Проект "Элементы теории вероятностей"

Слайд 1

Слайд 2

Немного о теории вероятностей С первого взгляда может показаться, что никаких законов, управляющих случайными явлениями нет и быть не может. Однако, если разобраться, случайные явления происходят не так уж хаотически. Во многих случаях обнаруживаются закономерности. Эти закономерности не похожи на обычные законы физических явлений; они весьма разнообразны.

Слайд 3

Что такое теория вероятностей? Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Слайд 4

История теории вероятностей Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики. Б. Паскаль П. Ферма Я. Бернулли

Слайд 5

Русские ученые которые изучали теорию вероятностей: А. А. Марков А. М. Ляпунов

Слайд 6

Что изучает теория вероятностей? "Теория вероятностей изучает случайные события. Каждому случайному событию приписывается число, которое называется его вероятностью. Это число характеризует шансы, что событие произойдет. Если неограниченно увеличивать число повторений опыта, то относительная частота появления события будет устойчиво к некоторой фиксированной величине и отклоняться от нее тем меньше и реже, чем больше количество опытов. Эта величина и является вероятностью события."

Слайд 7

Виды событий: Случайные – при осуществлении опыта оно либо происходит, либо не происходит Достоверные – событие обязательно наступает в результате опыта Невозможные – событие заведомо не сможет произойти

Слайд 8

Вероятность события Если n - число всех исходов некоторого испытания, m - число благоприятствующих событию A исходов, то вероятность события A равна P(A) =m / n Пример Бросается игральный кубик, какова вероятность того, что выпадет число 4. Решение У кубика 6 сторон, выпасть может любая из них ⇒ число всех исходов равно 6. Число 4 может выпасть только в одном случае ⇒ число благоприятствующих исходов равно 1. Тогда P(A)=1/6

Слайд 9

Сложение вероятностей Суммой событий A и B называют событие A + B , состоящее в появлении либо только события A, либо только события B, либо и события A и события B одновременно. P(A+B)=P(A)+P(B) Пример В ящике лежат 10 шаров: 4 красных, 1 синий и 5 черных. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что шар красный или синий. Решение Пусть событие A - вынут красный шар. P(A)=4 10 Событие B - вынут синий шар. P(B)=1 10 Тогда вероятность того, что вынутый шар красный или синий равна P(A+B)=4/10 +1/10 =0.5

Слайд 10

Произведение вероятностей Произведением событий A и B называются событие AB , состоящее в появлении и события A и события B. P(AB)=P(A)*P(B) Пример Дважды бросается игральный кубик. Какова вероятность того что оба раза выпадет число 5. Решение Пусть событие A - 1-й раз выпадет 5. событие B - 2-й раз выпадет 5. P(A)=1/6 P(B)=1/6 Тогда вероятность того, что оба раза выпадет число 5 P(AB)=1/6 *1/6 =1/36

Слайд 11

Перестановки Перестановками из n элементов называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только порядком расположения. Обозначение: P n =n ! n - количество элементов Пример Есть 4 карандаша разного цвета. Сколькими способами можно их расположить на столе. Решение На первое место можно поставить любой из 4-х карандашей - 4 способа для дальнейшего расположения. На второе место - любой из оставшихся 3-х, получилось 4*3 = 12 вариантов, на третье место один из двух оставшихся, вариантов уже 12*2 = 24 или по формуле: P 4 =4!=4*3*2*1=24

Слайд 12

Размещения Размещениями из m элементов по n называются такие соединения, которые содержат n элементов из множества m элементов и отличаются друг от друга либо самими элементами (состав), либо порядком их расположения. Обозначение: A n m =m ! ( m−n )! m -общее количество элементов, n - количество отбираемых элементов Пример В классе 20 чел. Сколькими способами можно выбрать 2 чел. для конкурса. Решение Общее количество элементов m = 20, n = 2. Порядок не важен. Используя формулу получим число выборок: A 2 20 =20! /(20−2)! =18!*19*20 /18! =380

Слайд 13

Сочетания Сочетаниями из m элементов по n называются такие соединения, которые содержат n элементов из множества m элементов и отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом. Обозначение: C n m =m !/ ( m−n )! n ! m -общее количество элементов, n - количество отбираемых элементов Пример Имеется стопка из 25 книг. Сколькими способами можно выбрать 3 книги. Решение Общее количество элементов m = 25, n = 3. Порядок не важен, выборки отличаются только составом книг. Используя формулу получим число выборок: C 3 25 =25! /(25−3)!3! =22!*23*24*25 22!*3! =23*24*25 2*3 =2300

