ЯЗЫК СТАРИННЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Математика – древнейшая наука, она мне очень интересна: особенно старинные задачи. Они часто встречаются в олимпиадах, иногда в обычных учебниках математики и считаются особо сложными.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 yazyk_starinnykh_matematicheskikh_zadach.doc | 106 КБ |
Предварительный просмотр:
ЯЗЫК СТАРИННЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Выполнила:
Родионова Александра
ученица 5Б класса
МОУ СОШ № 105
Куйбышевского района
Руководитель:
Комракова Т.К. учитель математики
Самара, 2012г.
Содержание
- Введение стр.1
- Историческая справка стр.2-3
- Практическая часть, решение задач:
3.1 Житейские истории стр. 4-6
3.2 Путешествия стр. 6-7
3.3 Денежные расчеты стр.7-12
3.4 Занимательные задачи стр. 12-15
4. Заключение стр.16
5. Список литературы стр. 17
Язык старинных математических задач
Введение
Математика – древнейшая наука, она мне очень интересна: особенно старинные задачи. Они часто встречаются в олимпиадах, иногда в обычных учебниках математики и считаются особо сложными.
Именно поэтому свою исследовательскую работу я решила сделать по математике и показать, какие старинные задачи я нашла и решила. Много интересных задач я нашла в сборнике «Старинные занимательные задачи» С.Н. Олехника, Ю.В. Нестеренко, М.К. Потапова. Именно так я и назвала свою работу.
Я не просто решила эти задачи, - я нашла разные способы решения каждой из них.
Актуальность темы – на сегодняшний день старинные задачи необычны для современного ученика и поэтому позволяют проверить сообразительность и умение решать неординарные задания.
Цели и задачи проекта – найти новые методы решения задач, научиться применять уже известные и узнать больше о старинных единицах измерения.
Изучая математику иногда (очень редко) мы решаем задачи, в которых встречаются неизвестные, требующие уточнения, слова: «верста», «аршин», «пуд», толкование которых нам дает учитель.
Для решения таких старинных задач достаточно минимальных знаний из арифметики, но они требуют сообразительности и умения логически мыслить, а также «перевода» многих слов на современный язык; наверное, поэтому старинные задачи в современном «переведенном» виде даются на математических олимпиадах и интеллектуальных марафонах.
Меня очень заинтересовали старинные задачи, и в своей работе я не только рассмотрела, «перевели» и решила много старинных задач, но и обогатила свой кругозор знанием старинных слов, работая с толковым словарем живого великорусского языка В.И.Даля, узнала интересные исторические факты о создании первого российского учебника «Арифметика, сиречь наука числительная» и о его авторе - выдающемся педагоге-математике Леонтии Филипповиче Магницком.
Сведения о его жизни и деятельности немногочисленны. Известно, что он родился 9 июня 1669 в Осташковском городке, а ныне г. Осташков Тверской области. Достоверных сведений о том, где и как он получил образование, нет.
По некоторым сведениям, учился он в Славяно-греко-латинской академии в Москве и был очень известным своей образованностью человеком. За «остроумие в науках» в 1700 году фамилия Магницкий была дана ему Петром I, который сказал: «в сравнении того, как магнит привлекает к себе железо, так он природными и самообразованными способностями своими обратил внимание на себя».
14 января 1701 года Петр I подписал указ об учреждении в Москве Математико-навигационной школы и назначил учителем лучшего математика Москвы Л.Ф. Магницкого.
Ему было поручено создать для школы учебник по математике и навигации. В короткий срок Магницкий написал учебник – 21 ноября 1701 года он представил его рукопись. В 1703 году «Арифметика» была издана и на протяжении 50 лет служила основным учебником по математике для всех учебных заведений России, являясь энциклопедией математических знаний. Книга была издана необычайно большим по тем временам тиражом – в количестве 2400 экземпляров.
Один из экземпляров «Арифметики» в 1725 году попал к юному М.В. Ломоносову, который назвал ее «вратами учености» и хранил эту книгу до конца своих дней.
Сам Л.Ф.Магницкий в предисловии к книге писал:
И желаем да будет сей труд
Добре пользовать русский весь люд.
В 1715 году Магницкий становится старшим учителем Математико-навигационной школы, а с 1732 года и до последних дней своей жизни является ее руководителем.
