Математическое исследование. Знаменитая задача древности «Квадратура круга»

МОУ СОШ №2 имени А.С. Пушкина

Математическое исследование

Знаменитая задача древности «Квадратура круга»

Автор работы:

Ученица 11 класса

Трофимова Ксения

Руководитель:

Трофимова Т.Б.

учитель математики

2014 г.

Содержание

Введение.

1. Первые способы решения квадратуры круга в Древней Греции.

2. Попытка решить задачу о квадратуре круга.

3. Решение задачи о квадратуре круга при помощи вспомогательных средств.

Заключение.

Список использованной литературы.

Приложения.

Введение

Тема математического исследования очень важна и интересна как  для меня, так и для общества в целом, так как поможет расширить знания и умения в области математики, а так же предоставит возможность глубокого изучения литературы, посвященной этому вопросу.

С глубокой древности известна задача «квадратура круга» - самая старая из всех математических задач. Она сыграла особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что  задачу невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи — «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители математики — среди них знаменитая задача древности особенно популярна. Задача кажется доступной любому: вводит в заблуждение ее простая формулировка. До сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма, авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно излагают решение знаменитой задачи с помощью циркуля и линейки. Это обстоятельство обусловливает актуальность данной работы.

Цель работы: выяснить, возможно ли решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки. Достижение поставленной цели осуществлялось в ходе решения следующих задач:

- изучение теории посвященной данной проблематике;

- разработка собственного решения задачи о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки и проведение анализа;

Объектом исследования: задача о квадратуре круга.

Предмет исследования: неразрешимость задачи о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки.

Методы исследования:

- графическое построение;

Структура и объем работы. Математическое исследование состоит из введения, 3 глав, заключения, списка используемой литературы и приложения. Содержание работы изложено на 9 страницах, включая 10 рисунков и список литературы из 7 наименований.

1.Первые способы решения квадратуры круга в Древней Греции

 «Из всех математических задач, в течение веков занимавших человечество, ни одна не пользовалась такой известностью, как задача о квадратуре круга. Это самая древняя из всех математических задач, ибо история ее охватывает четыре тысячелетия, столько же, сколько история человеческой культуры.»^[1]

 «Следы попыток решения задачи о вычислении площади круга и длины окружности мы находим в Древней Греции. Здесь эта задача приобрела теоритический характер, а также были разработаны многие методы точного и приближенного ее решения.»^[2]

«В задаче о квадратуре круга требуется построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу. По свидетельству древнегреческого историка Плутарха, философ Анаксагор, коротая время в тюрьме, пытался квадрировать круг, т. е. превратить его в равновеликий квадрат. Если считать радиус данного круга равным 1, то сторона искомого квадрата должна составить √п. Но как он это делал науке не известно: его труды не сохранились, и нет никаких подробностей об этом у древних писателей.»^[3]

«О попытках Антифона, Бризона и Гиппократа решить эту задачу имеются более полные сведения.

В «Истории геометрии» Евдем так описывал попытку Антифона (5в. до н.э.)  сквадрировать круг: «Начертив круг, он вписал в него такой правильный многоугольник, который мы умеем вписать. Пусть это будет квадрат. Потом он разделил каждую сторону квадрата пополам и через точки деления провел прямые, перпендикулярные к сторонам до пересечения с окружностью. Очевидно, они делят сегменты круга на две равные части (см. Приложения рис.1). Затем он соединил полученные точки с концами сторон квадрата так, что получились четыре треугольника и вся, образовавшаяся фигура стала правильным восьмиугольником…»

Продолжая дальше этот процесс, Антифон получил 16-угольник,32-угольник и т.д. « Поступает он так, - продолжает Евдем, - пока не исчерпает весь круг. И Антифон заключает, что таким образом будет вписан многоугольник, периметр которого можно рассматривать как длину окружности». Следовательно, Антифон считал, что можно получить многоугольник равновеликий кругу. В то время было известно, что любой многоугольник можно преобразовать в равновеликий квадрат, то вполне возможно, что Антифон думал, что ему удалось найти квадратуру круга с помощью циркуля и линейки.

Пифагориец Бризон ( 5 в. до н.э.) при решении задачи о квадратуре круга не только вписывал в круг, но и описывал около него соответствующие правильные многоугольники (см. Приложения рис.2). Справедливо считая, что площадь круга больше площади вписанного и меньше площади описанного n-угольника, он, однако, ошибочно утверждал, что площадь круга (Sкр) есть среднее арифметическое площади вписанного n-угольника (Sn)  и описанного n-угольника (Sn’), т.е.

