 20+12=32 км (весь путь катера)
2. 32:4=8 км/ч (средняя скорость катера)

Как видим, средняя скорость катера по течению и против течения равна собственной скорости катера.

Следовательно, при определенных условиях средняя скорость катера по течению и против течения равна его собственной скорости.

Задача: Скорость течения реки 2 км/ч. Катер прошел 32 км по течению и 12 км – против течения, затратив на весь путь 3 часа. Найдите собственную скорость катера.

Решение:

Пусть собственная скорость катера Vкат = х км/ч

По условию на весь путь катер затратил 3 часа, составим уравнение и решим его:

+=3

=0

ОДЗ х≠2; х≠-2

32х-64+12х+24-3(х2-4)=0

44х-40-3х2+12=0

44х-28-3х2=0

42х+2х-28-3х2=0

(42х-28)-(3х2-2х)=0

14(3х-2)-х(3х-2)=0

(3х-2)(14-х)=0

х=2/3  или х=14

скорость катера 2/3 не имеет смысла по условию задачи

скорость катера - 14 км/ч

Решим задачу по действиям, найдем среднюю скорость катера

1. 32+12=44 км (весь путь)
2. 44:3=14,(6) км/ч (средняя скорость катера)

Видим, что собственная скорость катера не равна средней скорости.

2.2. Исследуем закономерность соотношения параметров движения лодки по реке, выведем формулу и определим условия, при которых собственная скорость лодки равна её средней скорости.

В задаче № 1 свободный член квадратного уравнения равен 0. Квадратное уравнение является неполным.

В задаче № 2 свободный член квадратного уравнения равен 28. Квадратное уравнение полное. Следовательно, чтобы задача на нахождение собственной скорости катера решалась в двух действиях необходимо, чтобы в квадратном уравнении отсутствовал свободный член. Сокращение свободного члена происходит при определенном сочетании параметров движения, а именно, от разности расстояний по течению и против течения, от времени движения и скорости течения.

Найдем T= , где

Sпо течению - путь катера по течению реки

Sпротив течения – путь против течения реки

Vтечения – скорость течения реки

При условии Т = t, где t- время движения катера, Vср.=Vкат. - средняя скорость катера равна его собственной скорости. В квадратном уравнении взаимно уничтожается свободный член.

Физический смысл данного соотношения состоит в том, что на этих расстояниях компенсируется скорость течения реки, средняя и собственная скорость катера одинаковы.

Проверим, как работает данное соотношение в задаче №1

T= ==4, по условию время движения катера 4 часа. Получаем Т=t.

Как видим, действительно, свободный член квадратного уравнения взаимно уничтожается, собственная скорость катера равна его средней скорости. Задачу можно решать в двух действиях, находя среднюю скорость катера.

Проверим данное соотношение в задаче № 2.

Т===14,(6). По условию время затраченное на весь путь t=3 часа. Как видим Тt, поэтому данную задачу нельзя решать в два действия, так как средняя скорость катера не равна его собственной скорости на этих расстояниях.

Таким образом, мы вывели формулу

           и определили условия, при котором собственная скорость лодки равна её средней скорости Т=t, где t – время движения лодки.

2.3. Применение соотношения параметров движения при решении задач на движение по реке рациональным способом.

Решим задачи из учебника «Алгебра 8 кл» под. ред.Мордковича

Задача № 7.24.

Катер прошел 12 км по течению реки и 4 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Чему равна собственная скорость катера, если скорость течения равна 4 км/ч?

Проверим соотношение параметров движения:

T=, имеем Т=t, где t=2 часа

Таким образом, данную задачу можно решать в двух действиях:

Сделаем проверку, решив задачу традиционным способом.

Пусть собственная скорость катера

Как видим, данная закономерность работает. Задача решена верно.

Задача № 7.25.

Лодка проплыла 18 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 4 часа. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения равна 3 км/ч?

Проверим соотношение параметров движения:

Т=, условие Т=t выполняется, где t=4 время затраченное на весь путь. Значит задачу можно решать в двух действиях.

Ответ: собственная скорость лодки 6 км/ч

Сделаем проверку, решив задачу традиционным способом.

Пусть собственная скорость лодки х км/ч.

Как видим, данное соотношение работает и в этой задаче.

Заключение.

В рамках данной работы мы исследовали следующую гипотезу:  при определенном соотношении параметров движения катера по реке скоростью течения можно пренебречь и средняя скорость движения катера равна его собственной скорости.

Используя методы анализа и логических умозаключений мы выявили зависимость параметров движения мы выразили ее в формуле:

Т =

и определили условия, при котором собственная скорость лодки равна её средней скорости Т=t, где t – время движения лодки.

        Решив несколько задач из учебника двумя способами: традиционным – при помощи составления уравнения и используя формулу зависимости параметров движения лодки по реке, нам удалось доказать состоятельность данной гипотезы, превращая ее в установленный факт.

        Данную зависимость можно применять при решении задач на движение рациональным способом, существенно сокращая время.

Надеемся, наша работа найдет практическое применение при решении такого типа задач и заменит громоздкие традиционные вычисления двумя действиями.