Исследовательская работа «Вклад Колмогорова А. Н. в создание аксиоматики теории вероятностей»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №3»

Исследовательская работа

 на тему:

«Вклад Колмогорова А. Н. в создание аксиоматики теории вероятностей»

Выполнила

ученица 10а класса

Шеншина Лидия

Руководитель

учитель математики

Мякина Т. Н.

Муром 2013

Оглавление

Введение ……………………………………………………………………... 3

Краткая биография А. Н. Колмогорова ……………………………………. 5

Историческое развитие науки теории вероятностей ……………………... 7

Создание аксиоматики теории вероятностей ……………………………. 10

Заключение …………………………………………………………………. 14

Библиографический список ……………………………………………….. 15

Приложение 1 ……………………………………………………………… 16

Приложение 2 ……………………………………………………………… 17

Введение

25 апреля 2013 года исполняется 110 лет со дня рождения Андрея Николаевича Колмогорова – одного из величайших математиков нашего века и одного из крупнейших ученых в истории русской науки.

Творческая жизнь Андрея Николаевича длилась шестьдесят шесть лет. Впервые он выступил перед математической аудиторией с научным докладом в январе 1921 года. Последние строки, предназначенные для печати, были продиктованы им незадолго до смерти, наступившей 20 октября 1987 года.

Вклад Андрея Николаевича огромен. Одно лишь перечисление математических разделов, в которые он внес фундаментальный вклад, необычайно велико. Основные из них:

• метрическая теория функций;
• дескриптивная теория множеств;
• математическая логика;
• теория вероятностей;
• геометрия;
• случайные процессы;
• математическая статистика;
• функциональный анализ;
• теория приближений;
• теоретико-множественная топология;
• алгебраическая топология;
• дифференциальные уравнения;
• теория турбулентности;
• теория стрельбы;
• теория алгоритмов и автоматов;
• динамические системы;
• классическая механика;
• теория суперпозиций функций;
• теория информации;
• алгоритмическая теория вероятностей.

К какой бы области знания ни прикоснулся А. Н. Колмогоров, эта область, получала новый импульс развития и уже больше не могла изучаться без учета колмогоровского вклада в нее.

Несомненно, важнейшей областью наук для А. Н. Колмогорова была теория вероятностей. На протяжении почти полувека он был общепризнанным мировым лидером в области теории вероятностей. Ему суждено было завершить классическое направление в этой теории, идущей от Я. Бернулли и П. Лапласа.

Объектом исследования данной работы является аксиоматика теории вероятностей, предложенная А. Н. Колмогоровым, а предметом исследования – изучение вклада А. Н. Колмогорова в развитие и становление теории вероятностей как математической науки. Целями выполняемого исследования являются:

1. изучение исторического процесса развития науки теории вероятностей;
2. ознакомление с работой А. Н. Колмогорова в данной области;
3. определение вклада А. Н. Колмогорова в создание аксиоматики теории вероятностей.

Краткая биография А. Н. Колмогорова

Андрей Николаевич Колмогоров (рисунок 1 приложения 2) родился 25 апреля 1903 года в Тамбове. Его мать Мария Яковлевна Колмогорова умерла при рождении сына. Отец погиб в 1919 году.

Мальчик был усыновлен и воспитывался сестрой матери, Верой Колмогоровой, которая в своем доме организовала школу для детей разного возраста, занимаясь с ними по рецептам новейшей педагогики. Для ребят издавался рукописный журнал «Весенние ласточки». В нем и появлялись первые «научные» работы Андрея – придуманные им арифметические задачи.

Когда мальчику исполнилось семь лет, Вера Яковлевна переехала с ним в Москву. Она определила его в приготовительный класс гимназии Репман, которая была организована кружком московской прогрессивной интеллигенции и все время находилась под угрозой закрытия. В гимназии работали первоклассные учителя, и уже в те годы Андрей обнаруживает у себя замечательные математические способности.

В семь лет он самостоятельно вывел принцип представления квадратов целых чисел в виде суммы простых, в двенадцать начал изучать высшую математику. Несколько позднее, в средних классах школы, победили уже  совсем другие увлечения – в частности, увлечение историей. Возврат к математике произошёл в самых последних  классах средней школы.

