Проект "Методы решения заданий С1 ЕГЭ по математике"
В работе рассмотрены методы решения заданий С1 ЕГЭ по математике, приведены примеры.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 c1_matematika.pptx | 2.4 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Формулы записи решений простейших тригонометрических уравнений. В большинстве учебников для записи решений простейших уравнений используются следующие формулы:
При повторении формул решения уравнений следует обратить внимание на то, что формулы задают множества чисел, которые образованы по закону арифметической прогрессии с разностью 2 π или π . С другой стороны использование общей формулы серий решений не всегда является удобной при отборе корней, в частности, на числовой окружности. В этом случае как раз удобнее не объединять серии решений тригонометрических уравнений, а представлять их совокупностью, выделяя разность 2 π соответствующих прогрессий.
sin x
cos x
tg x и ctg x
Для тригонометрических уравнений применимы общие методы решения (разложение на множители, замена переменной, функционально-графические) и равносильные преобразования общего характера. Решение тригонометрических уравнений
В данном пункте рассмотрим уравнения, содержащие синус, косинус, тангенс и котангенс степени не выше первой. Уравнения данного вида сводятся к простейшим путем замены f(x)=t . Часто задача осложняется тем, что требуется найти все решения уравнения, принадлежащие указанному промежутку.
Решение . Положив 4x=t , будем искать корни уравнения cost =3 , принадлежащие другому промежутку [0;4 π ] . Решения задаются формулами: В тех случаях, когда промежутки привязаны к четвертям тригонометрической окружности, для отбора корней удобно использовать модель тригонометрической окружности. Так как и то неравенство справедливо при k=0 и k=1 . Соответственно, неравенство , справедливо при k=1 и k=2 . Возвращаясь к исходной переменной, получим:
На числовой окружности (см. Рис. 21) получаем два числа, удовлетворяющие условию задачи: В некоторых простых случаях замена не обязательна.
Решение. Используя нечетность синуса, перепишем уравнение в виде Последнее равенство выполняется в двух случаях: Отсюда получаем
Тренировочные упражнения 1. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию 2. Найдите корни уравнения принадлежащие промежутку 3. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию
Тренировочные упражнения 4. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию 5. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию 6. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию
Решение. Среди значений x , для которых cos x = 0 , корней уравнения нет (если cos x = 0 , то из уравнения следует, что и sin x = 0 , а одновременно эти два равенства выполняться не могут). Значит, деление обеих частей уравнения на cos x не приведет к потере корней. Разделив, получим уравнение:
Решение. Разделим обе части уравнения на Уравнение примет вид
Cos x
Тренировочные упражнения Решите уравнения: 1. 2. 3. Дано уравнение а) Решите уравнение. б) Укажите корни, принадлежащие отрезку 4 . Найдите корни уравнения принадлежащие отрезку [0; 4]. 5. Найдите корни уравнения на отрезке
Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим уравнениям с помощью замены В тех случаях, когда исходное уравнение может быть приведено к виду то заменой уравнение сводится к решению уравнения Далее для каждого полученного корня необходимо решить уравнение
В тех случаях, когда множество значений функции g ( x ) известно, то пишется ограничение на новую переменную.
Иногда при решении уравнений часть «посторонних» решений возникающих в результате замены могут быть удалены по причине несоответствия их области определения или множеству значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Напомним их и покажем на примерах как ограничение, связанное с новой переменной, позволяет проводить проверку на промежуточном этапе решения.
Решение. Обозначим где Полученное квадратное уравнение имеет корни (не удовлетворяет
Решение. Положим arccosx =t . Так как множество значений функции arccosx – отрезок [0; π ] , найдем решения уравнения удовлетворяющие условию Такой корень один: Если , то , откуда
Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим путем замены переменной - одна из наиболее плодотворных идей, используемая для решения тригонометрических уравнений. Рассмотрим несколько типичных ситуаций введения новой переменной. Уравнения, сводящиеся к многочлену от одной тригонометрической функции. Рассмотрим уравнения, сводящиеся к квадратным относительно синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, приведем уравнение к виду:
Заметим, что все решения можно представить одной формулой:
Решение. Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, перепишем уравнение в виде:
Решение. Если записать условие sin 2x <0 в виде 2 sinx * cos x < 0 , то становится очевидным, что оно выполняется в том и только в том случае, когда sinx и cosx имеют разные знаки, что в свою очередь равносильно условию tgx < 0 . Введением новой переменной tgx = t сведем исходную задачу к решению смешанной системы:
Решение уравнений, однородных относительно синуса и косинуса в которых сумма показателей степеней у sinx и cosx (степень уравнения) во всех членах уравнения одинакова. Например,
В частности, уравнения вида приводятся к однородным путем представления правой части в виде:
Решение. Преобразуем обе части уравнения, воспользовавшись тождествами: Заметим, что среди значений x , для которых cos x=0 , корней уравнения нет, поскольку, если cos x=0 , то из уравнения следует, что и sinx=0 , а одновременно эти два равенства выполняться не могут. Значит, можно разделить обе части уравнения на , не опасаясь потери корней. После деления получим уравнение Последовательно имеем: Решив его как квадратное относительно tgx , найдем: tg x=0,5 , tgx=3 , откуда
Симметрические уравнения Рассмотрим тригонометрические уравнения f ( x )=0 , левая часть которых представляет собой рациональное выражение от переменных t= sinx+cosx (или t= sinx-cosx ) и v= sinx * cosx . Поскольку Следовательно, исходное уравнение сводится к алгебраическому относительно переменной t . Так как то поиск корней алгебраического уравнения можно ограничить промежутком
Решение. Введем новую переменную С учетом равенства перепишем уравнение в виде или Последнее уравнение имеет два корня из которых только первый удовлетворяет условию Вернемся к переменной x . Получим или откуда
Решение . Воспользовавшись формулой разности кубов Положим Тогда и, значит, Таким образом, после замены получим уравнение
Отсюда Условию удовлетворяет только одно из найденных значений: Возвратимся к исходной переменной. Получим или Откуда или Таким образом, исходное уравнение имеет две серии решений:
Уравнения f ( x ) =0, левая часть которых может быть представлена как многочлен от tg x+ctg x , сводятся к алгебраическим заменой t g x +ct g x=t . Решение. Положим t g x + ctg x=t . Заметим, что Последнее уравнение имеет два корня t=1 и t =2 , из которых только второй удовлетворяет условию t ≥ 2 . Если t=2 , то tg x + ctg x =2 , или sin 2 x =1 , откуда
Применение универсальной тригонометрической подстановки Так как выражаются через , то уравнение вида подстановкой часто удается свести к алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что замена на и на ведет к сужению области определения уравнения, поскольку из рассмотрения исключаются значения x , при которых т.е. при которых
Поэтому при применении универсальной тригонометрической подстановки необходимо дополнительно выяснить, являются или нет исключаемые из рассмотрения значения x корнями исходного уравнения.
