Теория вероятностей
теория вероятностей
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 teoriya_veroyatnostey.ppt | 1.51 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ: Вероятность Вероятностное пространство Случайная величина Локальная теорема Муавра — Лапласа Функция распределения Математическое ожидание Дисперсия случайной величины Независимость Условная вероятность Закон больших чисел Центральная предельная теорема ИСТОРИЯ «ВЕРОЯТНИСТНИКИ»: Якоб Бернули Томас Байес Феликс Эдуард Жустин Эмиль Борель Пьер Симон Лаплас Сергей Натанович Бернщтейн Андрей Николаевич Колмогоров ЗАДАЧИ ПАРАДОКСЫ
ИСТОРИЯ Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку . Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.
Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли : он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов . В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым . В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.
Якоб Бернулли Jakob Bernoulli Дата рождения : 27 декабря 1654 Место рождения : Базель Якоб Бернулли опубликовал доказательство задачи о форме кривой средствами нового анализа, выведя и проинтегрировав дифференциальное уравнение. При этом впервые появился в печати термин «интеграл». Он внёс огромный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождение вариационного исчисления . Его именем названа лемниската Бернулли . Он исследовал также циклоиду, цепную линию , и особенно логарифмическую спираль.
Томас Байес Reverend Thomas Bayes Дата рождения : 1702 год Место рождения : Лондон Он сформулировал и решил одну из основных задач теории вероятности - теорема Байеса (1763 г). Формула Байеса , дающая возможность оценить вероятность событий эмпирическим путём, играет важную роль в современной математической статистике и теории вероятностей. Другая крупная его работа — «Очерки к решению проблемы доктрины шансов». Используется терминология: байесовская вероятность, байесовская сети доверия, байесовская оценка решения , и т. п.
Феликс Эдуард Жустин Эмиль Борель Félix Edouard Justin Émile Borel Дата рождения : 7 января 1871 Место рождения : Франция Вместе с Рене Бэром и Анри Лебегом был одним из основоположников теории меры и её приложений в теории вероятности. Основные результаты, носящие имя Бореля: Принцип Бореля — Лебега, Лемма Бореля Кантелли, Лемма Бореля, Парадокс Бореля — Колмогорова, Мера Бореля, Алгебра Бореля, Теорема Бореля — Каратеодори, Теорема Гейне — Бореля, Свойство Гейне — Бореля, Сумма Бореля, Преобразование Бореля
Пьер-Симо́н Лапла́с Pierre-Simon Laplace Дата рождения : 23 марта 1749 Место рождения : Бомон, Кальвадос Лаплас расширил и систематизировал математический фундамент теории вероятностей, ввёл производящие функции. Первая книга «Аналитической теории вероятностей» посвящена математическим основам; собственно теория вероятностей начинается во второй книге, в применении к дискретным случайным величинам. Там же — доказательство предельных теорем Муавра—Лапласа и приложения к математической обработке наблюдений, статистике народонаселения и «нравственным наукам».
Сергей Натанович Бернштейн Дата рождения : 22 февраля 1880 Место рождения : Одесса, Рос. Империя В теории вероятностей Бернштейном предложена первая (1917) аксиоматика. Продолжены исследования петербургской школы Чебышева — Маркова по предельным теоремам . Разработана теория слабозависимых случайных величин ; Исследованы стохастические дифференциальные уравнения и указан ряд применений вероятностных методов в физике, статистике и биологии.
Андрей Николаевич Колмогоров Дата рождения : 12 (25) апреля 1903 Место рождения : Тамбов, Рос. Империя Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации , предложенной Андреем Николаевичем в 1929 г. и окончательно в 1933 г. в работе — Основные понятия теории вероятностей . А. Н. Колмогоров по существу заложил фундамент современной теории вероятностей , основанной на теории меры .
ВЕРОЯТНОСТЬ Вероя́тность (вероятностная мера) — численная мера степени объективной возможности наступления случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель — число всех равновозможных случаев. Вероятность — мера, заданная на измеримом пространстве (Ω,X): 1. 2. 3. обладает свойством сигма - аддитивности (счетной аддитивности) Вероятность в математике Математически классическая (т.е. неквантовая) вероятность задаётся аксиоматикой Колмогорова как мера на вероятностном пространстве, причём мера всего пространства равна единице. При этом случайные события определяются как измеримые подмножества этого пространства.
ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины. Вероятностное пространство — это тройка , где — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками; — сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями; — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма - аддитивная конечная мера, такая что .
ЗАМЕЧАНИЯ Элементарные события (элементы ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один; Каждое случайное событие (элемент ) — это подмножество . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие , если (элементарный) исход эксперимента является элементом A. Требование, что является сигма - алгеброй подмножеств , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.
КОНЕЧНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть — конечное множество, содержащее элементов. В качестве сигма - алгебры удобно взять семейство всех подмножеств . Его часто символически обозначают . Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно , что объясняет обозначение. Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является: где , и - число элементарных исходов, принадлежащих. В частности, вероятность любого элементарного события:
ПРИМЕР Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Тогда естественным способом задать вероятностное пространство будет взять и определить вероятность следующим образом:
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать. Формальное математическое определение следующее: пусть — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на . Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением. Случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на .
ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА - ЛАПЛАСА Теорема Муавра — Лапласа - одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812. Если при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события Е равна р (0<р<1) и m - число испытаний, в которых Е фактически наступает, то вероятность неравенства близка (при больших n ) к значению интеграла Лапласа. Формулировка: Если в схеме Бернулли n стремится к бесконечности, p (0 < p < 1) постоянно, величина ограничена равномерно по m и n , то где , c > 0, c - постоянная.
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Кумуляти́вная фу́нкция распределе́ния (или просто функция распределения) в теории вероятностей однозначно задаёт распределение случайной величины или случайного вектора. Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина X с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины X называется функция , задаваемая формулой:
СВОЙСТВА: FX непрерывна справа: FX не убывает на всей числовой прямой. . . . Распределение случайной величины однозначно определяет функцию распределения. Верно и обратное: если функция F(x) удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что F(x) является её функцией распределения. По определению непрерывности справа, функция FX имеет правый предел FX(x + ) в любой точке , и он совпадает со значением функции FX(x) в этой точке. В силу неубывания, функция FX также имеет и левый предел FX(x − ) в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция FX либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ Математи́ческое ожида́ние — мера среднего значения случайной величины в теории вероятностей. В зарубежной литературе обозначается через (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской M[X] (возможно, от англ. Mean value). В статистике часто используют обозначение μ. Пусть задано вероятностное пространство ( ) и определённая на нём случайная величина X. То есть, по определению, — измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от X по пространству Ω, то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается M[X] или .
ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения. Из неравенства Чебышёва следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/k². Так, например, как минимум в 75% случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89% — не более чем на три.
Пусть Х — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда где символ M обозначает математическое ожидание. ЗАМЕЧАНИЯ: В силу линейности математического ожидания справедлива формула: Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины; Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши. Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов U(t): Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
НЕЗАВИСИМОСТЬ В теории вероятностей два случайных события называются независимыми , если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные величины называют независимыми , если значение одной из них не влияет на вероятность значений другой. Будем считать, что дано фиксированное вероятностное пространство Определение 1. Два события независимы, если Замечание 1. В том случае, если вероятность одного события, скажем B ненулевая, то есть , определение независимости эквивалентно: то есть условная вероятность события А при условии В равна безусловной вероятности события А .
Определение 2. П усть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий , I где — произвольное индексное множество. Тогда эти события попарно независимы, если любые два события из этого семейства независимы, то есть Определение 3. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий .Тогда эти события совместно независимы, если для любого конечного набора этих событий . верно: Замечание 2. Cовместная независимость, очевидно, влечет попарную независимость. Обратное, вообще говоря, неверно. Пример 1. Пусть брошены три уравновешенные монеты. Определим события следующим образом: : А 1 монеты 1 и 2 упали одной и той же стороной; : А 2 монеты 2 и 3 упали одной и той же стороной; : А 3 монеты 1 и 3 упали одной и той же стороной; Легко проверить, что любые два события из этого набора независимы. Все же три в совокупности зависимы, ибо зная, например, что события А 1, А 2 произошли, мы знаем точно, что А 3 также произошло.