Антифон и Бризон, предложив свои способы квадратуры круга, не дали доказательства справедливости своих утверждений, а в дальнейшем они подверглись критике.

Надежды «квадратурщиков» подогревались существованием криволинейных фигур, квадратируемых циркулем и линейкой. Гиппократ Хиосский нашел одну из таких фигур, известную как «луночки Гиппократа». Евдем и комментатор Аристотеля Симпликий (6в. н.э) утверждают, что Гиппократ Хиосский нашел три случая квадрируемых круговых луночек. Симпликий со ссылкой на «историю геометрии» Евдема писал: «Сначала он рассмотрел луночку, внешний обвод которой составляет полуокружность..(см. Приложения рис.3) после этого он начал разбирать случай, когда внешний обвод был больше полукруга (см. Приложения рис.4)…, а затем рассмотрел сегмент меньше полукруга (см. Приложения рис.5)..»Так Гиппократ Хиосский впервые в истории нашей науки показал возможность квадратуры криволинейных фигур циркулем и линейкой. Это был важный шаг в развитии математики. Но это не помогло ему решить саму исходную задачу.»^[4] 

«Было предложено множество построений. В лучшем случае они давали приближенное значение п с достаточно хорошей точностью (см. Приложения рис. 6). Авторы таких построений часто не сомневались в их абсолютной точности и горячо отстаивали свои заблуждения.

В 1882 году немецкий математик Фердинанд Линдеман доказал, что число п трансцендентно, т.е. не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Так он поставил точку в проблеме разрешимости посредством циркуля и линейки задачи древности о квадратуре круга. »^[5]

«Доказательство неразрешимости какой-либо задачи рассматривается в математике как своего рода решение проблемы, потому что такое утверждение дает вполне исчерпывающий ответ на поставленный вопрос. В этом смысле доказательство Линдемана можно считать решением задачи о квадратуре круга, решением, полагающим конец двухтысячелетней работе над этой проблемой.»^[6]

2.Попытка решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки.

«Продолжают искать другого решения задачи, только любители. «Таких искателей - писал еще в 18-м столетии математик Ламберт - всегда будет достаточно…»»^[7] 

Ламберт был прав: попытки решить задачу с помощью циркуля и линейки не прекратились и после того, как была доказана их неразрешимость. Фанатиков никакие доказательства не интересуют. Также и я как многие искатели попробую решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки.

Вспомним еще раз формулировку задачи: требуется построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу.

Дано: окружность с центром в точке О, R=4см;

Доказать: Sокружности=SABCD

Доказательство:

1.Построим окружность R=4см.

2.Отступим 5мм от краев окружности, проведем прямые, так что бы получился квадрат ABCD.

3.По рисунку (см. Приложения. рис.7) видно, что если круговой сегмент –N будет равен, сегменту M, то окружность будет равна квадратуABCD.

4.Найдем площадь сегмента - N по формуле(1): SN    SΔ,

где α — градусная мера центрального угла, SΔ — площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор; Знак «−» надо брать, когда α<180°, а знак «+», α>180°.

а) Найдем SΔ по формуле(2): SΔA1OB1=(A1B1OH),

где OH-высота ΔA1OB1; А1В1- основание ΔA1OB1;

SΔA1OB1=(3.43.55) = 6.035см2

б) Подставим полученные значения в формулу (1): где

SN=2

5. Найдем  площадь сегмента-M по формуле(3): SM = SA1AD1сектора M1

а)SA1AD1 =, где A1D1-основание ΔA1AD1, AH1-высота ΔA1AD1;        

SA1AD1=1.38 см2

б) Найдем площадь сектора – M1(см. Приложения рис. 8.) по формуле(4): Sсектора M1= SΔ, где  

SΔA1OD1 =, где A1D1-основание ΔA1OD1, OH1-высота ΔA1OD1;

SΔA1OD1=см2

Подставим значения в формулу (4):

Sсектора M1414.371.3517777796 см2        

Подставляем значения в формулу(3):

SM

6. Сегменты SM SN. Разница между SN и SM равна:

SNSM1.22188889121.1936666708см2

Значит SABCD Sокружности.

