Иррациональные уравнения

 «Иррациональные уравнения»

        Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии с тремя уровнями подготовки на определённые ряды. Отметим, что навыки по рассматриваемой теме не относятся к обязательным требованиям к подготовке учащихся, поэтому, у меня её изучают только более подготовленные учащиеся (1 и 2 группа).

        Цель урока. Разобрать способы решения иррациональных неравенств среднего и повышенного уровня сложности, разработать опорные схемы.

1 этап урока - организационный (1мин.)

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет назначение раздаточного материала, который находится на партах.

2 этап урока (5мин.)

Устная работа на повторение по решению простейших задач по теме «Степень с рациональным показателем»

Учитель предлагает учащимся по очереди отвечать на вопросы, комментируя свой ответ с ссылкой на соответствующий теоретический факт.

Повторение рекомендуется проводить на каждом уроке в 10-11-х классах. Учащимся раздаются листы с заданиями для устной работы, составленные на основе краевых диагностических контрольных работ следующего содержания.

Степень с рациональным показателем

Упростить: 1) 12m4/3m8

 2) 6с3/7 + 4 (с1/7)3

 3) (32х2)1/5 · х3/5

 4) 24,6а · 2-1,6а

 5) 2х0,2 · х-1,2

 6) 4х3/5 · х1/10

 7) (25х4)0,5

 8) 2х4/5 · 3х1/5

 9) (3х2/5)2 + 2х4/5

10) 3х1/2 · х3/2

Вычислить: 11) 43,2m · 4-1,2m, при m =1/4

12) 6-5,6а · 63,6а, при а = 1/2

13) 5 · 272/3 - 161/4

14) 34,4с · 3-6,4с, при с =1/2

15) 3х2/5 · х3/5, при х = 2

3 этап урока - изучение новой темы (20мин.), лекция

Учитель предлагает 3 группе учащихся приступить к работе над повторением с карточками - консультантами по теме «Простейшие тригонометрические уравнения» (т.к. изучаемый материал повышенного уровня сложности и к обязательному не относится). Учащиеся 3 группы - это, как правила учащиеся со слабой математической подготовкой, педагогически запущенные школьники. После выполнения задания происходит обмен карточками внутри группы. Более подготовленные учащиеся приступают к разбору новой темы.

        Перед разбором способов решений иррациональных неравенств учащимся необходимо напомнить основные теоретические факты, на основе которых будут строится опорные схемы для равносильных переходов. В зависимости от уровня подготовки учащихся это могут быть либо устные ответы на вопросы учителя, либо совместная    работа учителя и учащихся, но в любом случае на уроке должно прозвучать следующее.

        Определение  1.     Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными.

При решении неравенств обычно данное неравенство преобразуется в ему равносильное.

Например, неравенство (х - 3)/(х2 + 1) < 0 и х - 3 < 0 равносильны, т.к. имеют одно и то же множество решений: х < 3. Неравенства 2х/(х - 1) > 1 и 2х > х - 1 не равносильны, т.к. решениями первого являются решения х < -1 и х > 1, а решениями второго - числа х > -1.

        Определение 2. Область определения неравенства - это множество таких значений х, при которых имеют смысл обе части неравенства.

        Мотивация. Неравенства сами по себе представляют интерес для изучения, т.к. именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи познания реальной действительности. Часто неравенство служит важным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование каких-либо объектов, оценить их количество провести классификацию. Поэтому, с неравенствами приходится сталкиваться не менее часто, чем с уравнениями.

        Определение. Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным.

Пример 1. √(5 - х) < 4. Устно проводится рассуждение, затем записывается решение. При обсуждении учащимся задаются вопросы:

- Какова область определения неравенства?

- При каком условии при возведении в квадрат обеих частей получится равносильное неравенство?                    

                            5 - х ≥ 0

√(5 - х) < 4 <=>  5 - х < 16 <=> -11 < х ≤ 5.

Пример 2. √10 + х - х2 ≥ 2 <=> 10 + х - х2 ≥ 0 <=> 10 + х - х2 ≥ 4

                                                     10 + х - х2 ≥ 4

т.к. каждое решение второго неравенства системы является решением первого неравенства.

Пример 3. Решить неравенства

                   а) √3х - 4 < -5 нет решений, т.к. при всех допустимых значениях переменной значения корня не отрицательны.

                   б) √2х2 + 5х - 3 ≤ 0 <=> 2х2 + 5х - 3 = 0

Разберём три типичных примера, из которых будет видно, как при решении неравенств делать равносильные переходы, когда напрашивающееся преобразование равносильным не является.

Пример 1.  √1 - 4х < х + 11.

Хотелось бы, конечно, возвести обе части в квадрат, чтобы получить квадратное неравенство. При этом мы можем получить не равносильное неравенство. Если рассматривать только те х для которых обе части не отрицательны (левая неотрицательно заведомо), то возведение в квадрат будет всё таки возможным. Но что же делать с теми х, для которых правая часть отрицательна? А ничего не делать, поскольку ни одно их этих х решением неравенства не будет: ведь для всякого решения неравенства правая часть больше левой, являющейся неотрицательным числом, и, стало быть, сама не отрицательна. Итак, следствием нашего неравенства будет такая система

1 - 4х < (х + 11)2

                                                       х + 11 ≥ 0.