В 1920 году он поступил на математическое отделение Московского университета и в первые же месяцы сдал экзамены за курс. На первом курсе университета А. Н. Колмогоров слушает лекции Н. Н. Лузина по теории функций комплексного переменного и А. К. Власова по проективной геометрии.

Однажды студенту Колмогорову удалось показать, что некоторое утверждение, на котором Н. Н. Лузин решил построить свое доказательство интегральной теоремы Коши на лекции, ошибочно. Было решено, что А. Н. Колмогоров доложит опровергающий пример на студенческом математическом кружке. После успешного выступления первокурсник Колмогоров сделался известным.

В 1921 году А. Н. Колмогоров начинает заниматься в семинаре Н. Н. Лузина по тригонометрическим рядам. Первый сильный результат А. Н. Колмогорова – решение поставленной Н. Н. Лузиным задачи о выяснении того, насколько медленно могут убывать коэффициенты ряда Фурье. После этого Н. Н. Лузин торжественно присвоил А. Н. Колмогорову звание своего ученика.

Летом 1922 года А. Н. Колмогоров получает действительно выдающийся результат – он строит почти всюду расходящийся ряд Фурье суммируемой функции. Эта работа приносит ему всемирную известность. Именно с той поры – с лета 1922 года – разумно исчислять начало его необыкновенной по интенсивности и плодотворности творческой биографии.

Непосредственно после окончания Московского университета в 1925 году, с которым он уже не расстанется до конца жизни, А. Н. Колмогоров становится аспирантом Н. Н. Лузина. В этом же 1925 году происходит знаменательное событие – Андрей Николаевич Колмогоров начинает серьезно заниматься теорией вероятностей, которую он сам считал своей основной научной специальностью.

В те же годы, когда А. Н. Колмогоров сделал свои первые открытия, он стал школьным учителем и несколько лет работал в общеобразовательной школе. Он читал многочисленные лекции школьникам и студентам, активно участвовал в становлении школьных математических олимпиад, сначала Московских, а затем Всероссийских и Всесоюзных.

В 1930 году А. Н. Колмогоров стал профессором МГУ, с 1933 по 1939 год был ректором Института математики и механики МГУ, многие годы руководил кафедрой теории вероятностей и лабораторией статистических методов.

В 1935 году А. Н. Колмогорову была присвоена степень доктора физико-математических наук, в 1939 году он был избран членом АН СССР. Незадолго до начала Великой Отечественной войны А. Н. Колмогорову за работы по теории вероятностей была присуждена Государственная премия.

В 1964 году А. Н. Колмогоров основал журнал «Теория вероятностей и ее применения» и был его первым главным редактором.

А. Н. Колмогоров скончался 26 октября 1987 года. Он является автором свыше 500 научных работ в различных областях математики.

Историческое развитие науки теории вероятностей

Теория вероятностей – это математическая дисциплина, изучающая  математические модели  случайных явлений. Предметом теории вероятностей является математический аппарат  для построения и анализа математических моделей случайных явлений, возникающих в науке, технике, экономике, бизнесе и повседневной деятельности людей.

Теория вероятностей необходима тогда, когда требуется дать количественную оценку неопределенности, возникающей при анализе случайных явлений, предсказать наиболее вероятный исход опыта, оценить средние значения случайных факторов и отклонения от них, исследовать взаимосвязь явлений, между которыми нет жесткой зависимости. Теория вероятностей позволяет дать специальный язык для описания некоторых объектов реального мира. Методы теории вероятностей помогают анализировать большие объемы статистических данных и предлагать для них математические модели.

История теории вероятностей как математической науки длинна и богата идеями, личностями и событиями. Сама исходная идея о решающей роли случая в системе природы, о случайности как «технологии» создания мира принадлежит, конечно, античным мыслителям-материалистам.

Первые попытки определения вероятности и установления основных вероятностных законов произошли на рубеже Средневековья и Ренессанса. Лука Пачиоли (1445 – 1514) уже решал вероятностную задачу, ошибался. Но Д. Кардано (1501 – 1576) и Г. Галилей (1564 – 1642), которые тоже занимались некоторыми специальными вероятностными задачами, уже делали это лучше.