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло. Пусть — фиксированное вероятностное пространство. Пусть суть два случайных события, причём . Тогда условной вероятностью события A при условии события B называется Замечания Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий ровно: Если , то изложенное определение условной вероятности неприменимо. Условная вероятность является вероятностью, то есть функция, заданная формулой , удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Зако́н больши́х чи́сел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел , когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел , когда имеет место сходимость почти всюду. Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. На этом свойстве основаны методы оценки вероятности на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей.
Слабый закон больших чисел Пусть есть бесконечная последовательность одинаково распределённых и некоррелированных случайных величин , определённых на одном вероятностном пространстве . То есть их ковариация . Пусть . Обозначим S n выборочное среднее первых n членов: Тогда
Усиленный закон больших чисел Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин , определённых на одном вероятностном пространстве . Пусть . Обозначим S n выборочное среднее первых n членов: Тогда почти наверное.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц.П.Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма большого количества слабозависимых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному. Так как многие случайные величины в приложениях являются суммами нескольких случайных факторов, центральные предельные теоремы обосновывают популярность нормального распределения.
Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние μ и σ2, соответственно. Пусть . Тогда по распределению при , где N (0,1) — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Обозначив символом выборочное среднее первых n величин, то есть , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде: по распределению при .
ПАРАДОКСЫ Парадокс игры в кости. Парадокс де Мере. Парадокс раздела ставки Парадокс лотереи (типа спортлото) Парадокс независимости Парадокс закона больших чисел Бернулли.
Парадокс игры в кости. Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1,2,3,4,5 или 6. (Сумма очков на противоположных гранях равна 7, т.е. падение на 1 означает выпадение 6 и т.д.) В случае бросания 2х костей сума выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 можно получить двумя разными способами:9=3+6=4+5 и10=4+6=5+5. В задаче с трем костями и 9 и 10 получаются шестью способами. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10, когда бросают три?
Парадокс де Мере. При четырех бросаниях одной игральной кости вероятность того, что по крайней мере один раз выпадет 1, больше 1/2. В то же время при 24 бросаниях двух костей вероятность выпадения двух единиц одновременно (по крайней мере однажды) меньше 1/2. Это кажется удивительным, так как шансы получить одну 1 в шесть раз больше, чем шансы выпадения двух 1, а 24 как раз в 6 раз больше 4. Объяснение . Если правильную кость бросают k раз, то число возможных (и равномерных исходов) равно 6k . В 5k случаях из этих 6k кость не ляжет на 6 , и, следовательно, вероятнось выпадения по крайней мере один раз 1 при k бросаниях равна (6k-5k)/6k=1-(5/6)k что больше 1/2 , если k=4. С другой стороны, величина 1-(35/36)k , которая получается аналогично, все еще меньше 1/2 для k=24 и превосходит 1/2 начиная с k=25 .
Парадокс раздела ставки Два игрока играют в безобидную игру (то есть шансы на выигрыш одинаковы) и они договорились, что то, кто первым выиграет 6 партий, получит весь приз. Предположим, что на самом деле игра остановилась, до того, как один из них выиграл приз (например, первый игрок выиграл 5 партий, второй - 3). Как справедливо следует разделить приз? Большинство математиков (16-17в) считали, что в отношении 5:3, Тарталья считал, что 2:1, хотя Паскаль и Ферма установили, что 7:1. Кто из них прав?
Парадокс независимости. Предположим, что бросают две правильные монеты. Пусть событие А - "на первой монете выпал герб", событие В - "на второй монете выпал герб" и событие С - "на одной (и только на одной) монете выпал герб". Тогда события А,В и С попарно независимы, но любые два из них однозначно определяют третье.
Парадокс лотереи (типа спортлото) Большинство участников лотерей (в которых выигрыш распределяется между всеми победителями как в спортлото) обычно не ставят на "слишком симметричные" комбинации, хотя все комбинации равновозможны. Причина этого проста. Игроки по опыту знают, что, как правило, выигрывают не симметричные комбинации. В действительности выгоднее ставить на наиболее симметричные комбинации именно потому, что…. Почему?