Слайд 14

Задачи На чемпионате мира по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Японии, 12 из Китая, остальные из Кореи. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность, что спортсменка, выступающая первой окажется из Кореи. Решение Вероятность того, что любая из 50 спортсменок будет выступать первой равна P=1 50 Из Кореи выступают 50-22-12 = 16 спортсменок Тогда вероятность того, что спортсменка из Кореи будет равнаP=1/50 *16=32/100 =0.32 Ответ: 0.32

Слайд 15

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Решение Пусть событие A - выбран исправный насос. Кол-во исправных насосов равно 1000-7 = 993 ( число благоприятных исходов при выборке) Вероятность выбора не подтекающего насоса равна: P(A)=993/1000 =0.993 Ответ: 0.993

Слайд 16

На экзамене 60 билетов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет. Решение Событие A - вероятность того, что билет выученный. Андрей выучил 60 - 3 = 57 билетов - число благоприятных исходов. Всего билетов 60, значит P(A)=57/60 =0.95 Ответ: 0.95

Слайд 17

В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин. Найдите вероятность того, что выехало зеленое такси. Решение Событие A заключается в том, что выехало зеленое такси. Для зеленого такси число благоприятных исходов равно 8. Общее число машин равно 20, значит P(A)=8/20 =0.4 Ответ: 0.4

Слайд 18

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0.6. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0.4. Гроссмейстеры А. и Б. играют 2 партии, причем во 2-ой партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Решение Пусть событие F это выигрыш А. в 1-ой партии, G - выигрыш А. в 2-ой партии, C - А. выиграет обе партии. P(F)=0.6 P(G)=0.4 Вероятность наступления C равна произведению P(F) и P(G) , т.е наступят события G и CP(C)=0.6*0.4=0.24 Ответ: 0.24

Слайд 19

При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало меньше 3 очков. Решение При двукратном бросании возможны следующие выпадения: 1-й бросок - 2-й бросок 1 - 5 2 - 4 3 - 3 4 - 2 5 - 1 Пусть событие A заключается в том, что в первый раз выпало меньше 3 очков. Число благоприятствующих исходов для события Aравно 2, общее число исходов равно 5 Следовательно P(A)=2 5 =0.4 Ответ: 0.4

Слайд 20

В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентября. Найдите вероятность того, что будут дежурить 2 мальчика. Решение Событие A - будут дежурить 2 мальчика. В классе всего 21 чел. , выбрать двоих можно C 2 21 =21!/ (21−2)!2! =210 способами Мальчиков 7, двоих из них можно выбратьC 2 7 =7!/(7−2)!2! =21 способами. Тогда вероятность того, что будут дежурить 2 мальчика равна P(A)=21 210 =0.1 Ответ: 0.1

Слайд 21

Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно? Решение. Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, т.е. является перестановкой из 7 элементов. Их число равно Р!=7*6*5*4*4*3*2*1=5040 Ответ:5040

Слайд 22

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D . Решение: На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5) 4 = 0,0625.

Слайд 23

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше. Решение. Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,81 = 0,19. Ответ: 0,19.

Слайд 24

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Най­ди­те вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Решение. Вероятность того, что стекло куплено на пер­вой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135. Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055. Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019. Ответ: 0,019.

Слайд 25

Ков­бой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стре­ля­ет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристреянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрлянные . Ковбой Джон видит на стене муху, на удачу хватает первый попавшийся револ­вер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схва­тит непристрелянный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих собы­тий: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоя­щее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52.

Слайд 26

На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос. Решение. Андрей выучил 60 – 3 = 57 вопросов. Поэтому вероятность того, что на экзамене ему попадется выученный вопрос равна Ответ: 0,95.

Слайд 27

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение. Равно возможны 4 исхода эксперимента: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Орел выпадает ровно один раз в двух случаях: орел-решка и решка-орел. Поэтому вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз, равна Ответ: 0,5.

Слайд 28

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Решение. в среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 1000 − 5 = 995 не подтекают. Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна Ответ: 0,995.

Слайд 29

На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России. Решение. Всего в семинаре принимает участие 3 + 3 + 4 = 10 ученых, значит, вероятность того, что ученый, который выступает восьмым, окажется из России, равна 3:10 = 0,3. Ответ: 0,3.

Слайд 30

В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике. Решение. Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике, равна Ответ: 0,2.

Слайд 31

http ://chalochalo.ru/exams/index.php?b10=b10 http://reshuege.ru/test?theme=166 http://ru.m.wikipedia.org/wiki/ Теория вероятностей Источники информации