Тем не менее, эта система не обязана быть равносильной исходному неравенству. Областью определения полученной системы является вся числовая прямая, в то время как исходное неравенство определено лишь для тех х, для которых 1 - 4х ≥ 0. Значит если мы хотим, чтобы наша система была равносильна неравенству надо приписать это условие:

1 - 4х < (х + 11)2

                                                       х + 11 ≥ 0

                                                       1 - 4х ≥ 0

                                                           х

Ответ: (- 6; ¼]

Предлагается сильному ученику провести рассуждение в общем виде, получится вот, что

√f(х) < g(х) <=>  f(х) < (g(х))2

                     g(х) ≥ 0

                     f(х) ≥ 0.

Если бы в исходном неравенстве стоял знак ≤ вместо <, то в качестве первого неравенства этой системы надо было взять f(х) ≤  (g(х))2.

Пример 2. √х > х - 2

Здесь опять можно возвести в квадрат для тех х, для которых выполнено условие х - 2 ≥ 0. Однако теперь уже нельзя отбросить те х, для которых правая часть отрицательна: ведь в этом случае правая часть будет меньше заведомо не отрицательной левой, так что все такие х будут решениями неравенств. Впрочем, не все, а те которые входят в область определения неравенства, т.е. для которых х ≥ 0. Какие случаи следует рассмотреть?

1 случай: если х - 2 ≥ 0, то из нашего неравенства следует система

х > (х - 2)2

                                                            х - 2 ≥ 0

2 случай: если х - 2 < 0, то из нашего неравенства следует система

х ≥ 0

     х - 2 < 0

При разборе случаев возникает составное условие под названием «совокупность». Получим равносильную неравенству совокупность двух систем

х > (х - 2)2

                                                            х - 2 ≥ 0

                                                            х ≥ 0

                                                            х - 2 < 0.

Сильному учащемуся предлагается провести рассуждение в общем, виде, то получится вот, что:

√f(х) > g(х) <=>  f(х) > (g(х))2

                                                                         g(х) ≥ 0

                                                                         f(х) ≥ 0

                                                                         g(х) < 0.

Если бы в исходном неравенстве стоял знак ≥ вместо >, то в качестве первого неравенства этой системы надо было взять f(х) ≥ (g(х))2.

Пример 3. √х2 - 1 > √х + 5.

Вопросы:

- Какие значения принимают выражения стоящие в левой и правой части?

- Можно ли возвести в квадрат?

- Какова область определения неравенств?

Получим               х2 - 1 > х + 5

                              х + 5 ≥ 0

                              х2 - 1 ≥ 0

- Какое условие лишнее?

Таким образом, получим, что данное неравенство равносильно системе

                              х2 - 1 > х + 5

                              х + 5 ≥ 0

Сильному учащемуся предлагается провести рассуждение в общем виде, то получится вот, что:

                                                  √f(х) > √g(х) <=> f(х) > g(х)

                                                                                g(х) ≥ 0.

- Подумайте, что изменится, если вместо > в исходном неравенстве будет стоять знак ≥, ≤ или <.

На доске вывешиваются 3 схемы решения иррациональных неравенства, ещё раз обсуждается принцип их построения.

4 этап - закрепление знаний (5мин.)

Учащимся 2 группы предлагается указать, какой системе или их совокупности равносильно неравенство № 167 (Алгебра и начала анализа 10-11 кл. М, Просвещение, 2005, Ш.А.Алимов)

Двум наиболее подготовленным учащимся из этой группы предлагается решить на доске неравенства:    № 1.   √х2 - 1 >1

                                         № 2.   √25 - х2 < 4.

Учащиеся 1 группы получают аналогичное задание, но более высокого уровня сложности № 170 (Алгебра и начала анализа 10-11 кл. М, Просвещение, 2005, Ш.А.Алимов)

одному наиболее подготовленному учащемуся из этой группы предлагается решить на доске неравенство: √4х - х2 < 5 - х.

При этом всем учащимся разрешается пользоваться конспектом.

В это время учитель работает с учащимися 3 группы: отвечает на их вопросы при необходимости помогает; и контролирует решение задач на доске.

По истечению времени каждой группе выдаётся для проверки лист ответов (можно показать ответы на экране, используя мультимедийную систему).

5 этап урока - обсуждение решений задач, представленных на доске (7мин.)

Учащиеся, выполнявшие задачи у доски, комментируют свои решения, а остальные вносят при необходимости коррективы и выполняют записи в тетрадях.

6 этап урока - подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию (2мин.)

3 группа обмен карточками внутри группы.

2 группа № 168 (3, 4)

1 группа № 169 (5), № 170 (6)