Возникновение теории вероятностей в современном смысле слова относится к середине XVII века и связано с исследованиями Б. Паскаля (1623 – 1662), П. Ферма (1601 – 1665) и Х. Гюйгенса (1629 – 1695) в области теории азартных игр. В этих работах постепенно сформировались такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание; были установлены их основные свойства и приемы их вычисления.

Крупный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с работами Я. Бернулли (1654 – 1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей – так называемого закона больших чисел.

Другой важный этап связан с именем А. Муавра (1667 – 1754). Этот ученый впервые ввел в рассмотрение и для простейшего случая обосновал своеобразный закон, очень часто наблюдаемый в случайных явлениях: так называемый нормальный закон.

Выдающаяся роль в развитии теории вероятностей принадлежит знаменитому математику П. Лапласу (1749 – 1827). Он впервые дал стройное и систематическое изложение основ теории вероятностей, дал доказательство одной из форм центральной предельной теоремы и развил ряд замечательных приложений теории вероятностей к вопросам практики, в частности, к анализу ошибок наблюдений и измерений.

Значительный шаг в развитии теории вероятностей связан с именем К. Гаусса (1777 – 1855), который дал еще более общее обоснование нормальному закону и разработал метод обработки экспериментальных данных, известный под названием «метод наименьших квадратов».

Следует также отметить работы С. Пуассона (1781 – 1840), доказавшего более общую, чем у Я. Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и её приложениях.

С середины XIX века развитие теории вероятностей связано в значительной мере с именами русских ученых. В это время в России создается знаменитая Петербургская математическая школа, трудами которой теория вероятностей была поставлена на прочную логическую и математическую основу и сделана надежным, точным и эффективным методом познания.

Среди учеников Петербургской математической школы следует назвать В. Я. Буняковского (1804 – 1889) – автора первого курса теории вероятностей на русском языке, создателя современной русской терминологии в теории вероятностей, автора оригинальных исследований в области статистики и демографии.

П. Л. Чебышеву (1821 – 1894) принадлежит дальнейшее расширение и обобщение закона больших чисел.

А. А. Марков (1856 – 1922) существенно расширил область применения закона больших чисел и центральной предельной теоремы, распространив их не только на независимые, но и на зависимые опыты. Важнейшей заслугой А. А. Маркова явилось то, что он заложил основы совершенно новой ветви теории вероятностей – теории случайных, или «стохастических», процессов.

А. М. Ляпунов (1857 – 1918) впервые доказал центральную предельную теорему при чрезвычайно общих условиях.

Дальнейшее развитие теории вероятностей характерно всеобщим подъемом интереса к ней и резким расширением круга её практических применений. Теория вероятностей превратилась в одну из наиболее быстро развивающихся наук, теснейшим образом связанную с потребностями практики и техники. Решающую роль в развитии современной теории вероятностей и её практических приложений сыграли труды некоторых крупнейших советских ученых.

С. Н. Бернштейн (1880 – 1968) разработал первую законченную аксиоматику теории вероятностей, а также существенно расширил область применения предельных теорем.

А. Я. Хинчин (1894 – 1959) известен своими исследованиями в области дальнейшего обобщения и усиления закона больших чисел, но главным образом своими исследованиями в области так называемых стационарных случайных процессов.

Огромный вклад в развитие теории вероятностей внес А. Н. Колмогоров. Он применил методы теории функций действительного переменного в теории вероятностей, построил аксиоматику теории вероятностей (это достижение А. Н. Колмогорова, пожалуй, более всего известно) и заложил основы теории марковских случайных процессов с непрерывным временем, развил теорию стационарных процессов, сформулировал необходимые и достаточные условия применимости закона больших чисел.

Без сомнения, современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной А. Н. Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Создание аксиоматики теории вероятностей

Теория вероятностей необычайно долго, вплоть до 30-х годов ХХ века, оставалась в стороне от общего процесса перевода математических наук на рельсы аксиоматической формализации. Нечеткость базовых понятий часто приводила исследователей к противоречивым выводам, а практические теоретико-вероятностные приложения были слабо обоснованы. Поэтому еще в начале XX века многие считали теорию вероятности «не совсем математикой», а чем-то, расположенным ближе к физике или философии.

Формально-логическое обоснование теории вероятностей приобрело особое значение, которое, в частности, в 1900 году Д. Гильбертом было отнесено к числу важнейших проблем математики.