Современники и потомки Л.Ф. Магницкого давали высокую оценку его деятельности, считая его первым российским издателем и учителем арифметики и геометрии, а его книгу «Арифметика» признавали за образец учености.
Решая задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого, я распределила их на несколько групп:
- Житейские истории
Задача № 1
Собака усмотрела* зайца в 150 саженях * от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака – за 5 минут 1300 саженей. За какое время собака догонит зайца?
________________________________________________
* Сажень – мера в 3 аршина, в 12 четвертей, в 2 метра.
* Усмотреть – увидеть.
В наше время эта задача звучит так:
Собака увидела зайца в 300 метрах от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 1000 метров, а собака – за 5 минут 2600 метров. За какое время собака догонит зайца?
Решение:
1) 1000:2=500 (м) - заяц пробегает за 1 минуту.
2) 2600:5=520 (м) - собака пробегает за 1 минуту.
3) 520-500=20 (м) - собака пробегает за 1 минуту больше, чем заяц.
4) 300:20=15 (мин.) – за это время собака догонит зайца.
Ответ: собака догонит зайца за 15 минут.
Задача № 2
На мельнице имеется три жернова*. На первом из них за сутки можно смолоть 60 четвертей* зерна, на втором 54 четверти, а на третьем 48 четвертей. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна за наименьшее время на этих трёх жерновах. За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько на каждый жернов зерна насыпать?
___________________________
* Жернов – мельничный камень.
* Четверть – мера массы в 25 кг.
В наше время эта задача звучит так:
На мельнице имеется три жернова. На первом из них за сутки можно смолоть 1500 кг зерна, на втором 1350 кг, а на третьем 1200 кг. Некто хочет смолоть 2025 кг зерна за наименьшее время на этих трёх жерновах. За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько на каждый жернов зерна насыпать?
Решение:
1) 1500+1350+1200=4050 (кг) – мелят три жернова за сутки (24 часа).
2) 4050:2025=2 (раза) - меньше потребуется времени для перемалывания 2025 кг зерна.
3) 24:2=12 (час.) – понадобится, чтобы смолоть 2025 кг зерна.
4) 1500:2=750 (кг) – зерна надо насыпать на первый жернов.
5) 1350:2=675 (кг) – зерна надо насыпать на второй жернов.
6) 1200:2=600 (кг) – зерна надо насыпать на третий жернов.
Ответ: за 12 часов, 750 кг, 675 кг, 600 кг.
Задача №3
В жаркий день 6 косцов выпили кадь* кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такую же кадь кваса.
___________________________________________________________________
* Кадь – ёмкость цилиндрической формы, сделанная из деревянных клёпок (дощечек) и обтянутая металлическими или деревянными обручами
Решение:
1) Сколько косцов выпьют кадь за один час?
6х8 =48 (косцов)
2) Сколько косцов выпьют кадь за три часа?
48:3 =16 (косцов)
Ответ: 16 косцов выпьют кадь кваса за 3 часа.
Задача №4
Один человек выпивает кадь* кваса за 14 дней, а со женою выпьет ту же кадь за 10 дней. Ведательно есть*, в колико* дней жена его особно* выпьет ту же кадь?
_______________________
* Ведательно есть – надо узнать
* В колико – за сколько
* Особно – одна, самостоятельно
Решение:
1) Сколько кадей кваса выпьет человек за 140 дней?
140:14=10 (кадей)
2) Сколько кадей кваса выпьет человек за 140 дней в месте с женой?
140:10 =14 (кадей)
3) Сколько кадей выпьет жена самостоятельно за 140 дней?
14-10=4 (кади)
4) За сколько дней жена выпьет кадь кваса самостоятельно?
140:4=35 (дней)
Ответ: жена выпьет кадь кваса за 35 дней.
- Путешествия
Задача №1
Послан человек из Москвы на Вологду, и велено* ему в хождении* своем совершати* на всякий день* по 40 верст; потом другий* человек в другий день послан в след* его, и велено ему идти на день 45 верст, и ведательно есть*, в коликий* день постигнет второй первого.
__________________________________
* Велено – приказано
* В хождении своем совершати – пройти
* На всякий день – каждый день
* Верста – старинная русская единица измерения расстояния, равная 1 066 метрам
* Другий человек – другой человек
* Другий день – следующий день
* Вслед его – за ним
* Идти на день – проходить в день
* Ведательно есть – надо узнать
* В коликий день – в какой день
В наше время эта задача звучит так:
Один путешественник отправился в путь пешком из Москвы в Вологду. В день он проходил 40 км. Другой путешественник на следующий день отправился за ним и проходил в день 45 км. Спрашивается, через сколько дней второй путешественник догонит первого?