Проведя еще несколько возможных вариантов решения (вместо 5 мм, 4мм и 6 мм), я остановилась на выше изложенной версии, так как считаю ее наиболее оптимальным решением.

В результате проделанных мной вычислений, я убедилась в том, что древняя задача о квадратуре круга не разрешима с помощью циркуля и линейки.

3. Решение задачи о квадратуре круга при помощи вспомогательных средств

Решение Динострата при помощи квадратрисы

«Известно, что задача о квадратуре круга неразрешима с помощью циркуля и линейки. Однако задача о квадратуре круга становится вполне разрешимой, если специально для нее расширить средства построения. Это знали еще древние греки. Они знали, что квадратура круга будет вполне разрешимой, если в процессе построения воспользоваться некоторыми специальными кривыми. Первое такое решение задачи о квадратуре круга  еще в 4 в. до н.э. выполнил Динострат (древнегреческий математик, член Платоновской Академии, ученик Евдокса.). Он при своем решении воспользовался квадратрисой.

«Квадратриса — плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Была предложена в античные времена для решения задачи квадратуры круга.

Рассмотрим квадрат ABCD, в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка E равномерно движется по дуге от точки D до точки B; одновременно отрезок A'B' равномерно движется из положения DC в положение AB. Наконец, потребуем, чтобы оба движения закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса AE и отрезка A'B' опишет квадратрису (см. Приложения рис. 9, выделена красным цветом)»^[8]

Суть решения Динострата заключается в следующем:

Пусть ANB-четверть окружности, расположенной в квадранте AOB, а AMC- квадратриса этого квадранта (см. Приложения рис. 10). Далее Динострат воспользовался соотношением, которое позднее было доказано Паппом Александрийским: ANB:OBOB:OC, где С-конечная точка квадратрисы. Поскольку OAOBR, то ANB:RR:OC, или . Откуда длина окружности радиуса R равняется . Таким образом, длина окружности определена. Чтобы построить квадрат, равновеликий кругу, Динострат, по-видимому, воспользовался теоремой: площадь круга равна площади треугольника, основание которого равно окружности, а высота - радиусу круга.»^[9]

Заключение

Изучив теоритический материал, посвященный данной теме и проанализировав полученный результат собственного решения, я выяснила, что знаменитую задачу древности о квадратуре круга невозможно решить при помощи циркуля и линейки, только с помощью вспомогательных средств. Попытки древнегреческих ученых решить задачу о квадратуре круга путем проведения прямых и окружностей так и не увенчались успехом. Окончательный удар всем иллюзиям решить эту задачу был нанесен в конце 19в. Ф.Линдеманом. Его заслуга заключается в том, что он впервые в мировой науке окончательно установил невозможность решения задачи. Вот почему Ф.Линдемана называют «победителем задачи о квадратуре круга». Математическое доказательство невозможности квадратуры круга не мешало многим энтузиастам тратить годы на решение этой проблемы. Безрезультатность  исследований по решению задачи квадратуры круга перенесла этот оборот во многие другие области, где он попросту обозначает безнадежное, бессмысленное или тщетное предприятие.  

Список использованной литературы

1.«О квадратуре круга» с приложением истории вопроса, составленной Ф. Рудио. изд.3-е, ОНТИ НКТП СССР, М.- -Л, 1936г. Ст.17.

2.С.Е.Белозеров. «Пять знаменитых  задач древности (История и современная теория)». Издательство Ростовского университета, 1975. Ст. 13.

3.М.Д.Аксенова. «Энциклопедия для детей»Т11. Издательский центр «Аванта+».-M,2003. Ст.324.

4.С.Е.Белозеров «Пять знаменитых  задач древности (История и современная теория)». Издательство Ростовского университета, 1975.Ст. 14-15.

5. Я.И.Перельман. «Квадратура круга». Дом занимательной науки.-Л., 1941г. Ст16.

6. Прошлецова И. Л. О квадратрисе Динострата. Историко-математические исследования. СПб.: Изд-во Международного фонда истории науки. Вып. 35 (1994). Ст. 220—221.

7.В.Д.Чистяков «Три знаменитые задачи Древности». Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР,-М. 1963г.Ст 55-56.

Приложения

          Рис. 1.                     Рис. 2.                           Рис. 3.                            Рис. 4.

                               Рис. 5.                                                Рис. 6.                                  

                     
                            Рис. 7.                                                    Рис. 8.

                            Рис. 9.                                                    Рис. 10.