Формально-логический принцип построения требовал, чтобы основу теории вероятностей составили некоторые аксиоматические предпосылки, являющиеся обобщением многовекового человеческого опыта. Дальнейшее же развитие теоретико-вероятностных концепций должно было строиться посредством дедукции из аксиоматических положений без обращения к нечетким и интуитивным представлениям. То есть теория вероятностей должна строиться из аксиом так же, как любая сформировавшаяся математическая наука.

Впервые такая точка зрения была развита в 1917 году советским математиком С. Н. Берштейном. При этом С. Н. Берштейн исходил из качественного сравнения случайных событий по их большей или меньшей вероятности.

Математически строгое построение аксиоматической теории вероятностей предложил А. Н. Колмогоров, тесно связав теорию вероятностей с теорией множеств и теорией меры. В 1931 году выходит в свет его фундаментальная статья «Об аналитических методах в теории вероятностей», а в 1933 году – монография «Основные понятия теории вероятностей», в которой предложена аксиоматика теории вероятностей. Эта книга, несомненно, самое известное произведение Андрея Николаевича, после ее выхода теория вероятностей стала математической наукой.

Заслуга А. Н. Колмогорова состоит не только в том, что он внес, выражаясь его собственными словами, «полную ясность в формальное строение теории вероятностей», но и в том, что для этого не понадобилось конструировать какую-либо новую систему формальных (аксиоматически определяемых) понятий, как это пытались сделать его предшественники.

А. Н. Колмогоров сумел использовать для аксиоматизации теории вероятности уже готовый мощный инструмент – так называемую теорию меры. Идея такого использования принадлежит не ему. Ее высказывал Э. Борель в 1909 году и начинал развивать А. Ломницкий в 1923 году. Это оказалось трудным делом.

Первый вариант его аксиоматики теории вероятностей был опубликован в 1929 году («Общая теория меры и исчисление вероятностей»), окончательный результат появился в 1933 году в виде уже упоминавшейся классической монографии.

Многочисленные классические, статистические, геометрические построения, философские осмысления, азартные игры и демографические наблюдения – вся эта огромная пирамида, на склонах которой видны ступени лестниц предшественников, вдруг оказалась внизу. Теперь она называлась «интуитивные предпосылки теории вероятностей». А сама математическая теория вероятностей явилась как совокупность логических следствий из нескольких аксиом теории меры. А. Н. Колмогорову удалось осмыслить все накопившиеся противоречия и парадоксы, все попытки предшественников их преодолеть; удалось сделать последний шаг – шаг от количества к качеству – и предложить новую, казалось бы, неожиданно простую точку зрения на знакомые вещи. По-видимому, им руководило естественное для большого ученого убеждение, что чем более общий характер носит идея, тем более простой она, в сути своей, является и тем проще она должна быть выражена.

Отправным пунктом аксиоматики А. Н. Колмогорова является множество , элементы которого называются элементарными событиями. Наряду с  рассматривается множество  подмножеств элементарных событий. Множество  называется алгеброй множеств, если выполнены следующие требования:

1. ,  ( – пустое множество);
2. из того, что , следует, что так же ;
3. из того, что  и , следует, что  и .

Если дополнительно к перечисленным выполняется еще следующее требование:

4. из того, что  (при n = 1, 2, …), вытекает, что  и ,

то множество  называется -алгеброй. Элементы  называются случайными событиями.

Под операциями над случайными событиями понимаются операции над соответствующими множествами. В результате можно составить взаимное соответствие между терминами языка теории множеств и языка теории вероятностей, приведенное в таблице 1 приложения 1.

В качестве аксиом, определяющих вероятность, А. Н. Колмогоровым приняты следующие утверждения:

Аксиома 1. Каждому случайному событию A поставлено в соответствие неотрицательное число P(A), называемое его вероятностью.

Аксиома 2. .

Аксиома 3. Если события , , …,  попарно несовместимы, то .

Из сформулированных аксиом выводится несколько важных элементарных следствий. Прежде всего, из очевидного равенства  и аксиомы 3 следует, что .

Таким образом:

1. Вероятность невозможного события равна нулю.
2. Для любого события A .
3. Каково бы ни было случайное событие A, .
4. Если событие A влечет за собой событие B, то .