Решение:
1) На сколько верст в день второй человек проходит больше, чем первый?
45-40= 5 (верст)
2) Через сколько дней второй человек догонит первого?
40 : 5 = 8 (дней)
Ответ: второй человек догонит первого через 8 дней.
- Денежные расчеты
Задача №1
Некий* человек продаде* коня за 1000 рублев*, раскаявся* же купец нача отдавати продавцу глаголя*: яко несть мне лепо* взяти сицевого коня недостойного таковые высокие цены; продавец же предложи ему иную куплю глаголя: аще ти мнится велика цена сему коню бытии*, убо* купи токмо* гвоздие их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А гвоздей во всякой подкове по шести, и за один гвоздь даждь ми едину полушку, за другой же две полушки, а за третий копейку, и тако все гвозди купи. Купец же, видя толь малу цену и коня хотя в дар себе взяти, обещася* тако цену ему платити*, чая не больше 100 рублев за гвоздие дати. И ведательно есть*: коликим* купец он проторговался?
____________________________
* Некий – какой-то
* Продаде – продавал
* Рублев - рублей
* Раскаявся – сожалел, раскаялся
* Глаголя – говоря
* Несть лепо – плохо, нелепо, невыгодно
* Полушка – (пол уха куньего) самая маленькая монета, полденьги или четверть копейки
* Деньга – 2 полушки
* Копейка – 4 полушки, 2 деньги
В наше время эта задача звучит так:
Продавец продавал коня и просил за него 1000 рублей. Покупатель сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. «Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми себе его даром, а заплати только за одни гвозди в его подковах, а гвоздей в каждой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй гвоздь две полушки, а за третий гвоздь – копейку, и так далее за все гвозди. Покупатель, думая, что заплатит не более 100 рублей за гвозди, а коня возьмет даром, согласился. Спрашивается: выгодно ли приобрел покупатель коня? Если нет, то насколько?
Решение:
1) Сколько всего было гвоздей в подковах?
4х6 = 24 (гвоздя)
2) Сколько заплатил покупатель за каждый гвоздь?
- 1 (полушка)
- 1х2=2 (полушки)
- 2х2=4 (полушки)=1 (копейка)
- 1х2=2 (копейки)
- 2х2=4 (копейки)
- 4х2=8 (копеек)
- 8х2=16 (копеек)
- 16х2=32 (копейки)
- 32х2=64 (копейки)
- 64х2=128 (копеек)
- 128х2=256 (копеек)
- 256х2=512 (копейки)
- 512х2=1024 (копейки)
- 1024х2=2048 (копеек)
- 2048х2=4096 (копеек)
- 4096х2=8192 (копейки)
- 8192х2=16384 (копейки)
- 16384х2=32768 (копеек)
- 32768х2=65536 (копеек)
- 65536х2=131072 (копейки)
- 131072х2=262144 (копейки)
- 262144х2=524288 (копеек)
- 524288х2=1048576 (копеек)
- 1048576х2=2097152 (копейки)
3) Сколько полушек заплатил покупатель за первые 2 гвоздя?
1+2=3 (полушки)
4) Сколько заплатил покупатель за последующие гвозди (начиная с третьего)?
1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+4096+8192+16384+32768+
+65536+131072+262144+524288+1048576+2097152=4194303 (копейки) =
= 41943 рубля 3 копейки
5) Сколько заплатил покупатель за все гвозди?
41943 рубля 3 копейки +3 полушки = 41943 рубля 3 копейки 3 полушки
6) Сколько покупатель переплатил?
41943 рубля 3 копейки 3 полушки - 1000 рублей = 40943 рубля 3 копейки 3 полушки
Ответ: покупатель переплатил 40943 рубля 3 копейки 3 полушки
Задача №2
Некий человек нанял работника на год, обещав ему дать 12 рублёв* и кафтан*. Но тот, проработав 7 месяцев, восхотел* уйти и просил достойной платы с кафтаном. Он же (хозяин) дал ему по достоинству расчёт 5 рублёв и кафтан, и знать надлежит*, какой цены оный* кафтан был.
_______________________________
* Рублёв – рублей.