Решение. Преобразовав уравнение к виду введем новую переменную Так как исходное уравнение не определено для то такая замена не может привести к потере корней. Заменив на получим уравнение которое равносильно каждому следующему уравнению: Получаем и, возвращаясь к переменной x , решаем уравнение
Тренировочные упражнения Решите уравнение: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Тренировочные упражнения Решите уравнение: 1. 2. 3. 4. 5.
Метод разложения на множители Один из основных подходов к решению тригонометрических уравнений состоит в их последовательном упрощении с целью сведения к одному или нескольким простейшим. Для упрощения используются тригонометрические формулы. Универсального ответа на вопрос, какие формулы следует применить в том или ином случае, нет, однако есть ряд приемов, которые полезно иметь в виду при поиске решения.
Довольно часто в результате преобразований удается привести уравнение к виду В этом случае дальнейшее решение сводится к поиску корней уравнений и дальнейшему отбору тех из них, которые принадлежат области определения исходного уравнения. Такой подход к решению уравнений, известный как метод разложения на множители, является универсальным (его применяют при решении рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений).
Решение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента Так как то последнее уравнение равносильно системе
Решение. Так как общий наименьший период функций tg x и sin x равен 2 π , то отбор корней удобно проводить на промежутке [0;2 π ) . Проведем равносильные преобразования: На промежутке [0;2 π ) из трех корней 0, π /2, π исключаем число π /2, поэтому множество корней данного уравнения задается формулой
Решение. Перепишем уравнение в виде Функции, входящие в последнее уравнение, определены при всех x , кроме На этом множестве последнее уравнение равносильно совокупности уравнений t g x =0 и cos 8 x =1 , решения которых определяются формулами
Теперь необходимо отобрать из полученных значений x те, которые удовлетворяют условию cos x≠0 , т.е., Для первой серии корней условие cos x≠0 выполняется. Для отбора корней второй серии воспользуемся следующим. Представим число n в виде а p принимает значения 0, 1, 2 и 3. Тогда при разных значениях p корни второй серии будут иметь вид:
Значит при p=2 получаются «запрещенные» значения, а все оставшиеся решения можно задать, например, как совокупность серий: причем вторая из этих серий была получена ранее.
В случае тригонометрических уравнений проблема преобразования исходного уравнения к виду уравнения к виду решается, главным образом, путем использования тригонометрических формул. Рассмотрим, как это делается на примерах.
Решение. Так как то данное уравнение равносильно следующим: Полученное уравнение в свою очередь равносильно совокупности уравнений
Если уравнение содержит выражения то для разложения на множители можно попробовать применить формулы преобразования этих сумм (разностей) в произведения.
Решение. Перепишем уравнение в виде Далее преобразуем это уравнение, используя формулу Получим
Последнее уравнение распадается на три:
Пример 54. Найти наибольший отрицательный корень уравнения Решение. Последовательно имеем
Продемонстрируем применение различных способов для отбора наибольшего отрицательного корня данного уравнения. Алгебраический способ . Для каждой серии корней решим неравенства относительно соответствующего параметра n , k и l . а) Для первой серии корней имеем Отсюда получаем а наибольшее целое отрицательное значение и корень
б) Второе неравенство выполняется, если или и В) тогда или Выбираем наибольший отрицательный корень уравнения
Арифметический способ. Выполнив перебор значений параметров n , k и l , найдем значения для переменной х.
Геометрический способ. На тригонометрическом круге изобразим точками числа, соответствующие найденным сериям решений (рис. 22). При обходе по тригонометрической окружности в отрицательном направлении первое встретившееся число есть
Тренировочные упражнения 1. Найдите все решения уравнения принадлежащие промежутку 2. Найдите все корни уравнения удовлетворяющие неравенству 3 . Решите уравнение 4. Решите уравнение 5. Найдите сумму корней уравнения Принадлежащие промежутку 6. Найдите сумму корней уравнения Принадлежащие промежутку
Источники информации http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri6.htm http://eahmath.ru/algebsc/alabspr.php?i=1 «МАТЕМАТИКА, ЕГЭ. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С1)» Корянов А.Г., Прокофьев А.А.
Иван Васильевич меняет профессию
Ребята и утята
Прекрасное далёко
Загадочная система из шести экзопланет
Сказки пластилинового ослика