Вероятностным пространством принято называть тройку символов , где  – множество элементарных событий,  – -алгебра подмножеств , называемых случайными событиями, и P(A) – вероятность, определенная на -алгебре .

Система аксиом А. Н. Колмогорова является непротиворечивой, так как существуют реальные объекты, которые всем этим аксиомам удовлетворяют.

Система аксиом неполна, так как даже для одного и того же множества  вероятности в множестве  можно выбирать различными способами. Неполнота системы аксиом не является свидетельством их неудачного выбора, а вызвана существом дела: в различных задачах могут встречаться явления, при изучении которых требуется рассматривать одинаковые множества случайных событий, но с различными вероятностями.

Кроме этого система аксиом А. Н. Колмогорова позволяет строить теорию вероятностей как часть теории меры, а вероятность рассматривать как неотрицательную нормированную аддитивную функцию множества.

Успех аксиоматики А. Н. Колмогорова, пишет известный математик Б. В. Гнеденко, «объясняется рядом обстоятельств, среди которых упомянем лишь следующие: она соответствовала общему духу математики того времени, тесно связала теорию вероятностей с метрической теорией функций и тем самым открыла перед ней богатейший арсенал хорошо разработанных методов исследования, позволила охватить единой простой схемой не только классические главы теории вероятностей, но и вновь возникшие ее понятия и проблемы».

Заключение

В ходе выполнения данной работы были выполнены следующие задачи:

1. изучен исторический процесс развития науки теории вероятностей;
2. изучена краткая биография А. Н. Колмогорова;
3. выполнено ознакомление с работой А. Н. Колмогорова в области теории вероятностей;
4. изучены аксиомы А. Н. Колмогорова;
5. определенен вклад А. Н. Колмогорова в создание аксиоматики теории вероятностей.

Как показало проведенное исследование, в теории вероятностей А. Н. Колмогоров сделал исключительно много, получив важные результаты в различных областях этой обширной в наше время науки. Но, без сомнения, для каждого, кто хоть немного с ней знаком, имя А. Н. Колмогорова связывается прежде всего с созданием аксиоматики теории вероятностей. Только после выхода в свет его монографии «Основные понятия теории вероятностей» стало возможно говорить о теории вероятностей как о математической науке в современном смысле слова, основанной на системе аксиом.

«Поставив теорию вероятностей на теоретико-множественную основу, точнее на фундамент теории множеств и теории мер, Колмогоров одним махом дал не только логически удовлетворительное обоснование теории вероятностей, но и включил ее в кровеносную систему современной математики, позволив тем самым использовать развитые ее ветви для нужд теории вероятностей. По простоте и естественности, а также упомянутым преимуществам теория Колмогорова быстро стала общепринятой и служит твердой основой для построения теории вероятностей на протяжении последних 30 лет», – писал в 1969 году известный математик А. Реньи.

Библиографический список

1. Александров П. С. Несколько слов об А. Н. Колмогорове // УМН. 1983. т. 38, вып. 4.
2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей: учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1999.
3. Гнеденко Б. В. Андрей Николаевич Колмогоров (к 70-летию со дня рождения) // УМН. 1973. т. 28, вып. 5.
4. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей: учебник для студентов математических специальностей университетов. М.: Издательство ЛКИ, 2007.
5. Горбачёв Н. Что  значит   быть   математиком? // Смена. 1978. N 12.
6. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974.
7. Колмогоров А. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1986.
8. Колмогоров в воспоминаниях учеников / ред. – сост. А. H. Ширяев. М.: МЦНМО, 2006.
9. Писаревский Б. М., Харин В. Т. Беседы о математике и математиках. М.: Издательство Нефть и газ, 1998.
10. Сосинский А. Б. Беседа с А. Н. Колмогоровым // Квант. 1983. N 4.
11. Тихомиров В. Андрей Николаевич Колмогоров (к 100-летию со дня рождения) // Квант. 2003. N 3.
12. Чистяков В. Д. Рассказы о математиках. М.: Просвещение, 1964.

Приложение 1

Таблица 1. Соответствие между терминами языка теории множеств и языка теории вероятностей.

Приложение 2

Рисунок 1 – Андрей Николаевич Колмогоров