* Кафтан – мужская верхняя одежда.
* Восхотел – захотел.
* Знать надлежит – надо узнать.
* Оный – этот.
В наше время эта задача звучит так:
Один человек нанял работника на год, обещав ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот, проработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Он же (хозяин) дал ему по достоинству расчёт 5 рублей и кафтан, и надо узнать, сколько стоил этот кафтан.
Решение:
1) Работник не доработал у хозяина 5 месяцев и недополучил 7 рублей. Значит, его
месячная плата составляет
(7:5) рубля или 1 р.40 к.
2) Плата за 7 месяцев составит: 1р 40к х 7=9 р 80 к.
3) Но работник получил 5р и кафтан. Значит кафтан стоит 4 р 80 к
Ответ: 4 р 80 к стоил кафтан.
Задача №3
Некий торговец купил 112 баранов старых и молодых, дал 49 рублёв 20 алтын*. За старого
платил по 15 алтын и по 2 деньги*, а за молодого по10 алтын. И ведательно есть*, колико* старых и молодых баранов купил он.
_________________________________________________
* Алтын – денежная единица, соответствующая 3 копейкам.
* Деньга - денежная единица, соответствующая половине копейки.
* Ведательно есть – надо узнать, спрашивается.
* Колико – сколько.
В наше время эта задача звучит так:
Один торговец купил 112 баранов старых и молодых и заплатил за них 49 рублей 60 копеек. За каждого старого барана он платил 46 копеек, а за молодого - 30 копеек. И надо узнать, сколько старых и сколько молодых баранов он купил.
Решение:
1) На сколько старый баран дороже молодого?
46 – 30 = 16(коп.) – разница в цене.
2) Если бы торговец купил только молодых баранов, то за них он заплатил бы:
30х112 = 3360(коп.)
3) Поскольку за всех баранов заплатили 4960 копеек, то излишек (разница)
в 1600 (4960-3360) копеек пошел на оплату старых баранов.
4) Значит, старых баранов было куплено
1600 : 16 = 100 (штук)
5)Значит, молодых баранов было куплено:
112 – 100 = 12 (штук)
Ответ: 100 старых и 12 молодых баранов купил торговец.
Задача №4
Некий человек купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына* и 7 полушек* за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки.
Ведательно есть*, сколько стоят все гуси вместе?
______________________________
* Алтын – 3 копейки
* Рубль- 100 копеек
* Полушка – (пол уха куньего) самая маленькая монета, полденьги или четверть копейки
* Деньга – 2 полушки
* Копейка – 4 полушки, 2 деньги
Решение:
1) Сколько полушек заплатили за каждого гуся из первой половины?
2х3х4 +7= 31 (полушка)
2) Сколько полушек заплатили за каждого гуся из второй половины?
2х3х4 -1= 23 (полушки)
3) Сколько гусей составляют половину всех гусей?
96:2=48 (гусей)
4) Сколько полушек заплатили за первую половину гусей?
31х48=1488 (полушек)
5) Сколько полушек заплатили за вторую половину гусей?
23х48=1104 (полушки)
6) Сколько полушек заплатили за всех гусей вместе?
1488+1104=2592 (полушек)
7) Сколько рублей и копеек заплатили за всех гусей вместе?
2592:4 = 648 (копеек)= 6 рублей 48 копеек
Ответ: за гусей заплатили 6 рублей 48 копеек
- Занимательные задачи
Задача №1 Как узнать день недели?
Перенумеровав дни недели, начиная с понедельника, по порядку с 1 до 7, предложите кому-нибудь загадать некоторый день недели. Затем предложите порядковый номер задуманного дня увеличить в 2 раза и к этому произведению прибавить 5. Полученную сумму предложите умножить на 5, а затем на 10. По объявленному результату вы называете тот день недели, который был загадан.
Решение:
надо из первой цифры объявленного результата вычесть 2, а остаток укажет номер задуманного дня недели.
Задача №2 «Способ к твержению* таблицы по перстам* ручным»
_______________________________
* Твержение – заучивание наизусть
* Перст - палец
А вот еще один из способов помочь памяти с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9: положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы так:
- Первый палец слева – цифрой 1
- Второй - 2
- Третий – 3…
- Десятый – 10
Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая руками, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается 9; тогда число пальцев, лежащих слева от поднятого пальца – это число десятков, а справа – число единиц полученного произведения.