Парадокс закона больших чисел Бернулли. Отношение выпадений герба или решки к общему числу попыток при большом числе бросаний стремится к 1/2. Некоторые игроки уверены, что при серии выпаданий орлов увеличивается вероятность выпадения решки. И в то же время у монет нет памяти, они не знают предыдущие броски и каждый раз вероятность выпадения орла или решки равна 1/2. Даже сли перед этим выпадали 1000 гербов подряд. Не противоречит ли это закону Бернулли?
ЗАДАЧИ КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛАПЛАСА ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ, УМНОЖЕНИЯ ФОРМУЛА БЕРНУЛИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ - ЗАДАЧА 1 Какова вероятность Вашей встречи с другом, если вы договорились встретиться в определенном месте, с 12.00 до 13.00 часов и ждете друг друга в течение 5 минут? РЕШЕНИЕ: Обозначим за х и у время прихода, 0 ≤ х, у ≤ 60 (минут). В прямоугольной системе координат этому условию удовлетворяют точки, лежащие внутри квадрата ОАВС. Друзья встретятся, если между моментами их прихода пройдет не более 5 минут, то есть y - x < 5, y >0, x - y < 5, x > y. Этим неравенствам удовлетворяют точки, лежащие в области G, очерченной красным. Тогда вероятность встречи равна отношению площадей области G и квадрата, то есть Ответ: 0,16
ЗАДАЧА 2 В прямоугольник 5*4 см 2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга? РЕШЕНИЕ: По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т.е. Ответ : 0,353
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ - ЗАДАЧА 1 Абонент забыл последние 2 цифры телефонного номера, но помнит, что они различны и образуют двузначное число, меньшее 30. С учетом этого он набирает наугад 2 цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные цифры. РЕШЕНИЕ: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где n - число всех возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события. m = 1, так как только одно число правильное. Подсчитаем количество всех возможных двузначных чисел с разными цифрами, меньшее 30, которые может набрать абонент: 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 25 26 27 28 29 Таких чисел n = 18 штук. Тогда искомая вероятность P = 1/18. Ответ : 1/18
ЗАДАЧА 2 На шахматную доску случайным образом поставлены две ладьи. Какова вероятность, что они не будут бить одна другую? РЕШЕНИЕ: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов. Число всех способов расставить ладьи равно n = 64*63 (первую ладью ставим на любую из 64 клеток, а вторую - на любую из оставшихся 63 клеток). Число способов расставить ладьи так, что они не будут бить одна другую равно m = 64*(64-15) = 64*49. Тогда искомая вероятность P=(64*49)/(64*63)=49/63. Ответ : 49/63
ЗАДАЧА 3 Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые. РЕШЕНИЕ: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов. m = 6, так как есть только три случая расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы во всех ящиках оказалось разное число шаров: (1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (3, 1, 2). Всего случаев расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы ни один ящик не остался пустым равно Тогда искомая вероятность P= 6/10. Ответ : 6/10
ЗАДАЧА 4 На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: "а", "м", "р", "т", "ю". Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной карточке можно прочесть слово "юрта". РЕШЕНИЕ: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов. n = 5*4*3*2 = 120 способов, так как первую карточку (букву) можно вытянуть (выбрать) 5 способами (так как всего карточек пять), вторую - 4 (осталось к этому шагу четыре), третью - 3 и четвертую - 2 способами. m = 1, так как искомая последовательность карточек "ю", потом "р", потом "т", потом "а" только одна. Получаем P = 1/120. Ответ : 1/120
ЗАДАЧА 5 Ребенок имеет на руках 5 кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла"? РЕШЕНИЕ: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где n - число всех возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события. Число различных перестановок из букв А, К, К, Л, У равно , из них только одна соответствует слову "кукла" (m=1), поэтому по классическому определению вероятности вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла" равна P=1/60. Ответ : 1/60
ЗАДАЧА 6 Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) четное; б) двузначное. РЕШЕНИЕ: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где n - число всех возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события. Случай а). n = 9, так как всего 9 различных карточек. m = 4, так как всего на 4 карточках написаны четные числа (2, 4, 6, 8). Тогда P=4/9. Случай б). n = 9, так как всего 9 различных карточек. m = 0, так как на всех карточках написаны однозначные числа. Тогда P=0/9=0. Ответ : 4/9, 0
ЗАДАЧА 7 Шесть рукописей случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность того, что ровно одна папка останется пустой? РЕШЕНИЕ: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов. Подсчитаем - число различных способов разложить 6 рукописей по 5 папкам, причем в каждой папке может быть любое количество рукописей. Теперь подсчитаем - число способов разложить 6 рукописей по 4 папкам, причем в каждой папке должно быть не менее одной рукописи. При этом нужно полученное число сочетаний умножить на 5, так как папку, которая останется пустой, можно выбрать 5 способами. Искомая вероятность Р=50/210=5/21. Ответ : 5/21.