Задача №3
Человек купил трех коз и заплатил 3 рубля. Спрашивается: по чему пошла коза?
Ответ: коза пошла по земле
Задача №4
Как можно одним мешком пшеницы, смоловши ее, наполнить 2 мешка, которые столь же велики, как и мешок, в котором находится пшеница?
Ответ:
Вложить один мешок в другой
Задача №5
Разделить полтину* на половину.
____________________
* Полтина – 50 копеек
Половина – ½
1) 50 : ½= 100 (копеек )= 1 (рубль)_
Ответ: 1 рубль
Задача №6 Что это такое?
Две ноги сидели на трех, а когда пришли четыре и утащили одну, то две ноги схватив три, бросили их в четыре, чтобы четыре оставили одну?
Ответ: человек сидел на стуле, имеющем три ножки, пришла собака (кошка) и утащила куриную ногу, человек бросил стул в собаку, чтобы та оставила куриную ногу.
С условием этой задачи перекликается шуточное стихотворение-загадка Корнея Чуковского:
Две ноги на трех ногах,
А четвертая в зубах.
Вдруг четыре прибежали
И с одною убежали.
Подскочили две ноги,
Ухватили три ноги,
Закричали на весь дом, -
Да тремя по четырем!
Но четыре завизжали
И с одною убежали.
Задача №8
Шли семь старцев*.
У каждого старца по семи костылей,
На всяком костыле по семи сучков,
На каждом сучке по семи кошелей*,
В каждом кошеле по семи пирогов,
На каждом пироге по семи воробьёв.
Сколько всего?
____________________________________
* Старцы – старики
* Кошели – сумки, мешки.
В наше время эта задача звучит так:
Шли семь стариков.
У каждого старика по семи костылей,
На каждом костыле по семи сучков,
На каждом сучке по семи мешков,
В каждом мешке по семи пирогов,
На каждом пироге по семи воробьёв.
Сколько всего предметов было у старцев?
Решение:
1) 7х7=49 (к.) – столько костылей у семи старцев.
2) 49х7=343 (с.) – столько сучков на семи костылях.
3) 343х7=2401 (м.) – столько мешков на семи сучках.
4) 2401х7=16807 (п.) – столько пирогов в семи мешках.
5) 16807х7=117649 (в.) – столько воробьев на семи пирогах.
6) 49+343+2401+16807+117649=137249 (предметов) – у семи старцев.
Ответ:137249 предметов было всего у стариков.
Заключение
Проделав работу, я познакомилась с текстами старинных математических задач из «Арифметики» Магницкого и поняла, что прежде, чем решать подобные задачи, нам необходимо перевести много старинных слов на современный язык. В условиях задач мне встретились слова: «некий», «ведательно есть», «в коликий день», «лепо», «глаголя», «раскаявся», «особно», «в колико» и др., толкование которых мне пришлось искать в словаре живого великорусского языка В.И.Даля. Также я узнала старые меры длины (пядь, пядень, локоть, верста путевая, сажень, аршин, четверть,; веса (пуд, золотник, фунт), объема (четверть, кадь), денег (деньга, полушка, копейка, алтын) и их соответствие современным мерам. Я увидела, что в этом старинном учебнике большое внимание уделялось занимательным задачам, которым Л.Ф.Магницкий посвятил целый раздел под названием «О утешных неких действах чрез арифметику употребляемых». В то время считалось, что занимательность облегчает ученье, ведь все дети любят игру. Мне бы тоже хотелось, чтобы в наших учебниках математики было больше задач с занимательным содержанием, интересными способами решения, математических игр и головоломок. Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащают опыт мыслительной деятельности , но и позволяют осваивать важное культурно-историческое наследие человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний (связанный с предметом), а не внешний (связанный с отметками, поощрениями и т.п.) стимул к поиску решений задач и изучению математики.
Литература
1.. Даль В.И. Толковый Словарь Живого Великорусского Языка.- М., 1998 г.
2. Магницкий Л.Ф. Арифметика, сиречь наука числительная… -М., 1703 г.
3. Олехник С.Н. Старинные занимательные задачи.- М., 1985 г.
- Школьная энциклопедия. Математика., под ред. С.М. Никольского., М., Научное издательство., БРЭ., 1996.
Два морехода
Красочные картины Джастина Геффри
Как Снегурочке раскатать тесто?
Лиса-охотница
Эта весёлая планета