ЗАДАЧА 8 На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом. РЕШЕНИЕ: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где n - число всех возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события (Тома стоят в порядке возвозрастания номера слева направо, но не обязательно рядом). n = 40*39*38, так как первый том можно поставить на любое из 40 мест, второй - на любое из 39 мест и третий - на любое из оставшихся 38 мест. Тогда искомая вероятность Ответ : 1/6
ТЕОРЕМЫ ЛАПЛАСА - ЗАДАЧА 1 Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна р. Найти вероятность, что за смену откажут m элементов. р= 0,024, m=6. РЕШЕНИЕ: Используем локальную теорему Лапласа: Здесь n=1000, k =6, p=0,024, q= 1-p = 0,976, значения функции берутся из таблицы. Подставляем: Ответ : 0,000084
ЗАДАЧА 2 Найти вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет от 90 до 110 раз. РЕШЕНИЕ: Имеем схему Бернулли с параметрами n = 200, p = q = 1/2 (вероятность выпадения орла/решки). Так как число n достаточно велико, будем использовать интегральную теорему Лапласа для подсчета вероятности: , где m1 =90, m2 = 110, Ф - функция Лапласа (значения берутся из таблиц). Подставляем: Ответ : 0,8414
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ, УМНОЖЕНИЯ - ЗАДАЧА 1 Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор. РЕШЕНИЕ: Введем независимые события: А1 = (при аварии сработает первый сигнализатор); А2 = (при аварии сработает второй сигнализатор); по условию задачи P(A1)=0,95, P(A2)=0,9. Введем событие Х = (при аварии сработает только один сигнализатор). Это событие произойдет, если при аварии сработает первый сигнализатор и не сработает второй, или если при аварии сработает второй сигнализатор и не сработает первый, то есть Тогда вероятность события Х по теоремам сложения и умножения вероятностей равна Ответ : 0,14
ЗАДАЧА 2 Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле. РЕШЕНИЕ: Пусть - вероятность попадания в цель при одном выстреле. Введем событие X = {при четырех выстрелах есть хотя бы одно попадание} и противоположное ему событие = {при четырех выстрелах нет ни одного попадания}. Вероятность события равна , тогда вероятность события Х равна . По условию эта вероятность равна 0,9984, откуда получаем уравнение относительно Ответ : 0,8
ФОРМУЛА БЕРНУЛИ - ЗАДАЧА 1 Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5? РЕШЕНИЕ: Наивероятнейшее число побед k определяется из формулы Здесь p =1/3 (вероятность победы), q = 2/3 (вероятность проигрыша), n - неизвестное число партий. Подставляя данные значения, получаем: Получаем, что n = 15, 16 или 17. Ответ : 15,16,17
ЗАДАЧА 2 Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают m аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных. n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.. РЕШЕНИЕ: Имеем схему Бернулли с параметрами p=7/100=0,07 (вероятность того, что аккумулятор выйдет из строя), n = 5 (число испытаний), k = 5-3 =2 (число «успехов», неисправных аккумуляторов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что в n испытаниях событие произойдет k раз). Получаем Ответ : 0,0394
Всему свой срок
Этот древний-древний-древний мир!
Как нарисовать лимон акварелью
Зимняя сказка
Волшебная фортепианная музыка